{L}}_{B}A} 李导数用向量场表示，这些向量场可看作M上的流（flow, 也就是时变微分同胚）的无穷小生成元。从另一角度看，M上的微分同胚组成的群，有其对应的李导数的李代数结构，在某种意义上和李群理论直接相关。 李导数有几种等价的定义。在本节，为简便起见，我们用标量场和向量场的李导数的定义开始。李导数也可定义在一般的张量上，如后面的章节所述。...

导数（英語：derivative）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数 f {\displaystyle f} 的自变量在一点 x 0 {\displaystyle x_{0}}...

二阶导数的对称性，也称为混合导数的相等，或杨定理（英語：Young's theorem），指取一个n元函数 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} 的偏导数可以交换。如果关于 x i {\displaystyle...

方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。 f : U ↦ R {\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} } ，...

而成为李代数。这个表达式称为 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的换位子。相反的，每个李代数可以嵌入到一个以这个方式从结合代数得到的李代数中。参看泛包络代数。 4. 另一个李代数的重要例子来自于微分几何：可微流形上的光滑向量场在把李导数作为李...

derivative） 隨體導數（derivative following the motion） 水動力導數（hydrodynamic derivative） 拉格朗日導數（Lagrange derivative） 隨質點導數（particle derivative） 隨質導數（substantial...

微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用。求出导数的过程被称为求导。给定一个函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数。以数学术语說，导数...

([X,Y]).} 更一般的，李导数由李括号定义： L X Y = [ X , Y ] {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]} , 而一般微分形式的李导数和外微分密切相关。区别主要是记号上的；各种两者之间的恒等式可以在李导数条目找到。...

d(i_{v}i_{w}\omega )} 。又因为外导数满足 d ∘ d = 0 {\displaystyle d\circ d=0} ，所有余恰当向量场是余闭的；所以李括号对余闭向量场空间与其子空间余恰当向量场都是封闭。用抽象代数的话来说，余闭向量场组成了M上光滑向量场李代数的一个子代数，而余恰当向量场组成这个子代数的一个代数理想。...

("沿著 X 的Y 李微導")。這可以推廣到沿著由X生成的流上任意张量场的李导数。 李括號是個R-雙線性算子，且將所有在流形M 的光滑向量體轉成（無限維）李代數。 李括號在微分幾何與微分拓樸中相當重要，例如在作為非線性控制幾何理論基礎的弗罗贝尼乌斯定理中就可看到李括號。 李括號有下列三種定義，這三種定義不同，但是等價：...

导数构成的无穷小变换集合。他也注意到李群与李代数之间有着对应关系。 他的著作有《变换群理论》（共3卷）。 赫尔曼·外尔在他从1922年和1923年的论文中使用李的群论成果，李群在今天的量子力学中也有重要作用。 李群 李导数 李代数 Gale, Thomson. Marius...

到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 dφ 是 GL(TM,φ*TM) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 GL(m) (m = dim M) 相配于 M 的标架丛 GL(M) 的任何丛的截面上导出了拉回作用。 将上述想法应用到由向量场 M 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。 如果 ∇...

{\displaystyle \phi _{t}} ，在几何方法中一般用后者，从而一个量对演化参数（时间） t {\displaystyle t} 的导数应由一个李导数表示。作为一个例子，假设要考察的量 A {\displaystyle A} 是一个微分形式，那么有 d d t ϕ t ∗ A = ϕ t ∗...

{L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ .} 内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出： L X ω = d ( ι X ω ) + ι X d ω   . {\displaystyle {\mathcal...

K 上的）李代数，流形上微分形式的德拉姆复形形成一个李余代数。进一步，在向量场与微分形式之间有一个配对。 但形式要微妙些：李代数不是光滑函数 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} 上线性的（误差是李导数），外导数也不是： d ( f g )...

M)。 导子在不同的数学领域以许多不同的面貌出现。关于一个变量的偏导数是 Rn 上实值可微函数组成的代数上的一个 R-导子。关于一个向量场的李导数是可微流形上可微函数代数上的 R-导子；更一般地，它是流形上张量代数的导子。平彻尔导数（英语：Pincherle derivative）是一个抽象代数上的导子的例子。如果代数...

{\displaystyle p} 维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。 可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于...

{\displaystyle e} 的根本動機，特別是在微積分中，是通過指數函數和對數來進行導數和積分運算。 一般指數函數 y = b x {\displaystyle y=b^{x}} 有極限形式的導數: d d x b x = lim h → 0 b x + h − b x h = lim h...

{\displaystyle \pi :U\times [0,1]\to U} 。由此可见，庞加莱引理在U上是成立的。 神奇的嘉当的李导数公式可用来给出庞加莱引理的简短证明。公式表明，沿矢量场的李导数 ξ {\displaystyle \xi } 定义为： L ξ = d i ( ξ ) + i ( ξ ) d {\displaystyle...

operator）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。 最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括： d d x {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}} 、 D...

，则称为一个辛向量场。换句话说，李导数为零： L X ω = 0. {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0.} 或者，一个向量场是辛的如果它与辛形式内乘是闭的（内乘给出从向量场到 1-形式的一个映射，因辛形式的非退化性这是一个同构）。两个定义的等价性从辛形式的闭性与李导数用外导数表示的嘉当公式推出。...

{L}}_{X}} 表示沿着向量场 X 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式： X { f , g } = − [ X f , X g ] , {\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}],} 这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有： ι [ X...

在数学中，外共变导数（exterior covariant derivative），时或称为共变外导数（covariant exterior derivative），是流形上的微积分（英语：calculus on manifolds）中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。 设 P →...

一种方法。如果流形的切丛上装备有一个仿射联络（一个共变导数或联络），那么联络保证我们可以将流形上的向量沿着曲线移动使得它们关于这个联络保持“平行”。其他联络概念也装备了它们自己的平行移动系统。比如，一个向量场上的科斯居尔联络也允许类似于共变导数一样将向量平行移动。埃雷斯曼或嘉当联络提供了从流形到主...

作为代数或几何对象自然出现的。任何微分域（有界基數）嵌入一个大微分闭域。微分域是微分伽罗瓦理论中的研究对象。 自然出现的导子例子是偏导数、李导数、Pincherle导数（英语：Pincherle derivative）与关于这个代数中一个元素的交换子。所有这些例子是密切联系的，导子的概念将它们统一起来。...

G } = [ X F , X G ] {\displaystyle X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,} 这里 [,] 是李导数。当辛流形是带着标准辛结构的 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} ，则泊松括号取如下熟知的形式 { F...

_{n}:={\mathcal {L}}_{X}\mathrm {vol} _{n}} 这里 L X {\displaystyle L_{X}} 是沿着向量场 X 的李导数。在局部坐标中，我们得到 div X = 1 | g | ∂ i ( | g | X i ) . {\displaystyle {\mbox{div}}X={\frac...

，以及任何一对对象之间的一个同构态射。很不幸的是，从李代数胚不一定可以得到一个李群胚 ，不过任何李代数胚给出一个栈李群胚 。 给定一个李代数 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不变向量场是作用轨道上的李代数胚。 阿蒂亚代数胚：给定流形 M 上的向量丛 V，考虑其导数，即光滑 R {\displaystyle...

rate）在连续介质力学中是指不依赖参考系的应力时间导数。一些本构关系可以表示为应力率与应变率之间的关系。由于物体的力学响应不应随参考系的变化而变化（即客观性），而由柯西应力张量求时间导数直接得到的应力率张量并不是客观的，故需要定义具有客观性的应力率。 在连续介质力学中有多种客观应力率的定义，它们都可以表示成李导数的形式。其中最常见的客观应力率包括...

若我们有一个主丛P其底空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个规范变换群的主齊性空間。 我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个配丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，一個值為李...

X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})} 沿着 K ∈Ωk(M, TM) 的 奈恩黑斯–李导数定义为 L K = [ d , i K ] = d ∘ i K − ( − 1 ) k − 1 i K ∘ d , {\displaystyle {\mathcal...