在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。 对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为： W ( f 1 , … , f n ) = | f 1 f...

可以证明，如果f1、...、fn线性相关，那么它们的朗斯基行列式恒等于零。 在线性微分动力系统理论中，朗斯基行列式用来判别若干个解的线性相关性。如果n个解f1、...、fn线性无关，那么它们的朗斯基行列式将总不为零。根据刘维尔定理，n维空间上的线性微分方程： Y ′ = A (...

matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點...

1803年，朗斯基加入馬賽天文台，但由於他的理論被認為是宏大的垃圾而被迫離開天文台。在數學方面，朗斯基針對約瑟夫·拉格朗日對無限級數的使用，提出一種新穎的函數級數擴展。朗斯基的新數列中的係數形成了朗斯基行列式，這是托馬斯·穆爾（英语：Thomas Muir...

\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},} Sn 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集，sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。 若 m≤n，則矩陣 V 有最大的秩 rank (m)。 拉格朗日多項式 朗斯基行列式...

在数学中的最优化问题中，拉格朗日乘数法（英語：Method of Lagrange multiplier，以数学家约瑟夫·拉格朗日命名）是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的局部极值的方法。 對一個有 n {\displaystyle n} 个变量与 k {\displaystyle...

動力學中的牛頓第二運動定律 經典力學中的歐拉－拉格朗日方程 經典力學中的哈密頓力學 熱力學中的牛頓冷卻定律 波动方程 電磁學中的麦克斯韦方程组 熱力學中的熱傳導方程式 定義调和函数的拉普拉斯方程 泊松方程 廣義相對論中的爱因斯坦场方程 量子力學中的薛丁格方程式 測地線 流體力學中的納維－斯托克斯方程式 隨機過程中的擴散方程...

{\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}} 需要注意的是这里的行列式记号只有形式上的意义，因为真正的行列式中的系数应该是数值而不是 i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf...

相圖可以呈現微分方程（ODE）系統的行為，也可以看出系統的穩定性 ODE系統相圖上的特性也可以用系統的特徵值或跡（trace）以及行列式判別（跡 = λ1 + λ2，行列式 = λ1 x λ2） 相空間 相平面 Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential...

高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲...

形状算子是与曲率相关的一个概念，是切空间到自身的线性算子。主曲率是形状算子的特征值，事实上形状算子与第二基本形式关于切平面的一对正交基的矩阵表示相同。于是高斯曲率等于形状算子的行列式，而平均曲率等于形状算子的迹的一半。 上文提到曲线没有内蕴曲率，而曲面则可以。更一般地，三维以上的空间都可以有内蕴曲率。曲率...

existence theorem） Cauchy–Kowalevski定理（英语：Cauchy–Kowalevski theorem） 通用主題 朗斯基行列式 相圖 相空間 李雅普诺夫 / 漸進 / 指數穩定 收斂速度 級數 / 積分解 數值積分 狄拉克δ函数 解法 特征线 欧拉 指數響應公式（英语：Exponential...

y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.} 其中W表示朗斯基行列式。 n阶的变系数微分方程具有以下形式： p n ( x ) y ( n ) ( x ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) (...

f(x)=\sin(x)} 在區間 [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} 是凹的。 函數 log ⁡ | B | {\displaystyle \log |B|} 是一個凹函數，當中 | B | {\displaystyle |B|} 是一個非负定矩陣的行列式。 圖像下方的點的集合 凸函数...

y + 3 a y − 2 a z + 2 x c − 3 x b {\displaystyle bz-cy+3ay-2az+2xc-3xb} 朗斯基行列式 with(VectorCalculus); w:=Wronskian([1,x,x^3+x-1],x) Matrix(3, 3, {(1, 1)...

existence theorem） Cauchy–Kowalevski定理（英语：Cauchy–Kowalevski theorem） 通用主題 朗斯基行列式 相圖 相空間 李雅普诺夫 / 漸進 / 指數穩定 收斂速度 級數 / 積分解 數值積分 狄拉克δ函数 解法 特征线 欧拉 指數響應公式（英语：Exponential...

\end{aligned}}} 在这里， Γ {\displaystyle {\Gamma }} 表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是 1 π {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}} 。 当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x...

這個域嵌入到 C {\displaystyle \mathrm {C} } 中的映射的像全數乘以適當的分母。由於代數理由，這乘積必然是一個整數，之後用朗斯基行列式相關的論證，可證明說這數不會是零，故其絕對值 Ω ≥ 1 {\displaystyle \Omega \geq 1} 會是一個整數。 利用中值定理在矩陣上的版本，可得...

，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式． 拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。...

柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 分离变数法 级数展开法 积分因子 拉普拉斯算子 欧拉方法 柯西-欧拉方程 伯努利微分方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程 叠加原理 特徵方程式 朗斯基行列式 微分算子法 差分方程 拉普拉斯变换 偏微分方程 拉普拉斯方程 泊松方程 施图姆-刘维尔理论 N体问题 积分方程...

(n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R} } Γ函數與斯特靈公式 斯特靈公式能用以估計 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 函数的增長速度。公式為： Γ ( z + 1 ) ∼...

的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化了定积分的计算。 该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。 對微积分基本定理比較直觀的理解是：把函數在一段區間的「无穷小...

Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7.  相对于全导数，在其中所有变量都允许变化 达朗贝尔算子 复合函数求导法则 旋度 方向導數 散度 外导数 梯度 雅可比矩阵 拉普拉斯算子 二階導數的對稱性 三乘积法则，又称为循环链式法则。...

由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分： 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫   ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 )...

{\displaystyle =\oint _{\varGamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z} 引进符号行列式，这个公式也可以写成以下形式： ∬ S | cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R | d...

\left(f'\int g\,dx\right)\,dx} 。 这个表达方式只有当f是连续可导而且g是连续的时才有效。 在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式。 提示：部分積分下面這樣更複雜一點的積分運算裡也是有效的： ∫ u v d w = u v w − ∫ u...

地用來解決許多問題，卻使得十八世紀的數學家偏向其應用，而甚少致力於其嚴謹性。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔及伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論，使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這一...

球坐标系中，假设物体的位置用球坐标表示为 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ，定义它的基矢： e r , e θ , e φ {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta...

existence theorem） Cauchy–Kowalevski定理（英语：Cauchy–Kowalevski theorem） 通用主題 朗斯基行列式 相圖 相空間 李雅普诺夫 / 漸進 / 指數穩定 收斂速度 級數 / 積分解 數值積分 狄拉克δ函数 解法 特征线 欧拉 指數響應公式（英语：Exponential...

范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。范畴论极限分为极限与余极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。 埃里克·韦斯坦因. Limit. MathWorld.  Mathwords: Limit （页面存档备份，存于互联网档案馆） Stewart, James. Calculus:...

柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 分离变数法 级数展开法 积分因子 拉普拉斯算子 欧拉方法 柯西-欧拉方程 伯努利微分方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程 叠加原理 特徵方程式 朗斯基行列式 微分算子法 差分方程 拉普拉斯变换 偏微分方程 拉普拉斯方程 泊松方程 施图姆-刘维尔理论 N体问题 积分方程...