数学中，微分伽罗瓦理论是研究微分方程伽罗瓦群的理论。 代数伽罗瓦理论研究代数域的扩张， 而微分伽罗瓦理论则研究微分域的扩张，即具备导子D的域。这两种构造的一个区别是，微分伽罗瓦理论中的伽罗瓦群往往是矩阵李群，而代数伽罗瓦理论中常常是有限群。 皮卡–韦西奥理论 Hubbard, John H.; Lundell...

(2020)利用导出代数几何概念给出对应关系，消除了Jacobson提出的条件。 伽罗瓦群 伽罗瓦理论基本定理 微分伽罗瓦理论——微分方程的伽罗瓦理论 格罗滕迪克伽罗瓦理论——伽罗瓦理论的深刻推广 拓扑伽罗瓦理论 亚廷–施莱尔理论——伽罗瓦理论的子领域 Stewart, Ian. Galois Theory. Chapman...

伽羅瓦理論的對應，對這方面的研究又稱微分伽羅瓦理論。 微分伽羅瓦理論的基本定理最初由約瑟夫·劉維爾於1830至40年代發展出來，因此被稱作劉維爾定理。 一個反微分不能表達成封閉形式的初等函數的例子： e − x 2 , {\displaystyle e^{-x^{2}},} 這函數的反微分即所謂的誤差函數，其形式如次：...

中一个元素的交换子定义了 A 到自身的线性映射，这是 A 的一个 k-导子。一个代数 A 装备一个特定的导子 d 组成了一个微分代数，这自身便是一些研究领域的一个重要对象，比如微分伽罗瓦理论。 莱布尼兹法则本身有一系列直接推论。首先，如果 x1, x2, … ,xn ∈ A，那么由数学归纳法得出 D ( x...

微分系统的一般理论之类的领域中不断的见到；大致来讲，这些是微分代数的那些感到现存的伽罗瓦理论所导出的对称性模型过于狭窄并需要使用和关系的范畴更类似的东西的部分领域。 嘉当联络、嘉当联络的应用 嘉当矩阵 嘉当定理 嘉当子代数 嘉当等效性方法 爱因斯坦-嘉当理论 微分系统的可积性条件 Pascual...

数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。 李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版...

微分闭域。微分域是微分伽罗瓦理论中的研究对象。 自然出现的导子例子是偏导数、李导数、Pincherle导数（英语：Pincherle derivative）与关于这个代数中一个元素的交换子。所有这些例子是密切联系的，导子的概念将它们统一起来。 微分环和微分域经常通过研究它们上面的伪微分算子来研究。...

(y)]} 已经伽罗瓦的情形下，相关单值群有时被称作甲板变换群（deck transformation）。 这与导致黎曼存在定理的复叠空间伽罗瓦理论有关。 辫群 单值理论 映射类群 König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen. Karl Weierstraß (1815–1897):...

刘维尔认真研究了莱布尼茨、约翰·伯努利和欧拉的著作，尽可能地扩展了微分和积分的概念，建立了任意阶导数的理论。 1832年和1873年，刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文，对代数函数和超越函数进行了分类，作为对阿贝尔和拉普拉斯等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论的整理，并给出了初等函数的分类。初等函数的积分在何条...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

有限對稱群比如马蒂厄群被用于編碼理論中，它又用于傳輸數據的糾錯和CD播放器中。另一個應用是微分伽羅瓦理論，它刻畫有已知形式的不定積分的函數，給出何時特定微分方程的解有良好表現的群論判定標準。在群作用下保持穩定的幾何性質在幾何不變量理論中研究。 矩陣群由矩陣加上矩陣乘法一起構成。一般線性群GL(n...

瓦里斯特·伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”，并在新生的群的理论与域论之间建立起了联系。这套理论现在被称为伽罗瓦理论。阿瑟·凯莱和奥古斯丁·路易·柯西进一步发展了这些研究，创立了置换群理论。...

篇长达50页的关于分数微积分的论文，希望它能让他获得博士学位。他的老师回复他说，他必须先上大学课程才行。 1924年，凯勒在莱比锡大学注册，学习伽罗瓦理论，结识了数学家埃米爾·阿廷，并在利奥·利希滕斯坦（Leon Lichtenstein）的指导下进行研究。尽管仍然着迷于天体力学，凯勒撰写了一篇关...

E7 或 E8。 在不承載流形結構的非李群的群之中，例子有p-進數集的加法群 Zp 和來自它的構造。事實上任何預有限群都是緊群。這意味著伽羅瓦群是緊群，這是代數擴張理論在無限次情況下的基本事實。 龐特里亞金對偶性提供大量緊交換群的例子。它們對偶於阿貝爾離散群。 緊緻群都承載哈爾測度，它對于左和右平移的...

理论家阿尔贝蒂以及卡洛·哥尔多尼都曾来到博洛尼亚求学。尼古拉·哥白尼也在这里学习教宗法的同时，开始了自己对天文的观察和研究。 在十八世纪的工业革命中，博洛尼亚大学对推动科学技术的发展做出了自己独特的贡献。在这个时期，路易吉·伽...

萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨於1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號 d y {\displaystyle dy} 或 d x {\displaystyle dx} 等。1686年他又发表了積分论文，讨论了微分与积分，使用了積分符号 ∫ {\displaystyle \int...

了欧拉的研究：只对有理数成立。19岁时，他发现没有一般的代数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点，他发明（和伽罗瓦各自獨立發明）极其重要的理论：群论 。除此之外，阿贝尔對橢圓積分理論基礎很有貢獻，並且研究部分的橢圓函數、超橢圓函數，以及另外一類後來以他名字命名的阿貝爾函數，並写了直到他去世后才...

这个定义需要一些说明： 这个定义模仿了广义微分几何中流形的定义，即每个点上都与 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 存在局部微分同胚的微分空间。 轨形首先是微分空间，具备广义微分几何的集合。然后，广义微分几何在检验中，于每点都局部微分同胚于商 R n / G {\displaystyle...

通过调和分析阐明并推广了傅里叶分析， 通过不變量理論和爱尔兰根纲领与几何学建立了联系 通过自守形式和朗蘭茲綱領对数论产生了影响。 另一方面，研究表示论的途径也相当多元化，应用了代数几何、模块理论（英语：Module theory）、解析数论、微分几何、算子理论、代数组合学和拓扑学的思想和方法...

伽羅瓦群的重要性來自於伽羅瓦理論基本定理：位於基域和分裂域之間的域，與伽羅瓦群的子群有著一對一的關係。 1918年，諾特發表了一篇有關反伽羅瓦問題（英语：inverse Galois problem）的論文。伽羅瓦理論所提出的問題是，給定基域及其擴張域，找出其伽羅瓦...

公式非常相似。1967年，杨振宁向几何学家詹姆斯·西蒙斯请教规范场和纤维丛之间的联系。西蒙斯肯定杨振宁的规范场理论与微分几何中的纤维丛理论一定有密切联系，并给他一本美国拓扑学家诺曼·斯廷罗德写的《纤维丛的拓扑学》（The Topology of Fibre Bundles）看。杨振宁当时没看懂，就...

) {\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))} 在SDE的超对称理论中，随机动力是通过作用于模型相空间微分形式的随机演化算子定义的。在这一精确表述中，所有SDE都具有拓扑超对称性，即通过连续的时间流保持相空间连续性。这种超对称的自发破...

R：複共軛，但是有（不可數）無限多「野性」自同構（假設選擇公理）。域自同構對域擴張理論很重要，尤其是伽羅瓦擴張。在一個伽羅瓦擴張L/K的情形，L的自同構中，在子域K上逐點固定的所有自同構所組成的子群，稱為該擴張的伽羅瓦群。 p進數域Qp沒有非平凡自同構。 在圖論中，一個圖的圖自同構，是頂點的一個置換...

1.嚴格地說，范德瓦耳斯方程式也適用於某些狀態下的液體，但常用的還是在氣體中。 2.亥姆霍茲自由能 A 是一個 特性函數 ，它作為溫度 T 和體積 V 的 全微分 表達式為 d A = - S d T - p d V 。 范德瓦耳斯獲得了無數的榮譽和聲望，並在72歲（1910年）被授予諾貝爾物理學獎...

日發表第三部《數學女孩：哥德爾不完備定理》，於2011年3月10日發表第四部《數學女孩：隨機演算法》，於2012年6月1日發表第五部《數學女孩：伽羅瓦理論》，於2018年4月14日發表第六部《數學女孩：龐加萊猜想》。 「數學」和「少女」為構成本書的兩個核心，屬於大眾傾向的科普書籍。以小說的形式對數...

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系； 但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H1等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连...

羅滕迪克全集的強不可達基數的集合論也會被使用，但實際上，大多數數學家都可以在弱於ZFC的系統中確實地證明他們所需要的命題，比如在二階算術中就可能做到這點。 在數學中，拓撲學的研究擴展成點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲，和所有相關領域，如同調論和同倫論。「抽象代數」也發展出群論、環、體和伽羅瓦理論。...

对系数在任意阿贝尔群A（如CW复形X）中的第一上同调，都有相关的描述： H 1 ( X , A ) {\displaystyle H^{1}(X,A)} 与具有群A的X的伽罗瓦覆叠空间的同构类集（也称为X上的主A丛）一一对应。对连通的X， H 1 ( X , A ) {\displaystyle H^{1}(X,A)} 同构于...

_{p}} ，p表示任意素数。 此现象不易用代数几何的经典语言表达。例如，它在表达特征p中的阿贝尔簇的对偶理论（皮埃尔·卡地亚的理论）时就显得非常重要。此群概形的伽罗瓦上同调是表示库默尔理论的一种方式。 整数模n乘法群 加法群 Milne, James S. Étale cohomology. Princeton...

p\lambda /2} 。 這公式是從兩個經典理論求得，完全沒有用到任何量子理論。在經典力學裡，若要減小乘積 Δ x Δ p x {\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}} ，有兩種方法，一是使用波長越短的光線越好，這意味著使用伽瑪射線，二是減低輻照度，因為電磁輻射的動量...

法变得尤为实用。实际上，约翰·哈里森发明的航海经线仪解决了确定经度的问题。但是，由于太阳和行星对月球绕地公转的扰动效应，月球理论的准确性很低。 亚美利哥·韦斯普奇和伽利略·伽利莱随后也提出了三体问题。伽利略确定所有天体的下落速度都是相同均匀的，但他并没有将其应用到行星运动。...