直观上，实数完备性（英語：Completeness of the real numbers）意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。 实数的完备性...

将更大）。所以，这裡的“完备”不是完备格的意思。 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述「公理」中已经定义。上述的唯一性也说明了这裡的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性...

自然数。必須透過公理和一階邏輯，在系統中表達出「x是一個自然數」這個概念才行。有許多系統包含自然數，卻是完備的。例如，塔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是完备的一階公理化系统。 不完备性的结论影响了数学哲学以及形式化主义（使用形式符号描述原理）中的一些观点。第一定理可以被解释为：“不存在一...

{\displaystyle S} 非空。由於 S {\displaystyle S} 具有上界 b {\displaystyle b} ，故由实数的完备性知 S {\displaystyle S} 有最小上界 c = sup S {\displaystyle c=\sup S} 。我们以反证法证明...

{2}}} 的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 不在有理数空间内。 实数空间是完备的 开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛於(0, 1)中任何的点。...

在数学裡，希尔伯特空间（英語：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。...

在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性（英語：Completeness），即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备...

》的公理五，1883年，奧地利數學家奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）赋予它这个名字。 在現代實分析中，這性質不是一個公理，而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以性質的叫法取而代之。 此性質在现代数学中，仍然起着重要的作用，例如有關有序群、有序域和局部域的理论，以及大卫·希尔伯特的几何公理系統。...

哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定...

数学中，最小上界性（亦称上确界性，英語：least-upper bound property, LUB） 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价 。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。 令 S {\displaystyle S} 為實數集的一個非空子集。...

柯西列一个重要性质是，在完备空间中，所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。 一个复数序列 z 1 , z 2 , z...

上确界一定不能混淆于极小，上界，极大元或最大元。 在数学分析中，实数的集合S的上确界或最小上界记为 sup(S)，并被定义为大于或等于 S 中所有成员的最小实数。实数的一个重要性质是它的完备性：实数集合的所有非空子集是有上界的就是这个实数集合成员的上确界。 sup { 1 , 2 , 3 } = 3...

算叫做内积，它推廣了原來欧几里德空间的點積，而從比較一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”還有正交性。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，本條目所定義的内积空间被称作酉空间，但這些著作裡...

所以实数和实数的集合的一阶理论可以有很多模型，其中一些是可数的。但是实数的二阶理论只有一个模型。这可以从只有一个阿基米德完备有序域的经典定理，和所有阿基米德完备有序域的在二阶逻辑中可表达的事实得出。这证实了实数的二阶理论不能简约到一阶理论，在实数的二阶理论之後一个模型但对应的一阶理论有很多模型的意义上。...

将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的完备集。 除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }...

是将 V {\displaystyle V} 中元素映射到非负实数上的一个函数，并且满足以下性质： 将且仅将零向量映射到0： ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 , {\displaystyle \|x\|=0\iff x=0,} 齐次性： ‖ λ x ‖ = λ ⋅ ‖ x ‖ , {\displaystyle...

哥德爾完備性定理表明理论有一个模型当且仅当它是一致的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。...

进数（英語：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 到实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、复数域 C {\displaystyle...

数大于aleph-0并小于aleph-1。 连续统假设声称在aleph-0和连续统（实数的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。 某些作者，比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合...

（BCT1）每一个完备度量空间都是贝尔空间。更一般地，每一个同胚于某个完备伪度量空间的开子集的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个完备可度量化的拓扑空间都是贝尔空间。 （BCT2）每一个局部紧豪斯多夫空间都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述；有限交集性质取得了完备性扮演的角色。...

\infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}} . 其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京:...

p进数域是有理数域装备了与欧几里德范数不同的p进范数後进行拓扑完备化得到的完备数域，一般记作 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 。同样是有理数域的完备化， Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 与实数域 R {\displaystyle \mathbb...

如果存在一个实数 k {\displaystyle k} ，使得对于所有 S {\displaystyle S} 中的 s {\displaystyle s} 有 k ≥ s {\displaystyle k\geq s} ，实数集合 S {\displaystyle S}...

每个停止的概率是一个正规数和超越数的实数，而不是可计算数，这意味着，没有演算法计算他的位数。事实上，每个停止的概率是马丁-洛夫随机的，意味着甚至没有任何的演算法是可以可靠地猜测他的位数的。 停止的概率的定义依赖于无字首的图灵完备的可计算函数的存在。这样的函数，直观地说，代表了一种编...

性、自洽性，是指一個形式系統中不蘊涵矛盾。 所謂的矛盾有二種解讀方式： 語義上：當一個命題S是由許多命題組成時，如果所有命題可同時為真，則S是一致的，否則S是不一致的。 語法上：公理系統不能推導出兩個相反的結果。亦即不存在命題P，使得P→Q和P→~Q同時成立。 哥德尔完备性定理 哥德爾不完備定理...

寻找一个序列，它的像收敛于f 的最小上界。 证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。 我们现在证明函数f 在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f 有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f 的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f...

其研究的對象為實數。實數可唯一由一「戴德金完備有序體」（即帶有上界的非空實數集合必然有最小上界）所決定（在同構意義上）。然而，若要表達這些公理的性質，需要使用到二階邏輯。勒文海姆-斯科倫定理告訴我們若侷限於一階邏輯裡來描述，任何實數的公理系統都會允許有其他的模型，有些會小於實...

性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。 设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有：...

F，留着 m 在其他地方未定义。 在一个集合上的超滤子 U 的完备性是最小基数 κ 使得有 κ 个 U 的元素它们的交集不在 U 中。这个定义蕴涵了任何超滤子的完备性至少是 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 。其完备性大于 ℵ 0 {\displaystyle \aleph...

在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是借助於有理數域。 一個實數系統由一個集合...

若所有零测集的子集都可测，则 μ {\displaystyle \mu } 称为完备的（complete）。 直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意测度可以按如下的定理擴展为完备测度： 定理 —  ( X , Σ , μ ) {\displaystyle...