在泛函分析中，以馬克-安托萬·帕塞瓦爾命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。 通俗地说，此恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算 ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 = 1 2 π...

恒等式，以物理学家瑞利命名。 虽说帕塞瓦尔定理这一术语常用来描述任何傅里叶转换的幺正性，尤其是在物理学和工程学上，但这种属性最一般的形式还是称为普朗歇爾定理而不是帕塞瓦尔定理才更合适。 该定理是勾股定理在希尔伯特空间或更广泛的内积空间中的推广，或者说勾股定理是帕塞瓦尔定理在定义了内积的二维欧氏空间中的特例。...

t(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\right)\,.} 反之，若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式，則其亦為希爾伯特空間，因為它的內積可由極化恆等式唯一確定。 對實希爾伯特空間，極化恆等式是 ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) . {\displaystyle...

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx)} 。 根据帕塞瓦尔恒等式，我们有： π 2 3 = 1 2 π ∫ − π π f 2 ( x ) d x = ∑ n = 1 ∞ 1 2 π ∫ − π π ( 2...

，曾於1792年入獄，後來因發表批評拿破崙政府的詩歌而逃離法國。 1796年至1828年，他曾五次被提名為法國科學院院士，但從未當選。 帕塞瓦爾定理 帕塞瓦爾恆等式 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Parseval, MacTutor数学史档案 （英语）  Hubert Kennedy. Eight...

determinant lemma（英语：Matrix determinant lemma） 牛頓恆等式：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係 帕塞瓦尔恒等式： ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 = 1 2 π ∫ − π π | f ( x ) | 2 d x , {\displaystyle...

}}}+b_{n}{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right).} 由於 f 的積分為零，有 a0 = 0. 又由帕塞瓦尔恒等式，有 ∫ 0 2 π f 2 ( x ) d x = ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 ) {\displaystyle \int...

生求證一些性質，最常見的是chebycheff多項式等(黃毅英、1996)。原意是學生不須先學會這些概念才進試場。漸漸地教師要力保不失，都把這些課題塞進教學形成「超教」(over-teach)的問題。當時筆者等便批評這是由於大部分擬題者乃為大學講師或助教(因為找沒有教高考班的前線老師來擬題亦不容易...

_{k=1}^{\infty }[-kc_{k}\sin(kt)+kd_{k}\cos(kt)]\end{aligned}}} 考虑帕塞瓦尔恒等式（注意这里是实数情形），可以得到： ∑ k = 1 ∞ k 2 ( a k 2 + b k 2 + c k 2 + d k 2 ) = ∫ 0...

上的假定的非交换局部紧群，还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。 傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理，该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果（但不那么具有一般性）。 借助极化恒等式，我们还可以将普朗歇尔定理用于计算 L 2 ( R ) {\displaystyle...

^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z})} ． 更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）： ∇ 2 A = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf...

在他們創立微積分以前，人們把微分和積分視為獨立的學科，之後才確實劃分出“微積分學”這門學科。 在对微积分的正式研究中，卡瓦列里提出的無窮小量，與當時在歐洲發展起來的有限差分演算連繫到了一起。皮埃爾·德·費馬声称他借用了丢番图的成就，引入了“准等式”（adequality）概念，表示兩個項在除卻一個無窮小誤差...

莱布尼兹 柯西 魏尔斯特拉斯 黎曼 拉格朗日 欧拉 帕斯卡 海涅 巴罗 波尔查诺 狄利克雷 格林 斯托克斯 若尔当 达布 傅里叶 拉普拉斯 雅各布·伯努利 約翰·白努利 阿达马 麦克劳林 迪尼 沃利斯 费马 达朗贝尔 黑维塞 吉布斯 奥斯特罗格拉德斯基 刘维尔 棣莫弗 格雷果里 玛达瓦（英语：Madhava...

_{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}} ，這就證明了帕塞瓦尔定理。 证明的第二步: 回到證明右邊第一項，因為函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 可積，找到一個連續函數 g ( x...

普朗歇爾定理（又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式 ）是调和分析的重要定理，由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说，如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是實數線上的函数，并且 f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\widehat...

导数和积分的发现是微积分发明的关键一步。17世纪以来，光学透镜的设计以及炮弹弹道轨迹的计算促使欧洲的数学家对曲线的切线进行研究。1630年代，法国数学家吉尔·德·罗伯瓦尔作出了最初的尝试。与此同时，同是法国人的费马在计算切线时已经使用了无穷小量的概念:52。 如右图，费马考虑曲线 f ( x ) {\displaystyle...

\eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta )} d2 = 0，蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式，所以总有 d ( d ω ) = 0 {\displaystyle d(d\omega )=0\,\!} 可以证明外微分由这些性质和其与...

\{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.} 与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。 数学主题 对数恒等式 Krantz, Steven G. Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. 2003: 170...

_{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}} 其中最后一行用帕塞瓦尔恒等式。最后，可得 x T M x x T x ≤ λ n {\displaystyle {\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq...

预科微积分可能包含： 集合 实数 复数 解不等式和等式 函数的性质 函数和反函數 复合函数 多项式函数 有理函数 三角学 三角函数和反三角函数 三角恒等式 圆锥曲线 指数函数 对数 序列和级数 二项式定理 向量 参数方程 极坐标 矩阵 数学归纳法 极限 AP微积分 Cangelosi, J. S. ...

莱布尼兹 柯西 魏尔斯特拉斯 黎曼 拉格朗日 欧拉 帕斯卡 海涅 巴罗 波尔查诺 狄利克雷 格林 斯托克斯 若尔当 达布 傅里叶 拉普拉斯 雅各布·伯努利 約翰·白努利 阿达马 麦克劳林 迪尼 沃利斯 费马 达朗贝尔 黑维塞 吉布斯 奥斯特罗格拉德斯基 刘维尔 棣莫弗 格雷果里 玛达瓦（英语：Madhava...

从中我们可以看到，當 x1 和 x2 同号时，F 逆轉定向；该函数处处具有反函数，除了在 x1 = 0 或 x2 = 0 的點。 这是一个与巴塞尔问题 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac...

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L} 的曲线积分与 L {\displaystyle L} 所包围的区域 D {\displaystyle D} 上的二重积分之间的关系。另见格林恆等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。 以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。...

紛，玷污了牛頓與萊布尼茨聲譽，直到莱布尼茨在1716年往生後才暫時停止。 牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理，它适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量的三次多项式），为有限差理论作出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调...

{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}} 考虑恒等式，v≠0 u v = 1 4 [ ( u + 1 v ) 2 − ( u − 1 v ) 2 ] {\displaystyle {\frac {u}{v}}\;=\;{\frac...

莱布尼兹 柯西 魏尔斯特拉斯 黎曼 拉格朗日 欧拉 帕斯卡 海涅 巴罗 波尔查诺 狄利克雷 格林 斯托克斯 若尔当 达布 傅里叶 拉普拉斯 雅各布·伯努利 約翰·白努利 阿达马 麦克劳林 迪尼 沃利斯 费马 达朗贝尔 黑维塞 吉布斯 奥斯特罗格拉德斯基 刘维尔 棣莫弗 格雷果里 玛达瓦（英语：Madhava...

\left(f'\int g\,dx\right)\,dx} 。 这个表达方式只有当f是连续可导而且g是连续的时才有效。 在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式。 提示：部分積分下面這樣更複雜一點的積分運算裡也是有效的： ∫ u v d w = u v w − ∫ u...

比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。 积分 黎曼积分 勒贝格积分 黎曼－斯蒂尔杰斯积分...

\epsilon -\delta } 定义只要把波尔查诺在其证明里的写法中“事先给定的量”用 ϵ {\displaystyle \epsilon } 来代替就可以了。这个现代定义第一次公开发表在刊物上是1874年由魏尔斯特拉斯的一个学生海涅根据魏尔斯特拉斯的讲义写的。 单一连续 一致连续 有界线性算子...