空间的子集緊緻當且僅當它「閉集且有界」。 注意：某些作者如布尔巴基使用术语“预紧致”，并把“紧致”保留给是豪斯多夫空间并且“预紧致”的拓扑空间。一个单一的紧致集合有时称为紧统（compactum）。在法語的數學著作中，quasi-compact是指緊緻，compact是指緊緻且豪斯多夫，不同於英語。...

拓撲學及數學的相近分支中，局部緊拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個緊鄰域。 數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（英語：Locally Compact Hausdorff）的首字母簡稱為LCH空間。 設 X {\displaystyle X} 為拓撲空間。通常稱...

仿紧空间，数学中，仿紧空间是指一类拓扑空间，他们的每个开覆盖都有局部有限的（开）加细（精细化）。这类空间的概念于1944年由Dieudonné引入 。每个紧致空间都是仿紧的。每个仿紧的豪斯多夫空间都是正规的。一个豪斯多夫空间是仿紧的当且仅当其任意开覆盖都可以单位分解。仿紧空间有时也被要求为豪斯多夫的。...

紧化，更一般的讨论见下。也可以增添两个点 +∞ 和 -∞ 将实数线紧化，得到扩展的实数轴。 拓扑空间 X 作为稠密子集嵌入一个紧空间称为 X 的一个紧化。将拓扑空间嵌入紧空间中经常有用，因为紧空间有一些特殊性质。 嵌入紧豪斯多夫空间可能特别让人感兴趣。因为每个紧豪斯多夫空间是一个吉洪诺夫空间...

的拓扑是任意紧覆盖的凝聚（在以上的意义上），那么它的拓扑就是所有紧致子空间的凝聚。 相似地，紧生成豪斯多夫空间 是紧生成的豪斯多夫空间。与许多紧致性条件类似，“紧生成空间”也经常代指紧生成豪斯多夫空间。 紧生成空间最初被称为k-空间，由德语kompakt 得名。胡列维茨最先研究了紧生成空间...

艾伦伯格–麦克莱恩空间 芬斯勒空间*第一可数空间 弗雷歇空间 几何空间 哈代空间 齐性空间 柯尔莫果洛夫空间 Lp空間 透镜空间 刘维尔空间 局部有限空间 闭路空间 洛伦兹空间 闵可夫斯基空间 仿紧空间 完美胚空间 平面空间 波兰空间 邻近空间 二次空间 商空间 商空间 (线性代数) 序列空间 谢尔宾斯基空间 索博列夫空间...

数学中，构型空间（configuration space）是与物理学中的状态空间或相空间密切相关的构造，后者将整个系统的状态描述为高维空间的单点。数学中，这用于描述点集在拓扑空间中的位置分布；更具体地，数学构型空间是几个非碰撞粒子的物理位形空间的特殊例子。 对拓扑空间X和正整数n，令 X n {\displaystyle...

中的一个紧集，此函数被称为是紧支撑於空间 X {\displaystyle X} 的。例如，若 X {\displaystyle X} 是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为 0 {\displaystyle 0} 的一个特例。在好的情形下，紧...

X/~是一个T1空间当且仅当~的任何等价类在X中闭。 如果商映射开则X/~是一个豪斯多夫空间当且仅当~是乘积空间X×X的一个子集。 连通性 如果一个空间是连通的或道路连通，则所有的商空间也是。 一个单连通或可缩空间的商空间不必具有同样的性质。 紧性 如果一个空间紧，则所有商空间也是。 一个局部紧空间的商空间不必是局部紧的。...

在数学中，紧致开拓扑是定义在两个拓扑空间之间的所有连续映射的集合上的一种拓扑。紧致开拓扑是函数空间上的常用拓扑之一，在同伦理论和泛函分析中有应用。 设 X、Y 为两个拓扑空间，令C(X, Y) 为所有从X 射到 Y 上的连续映射的集合。对于X 中的一个紧集K 和 Y 中的一个开集U，设V(K, U)...

在数学分支泛函分析中，一个紧算子(英語：Compact operator)是从巴拿赫空间X到另一个巴拿赫空间Y的线性算子L，使得在L的作用下X的任意有界子集的像集是Y的相对紧子集。这样的算子必然是有界算子，因此是连续的。 任意有限秩的有界算子L是紧算子；事实上，紧算子是有限秩算子在无限维情形下的自然推广。当Y是希尔伯特空间...

在數學上, 若一個拓撲空間裏，每個無窮序列都有收斂子序列，則稱該拓撲空間序列緊（英語：sequentially compact）。 雖然對於度量空間，緊等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，緊（英語：compact）和序列緊是兩個不等價的性質。 實數軸上的標準拓撲不是序列緊的，例如 (sn = n)...

紧空间上的连续函数空间中的线性泛函与测度论中的测度联系起来。该定理冠名于 Frigyes Riesz （1909） ，其对于单位区间上的连续函数给出了该定理，而 Andrey Markov （1938） 将结果推广到一些非紧空间， Shizuo Kakutani （1941） 则将结果推广到紧豪斯多夫空间。...

数学中，一个拓扑群 G 的极大紧子群 K 是一个在子空间拓扑下是紧空间的子群，且是这些子群中的极大元。 一个一般李群不一定有极大紧子群，但半单李群却一定存在，而且他们在理论中有重要地位。极大紧子群一般不是惟一的，但在相差一个共轭的意义下是惟一的——他们是本质惟一的。 一个好例子是正交群 O(2)，是一般线性群...

同胚是拓扑空间范畴中的同构。因此，两个同胚的复合映射也是同胚，且所有自同胚X → X形成了一个群，称为X的自同胚群，通常记为Homeo(X)。 两个同胚的空间具有相同的拓扑性质。例如，如果其中一个是紧空间，那么另外一个也是紧空间；如果其中一个是连通空间，那么另外一个也是连通空间...

假設Mt0是t0郝斯多夫維數的紧空间且是互相嵌入的緊空間元素並令參數t為零到無限（0 < t < ∞）。若緊空間中構成這些元素都是t ≥ t0時，這個尺度就能視為與Mt0等價。這時就可以說紧空间Mt0是這個尺度等價集合的洞，而−t0是對應的等價類的負數維度。 1940年代時，拓撲結構科學已有相當程度的發展，對於正維度拓樸空間...

在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一個充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利（於1883年－1884年）...

哈恩–马祖尔克维奇定理是对曲线连续像的空间性质的描述： 非空豪斯多夫拓扑空间是单位区间上的连续像，当且仅当其是紧连通的局部连通第二可数空间。 单位区间的连续像有时也被称为皮亚诺空间。 在哈恩-马祖尔克维奇定理的许多表述中，“第二可数”等同于“可测”。在一个方向上，紧豪斯多夫空间就是正规空间...

三者中从任一出发均可推得另外两个。佐恩引理在数学的各个分支中都有重要地位，例如在证明泛函分析的哈恩-巴拿赫定理，證明任一向量空间必有基，拓扑学中证明紧空间的乘积空间仍为紧空间的吉洪诺夫定理，和抽象代数中证明任何含幺环的真理想必然包含于一个极大理想和任何域必然有代数闭包的过程中，佐恩引理都是关键。 佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环...

{R} ^{n}} 中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的一個子集 E {\displaystyle E} 是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当...

对于欧几里得空间 Rn 的子集 S，下列两个陈述是等价的: S 是闭合并且有界的 所有 S 的开覆盖有有限子覆盖，也就是说 S 是紧致的。 在实分析的文章中，前面性质有时用做紧致性的定义性质。但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性。事实上，对任意度量空间的...

紧致性定理是符号逻辑和模型论中的基本事实，它断言一阶句子的（可能无限的）集合是可满足的（就是说有一个模型），当且仅当它的所有有限子集是可满足的。 命题演算的紧致性定理是吉洪诺夫定理（它声称紧致空间的积是紧致的）应用于紧致Stone空间的结果。 从这个定理可以得出，如果某个一阶句子对于特征值为零的所...

Lindelöf 空間是每個開覆盖都有可數子覆蓋的拓撲空間。注意緊空間的定義為每個開覆蓋都有有限子覆蓋，因此林德勒夫空間可以視為緊空間的推廣。如果一個拓樸空間的所有子空間都是 Lindelöf 空間，那麼這個拓樸空間我們稱之為可傳 Lindelöf 空間 (Hereditarily Lindelöf...

紧豪斯多夫空间、是闭子集A、B的并、E是X上的层，则约束 H j ( X , B ; E ) → H j ( A , A ∩ B ; E ) {\displaystyle H^{j}(X,B;E)\to H^{j}(A,A\cap B;E)} 是同构。 令X是局部紧拓扑空间（本文将局部紧空间...

Heyting代数都是某个拓扑空间的开集的代数，但是这个空间不需要是预正则的，更少见豪斯多夫空间。 豪斯多夫空间的子空间和乘积是豪斯多夫空间，但是豪斯多夫空间的商空间不必须是豪斯多夫空间。事实上，所有拓扑空间都可以实现为某个豪斯多夫空间的商。 豪斯多夫空间是T1空间，这意味着所有单元素集合是闭集。类似的，预正则空间是 R0空间。...

空间。 布劳威尔定理给出了康托尔空间的拓扑特征： 任意两个无孤点、非空的紧豪斯多夫空间（有可数基，包含闭开集）都是互相同胚的。 具有由闭开集构成的基的拓扑空间，也称为“零维空间”。布劳威尔定理可以重述为 拓扑空间是康托尔空间，当且仅当其非空、是完美集、是紧空间、是完全不连通空间、是可度量的。...

(Y-X)} 的度量空间。 度量空間是個仿緊緻豪斯多夫空間，因此是個正規空間（且實際上是個完美正規空間）。度量空間也是個第一可數空間，因為可使用具有理數半徑的球作為該空間的基。 依據提策擴展定理，每個度量空間都能具有單位分解，且每個定義於度量空間的閉子集上之連續實數值函數均能擴展成整個空間...

列紧 X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。 伪紧 X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。 可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。...

空间。因此每一个完备可度量化的拓扑空间都是贝尔空间。 （BCT2）每一个局部紧豪斯多夫空间都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述；有限交集性质取得了完备性扮演的角色。 注意从以上任何一个命题都不能推出另一个，因为存在一个不是局部紧的完备度量空间...

正四面体是三维的正单纯形（3-simplex），这意味着四面体是三维中最简单的多面体，顶点数、棱数、面数比它少的多面体都只能成为退化多面体，同时在更高维的超空间中，任意4个顶点一定共在同一三维空间中，这4个顶点若不存在四点共面、三点共线和两点重合的情况，一定能构成一个四面体，并且只要6条棱的长度确定了，四面体就被唯一确定了（...

紧化的25−n超荷。包含通量时，超对称条件则意味着紧化流形是广义卡拉比-丘流形，这是Hitchin (2003)提出的概念。这些模型被称为通量紧化。 各种卡拉比-丘4维流形上的F理论紧化为物理学家提供了一种在所谓弦理论图景中寻找大量经典解的方法。 与卡拉比-丘空间...