收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。 一个全纯函数的实数和虚数部分都是R2上的调和函数。反过来说，对于一个调和函数u，总可以找到一个调和函数v，使得函数u+iv是全纯函数。这个函数v被称为调和函数u的调和共轭。这里的函数...

球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。 球坐标下的拉普拉斯方程式: ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡...

……等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样也源自音乐。 早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和級數发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里（義大利語：Pietro Mengoli）、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。 调和...

|f(z)|} 是调和函数。由于 z0 是这个函数的一个极大值，根据最大值原理， | f ( z ) | {\displaystyle |f(z)|} 在定义域上是常数。因此，运用柯西-黎曼方程可以得到 f ′ ( z ) = 0 {\displaystyle f'(z)=0} ，于是f(z) 是常数函数...

次调和函数（subharmonic）是數學上對函數的一種分類，常用在偏微分方程、複變分析及位勢論中。 次调和函数類似單變數的凸函数。若一凸函数和一線段相交於二點，在這二點內凸函数的圖形會在線段的下方。相似的，若在次调和函数在球邊界上的值不大於调和函数的值，則若在次调和函数在球內的值也不大於调和函数的值。...

拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。...

势函数可以指： 其值為物理上向量勢或是純量勢的數學函數。 调和函数，是數學上位勢論的研究主題。 在平攤分析（amortized analysis）的勢能法（英语：potential method）中，用來描述過去資源的投入可在後來操作中使用程度的函數。...

位勢論的重要課題之一是調和函數的局部行為，其中最基本的也許是拉普拉斯方程的正則性定理，此定理斷言調和函數是解析函數。也有些結果是描述調和函數的等位面之局部結構，例如 Bôcher 定理，它描述正調和函數的孤立奇點。如前一節所述，調和函數的孤立奇點可分類為可去除奇點、極點與本性奇點。 研究調和函數...

調和分析，也稱為諧波分析（英語：Harmonic analysis），是數學中的一個分支，是由基本波的叠加來表示其他函数或是信號，並且研究及擴展傅里叶级数及傅里叶变换（也是傅里叶分析的擴展）。自十九世紀以來，調和分析已用在許多的領域中，像是信號處理、量子力學、潮汐理論（英语：Theory of tides）及神经科学。...

transform）是一个对函数 u(t) 产生定义域相同的函数 H(u)(t) 的线性算子。 希尔伯特变换在信号处理中很重要，能够导出信号 u(t) 的解析表示。这就意味着将实信号 u(t) 拓展到复平面，使其满足柯西－黎曼方程。 例如，希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的调和共轭，也就是调和...

potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零 Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} 的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。 拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。...

在數學中，調和共軛（Harmonic conjugate）是針對函數的概念。定義在開集 Ω ⊂ R 2 {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}} 中的函數 u ( x , y ) {\displaystyle u(x,\,y)} ，另一個函數 v (...

實變分析中也很自然的去考慮可微、光滑函數或调和函数，這些也常常用到，不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代数基本定理若以複數表示時會比較簡單。 複變中解析函数理論的技巧也可以用在實變分析，例如應用留数定理來計算實變函數的定積分。 實分析的重要結果包括波爾查諾－魏爾斯特拉斯...

体系总势能与原子在空间的排布有关，是原子坐标等参数的函数，可以用一条曲线或一个多维表面表示。狭义的讲，将参数多于一个的势能图像叫做“(超)势能面”，而一维势能函数的图像称为“势能曲线”。势能面的多项式表面形式与它们在势能理论里的应用，有着自然的对应关系，而这种关系牵涉到对这些表面相互之间的调和函数。...

学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在純粹數學中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测...

equations），又称柯西-黎曼条件。是提供了可微函数在开集中為全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。 在一对实值函数 u ( x , y ) {\displaystyle...

數學中，調和測度是調和函數理論中出現的一個概念。给定了一个解析函数的模在一个区域 D 边界上的界，能用调和测度去估计函数在区域内部的模。在一个非常相关的领域，一个伊藤扩散 X 的调和测度描绘了 X 撞击 D 边界的分布。 设 D 是 n-维欧几里得空间中一个有界开区域，n ≥ 2，记 ∂D 为 D...

analysis）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。 研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。 複变函数，是自变量和因变量皆为複数的函数...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

principle）是复分析中有关调和函数序列收敛的定理，由哈纳克不等式得到。 假设 u 1 ( z ) {\displaystyle u_{1}(z)} , u 2 ( z ) {\displaystyle u_{2}(z)} , ...是复平面C的开连通子集 G {\displaystyle G} 上的调和函数，并且在...

示纪念。在现代数学理论中，傅里叶积分变换可以得到各种推广，并在分析学中有广泛应用，构成了調和分析这一数学领域。 经过傅里叶变换生成的函数 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 称作原函数 f {\displaystyle f} 的傅里叶变换，应用意义上称作频谱。在特定情況下，傅里叶变换是可逆的，即将...

|z-z_{0}|} 。由于 u {\displaystyle u} 是全纯函数的实数部分，我们知道 u {\displaystyle u} 一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。 于是问题变为：存在某个实值调和函数 u {\displaystyle u} ，对所有的 U {\displaystyle...

+x_{n}^{2}}}.} {\displaystyle } 在 n=3 和 n=5  才能行成雙調和方程式。 雙調和方程式的解為雙調和函數。任何調和函數都是雙調和函數，但雙調和函數不一定是調和函數。 在二維極坐標中，雙調和方程為 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ∂ r ( 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ φ...

在複分析中，留数定理，又叫残数定理（英語：Residue theorem），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。 假设 U {\displaystyle U} 是复平面上的一个单连通开子集， a 1 , ⋯ , a...

函數有關。 在实际应用中，边值问题应当是适定的（即：存在解，解唯一且解會隨著初始值連續地變化）。許多偏微分方程領域的理論提出是為要證明科學及工程應用的許多边值问题都是适定問題。 最早研究的边值问题是狄利克雷问题，是要找出调和函数，也就是拉普拉斯方程的解，後來是用狄利克雷原理找到相關的解。...

經典力學中的歐拉－拉格朗日方程 經典力學中的哈密頓力學 熱力學中的牛頓冷卻定律 波动方程 電磁學中的麦克斯韦方程组 熱力學中的熱傳導方程式 定義调和函数的拉普拉斯方程 泊松方程 廣義相對論中的爱因斯坦场方程 量子力學中的薛丁格方程式 測地線 流體力學中的納維－斯托克斯方程式 隨機過程中的擴散方程 流體力學中的對流－擴散方程...

(x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.} 它是第一个多伽玛函数。 双伽玛函数，通常用ψ0(x)、ψ0(x)或 Ϝ {\displaystyle \mathrm {\Digamma} } 来表示，与调和数有以下的关系： ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle...

problem）是寻找一个函数，使其为给定区域内一个指定的偏微分方程（PDE）的解，且在边界上取预定值。 对许多偏微分方程，狄利克雷问题都可解，但最初是对拉普拉斯方程提出来的。在这种情形下问题可如下表述： 给定定义在Rn中一个区域的边界上一个函数f，是否存在惟一连续函数u在内部两次连续可微，在边界上连续，使得u在内部调和并在边界上u...

\dots } 薄板样条（thin plate spline，为多重调和样条的特例）： ϕ ( r ) = r 2 ln ⁡ ( r ) {\displaystyle \phi (r)=r^{2}\ln(r)} 径向基函数网络 径向基函数核 Kansa方法 Radial Basis Function networks...

柯西积分定理（或稱柯西－古薩定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0. 设 Ω {\displaystyle...

{\displaystyle \partial \Omega } 上满足 v = g {\displaystyle v=g} 的函数 v {\displaystyle v} （如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。 由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在...