几何空间的一种微分几何学。 一般来讲，非欧几何有广义、狭义、通常意义三个不同含义： 广义的非欧几何：泛指一切和欧几里得几何不同的几何学。 狭义的非欧几何：仅指罗氏几何或黎曼几何。 通常意义的非欧几何：指罗氏几何和黎曼几何二者。 曹亮吉. 歐幾里得無瑕獲釋？. 科學月刊. [2007-08-20]...

欧几里得几何（英語：Euclidean geometry）指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。 欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。 数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何...

歐幾里得也寫過一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得幾何被广泛的认为是數學領域的經典之作。 欧几里得生前活躍於亞歷山大圖書館，而且很有可能曾在柏拉圖學院學習。直到現在都無法得知欧几里得的生卒日期、地點和細節，也沒有找到任何欧几里得在世時期所畫的畫像，所以現存的欧几里得...

椭圆几何是欧几里得平行公设不成立的几何的一个例子。与此公设相反，就像在球面几何中一样，不存在平行线，因为任何两条线都必须相交。然而，与球面几何不同，通常假设两条线相交于一个点（而不是两个点）。因此，本文中描述的椭圆几何有时被称为单椭圆几何，而球面几何有时被称为双椭圆几何。 十九世纪这种几何的出现刺激了非欧几何的普遍发展，包括双曲几何。...

通常将两个非点状物体之间的距离定义为它们之间点对之间的最短距离。已知可以计算不同类型物体之间的距离的公式，例如点到直线的距离。在高级数学中，距离的概念已经推广到抽象度量空间，而且还研究了除欧几里得距离以外的其他距离。在统计学和优化的某些应用中，有时会使用欧几里得距离的平方而不是距离本身。 使用这个距离，欧...

欧几里得空间是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理在幾何原本中都有所體現。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 ...

歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法123456789652，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何...

Clifford)在椭圆空间中进行研究，并且仅出现在至少三维的空间中。由于平行线具有等距的性质，“平行”一词是从欧几里得几何中借用的，尽管椭圆几何的“线”是测地曲线，并且与欧几里得几何的线不同，它们的长度是有限的。 四元数代数提供了椭圆空间的描述几何，其中克利福德平行性得到明确。 克利福德丛是一种基于克利福德平行线的拓扑构造，海因茨·霍普夫...

CDB=90^{\circ }} 。 勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中不成立的，因勾股定理之成立涉平行公设。 周髀算經, 文物出版社, 1980-03, 其一，“以为勾的广三，股修四，径隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。” ...

几何学家是研究几何学的数学家。 下表列出了一些重要几何学家和他们的主要研究领域，按出生时间顺序排列如下： 更多資料：幾何學發展史（英语：History of geometry） Baudhayana（英语：Baudhayana sutras） (fl. c. 800 BC) —— 欧几里得几何，代数几何...

在几何学中，角（jiǎo）（英語：angle）或精确用语平面角，是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。一般的角會假設在欧几里得平面上，但在非欧几里得几何中也可以定義角，特別是在球面幾何學中的球面角（英语：spherical...

假定所有歐幾里得公設（當中包括平行公設）都成立的幾何称为歐幾里得幾何。假定平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何，也就是只假設前四條公設的，稱為仿射幾何。 这只是一个与平行线的性质有关的公设。欧几里得已在《几何原本》第I卷定义第23条中定义过平行线了。。 歐幾里得幾何...

双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。與欧几里德几何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在欧几里德几何中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並...

n，用于证明双曲几何与通常欧几里得几何的等相容性（英语：equiconsistency）（equiconsistency）。 距离公式最先由阿瑟·凯莱在射影和球面几何的情形下写出。菲利克斯·克莱因意识到它对非欧几里得几何的重要性并普及了这个论题。 阿瑟·凯莱使用射影几何中的交比衡量球面几何...

黎曼幾何 黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这么对称。 复幾何 研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非...

在抽象代數中，歐幾里得整環（[Euclidean domain] 错误：{{Lang}}：无效参数：|3=（帮助））是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle...

几何著作中作了讨论。 他获得博士后，开始担任一连串的教授职位。1901年他在西西里的卡塔尼亚大学开始教学，不久后转到热那亚大学；1908年转到都灵的都靈理工大學，接着在都灵大学。他留在这里数十年。 他这时的研究主要在数学分析，特别是微分方程、泛函分析和复分析；但他也研究了变分学、群论、非欧几里得...

希尔伯特公理（Hilbert's Axioms）是欧几里得几何的现代化基石，由大卫·希尔伯特于1899年在其著作 Grundlagen der Geometrie（中译：《几何基础》）中提出。 除本套公理以外，亦有其他对欧几里得几何的公理化尝试，如塔斯基公理​（英语）以及伯克霍夫公理​（英语）。...

有一个“几何”还是很多个？自欧几里得以来，几何意味着二维（平面几何）或者三维（立体几何）欧几里得空间的几何。在19世纪上半叶，有了一些发展使得这个景象变得复杂了。数学应用要求有四维或者更高维的几何；对传统欧几里得几何的基础的审视已经揭示出平行公理和其他公理的独立性，而且非欧几里得几何已经诞生；而在射影几何中，新的“点”（无穷远点，有复数坐标的点）已经被引入。...

威廉·卡尔·约瑟夫·基灵（德語：Wilhelm Karl Joseph Killing，1847年4月10日—1923年2月11日），德国数学家，在李代数、李群与非欧几里得几何等理论作出了重要贡献。 基灵就读于明斯特大学，随后1872年在卡尔·魏尔斯特拉斯与恩斯特·库默尔的指导下在柏林写博士论文。他从1868年到18...

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

開始的。更深層次的研究是數論；對空間的研究則是從幾何學開始的，首先是歐幾里得幾何和類似於三維空間的三角學。後來產生了非歐幾里得幾何，在相對論中扮演著重要角色。 在进入知识可以向全世界传播的现代社会以前，有记录的新数学发现仅仅在很少几个地区重见天日。目前最古老的数学文本是《普林顿...

擬群結構（英语：Pseudogroup） G-结构 综合微分几何（英语：synthetic differential geometry） 度量张量 黎曼流形 伪黎曼流形 列维-奇维塔联络 非欧几里得几何 橢圓幾何 球面幾何學 Sphere-world（英语：Sphere-world） 球面三角學 双曲几何 雙曲空間 双曲面模型 庞加莱圆盘模型...

以下列出的误解都是针对第一条定理而产生的。 该定理并不意味着任何公理系统都是不完备的。例如，欧几里得几何可以被一階公理化为一个完备的系统（事实上，欧几里得的原创公理集已经非常接近于完备的系统。所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现了形式化证明之后才注意到需要它们）。...

在非欧几里得几何中，庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model）是赋有庞加莱度量的上半平面，这是二维双曲几何的一个模型。 它以昂利·庞加莱命名，但最初是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型（属于黎曼）证明了双曲几何...

在數學中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英語：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如...

欧几里得空间化”的一个拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近“局部类似于欧氏空间”。更精确地说，n维流形（n-manifold），简称n流形，是一个拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域，该邻域同胚于n维欧氏空间的一个开集。 流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得...

欧几里得定理是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。 欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下： 对任何有限素数的集合 p 1 , p 2 , . . . , p n {\displaystyle {p_{1},p_{2},...,p_{n}}}...

数学：确定性的丧失（英語：Mathematics: The Loss of Certainty）是莫里斯·克莱因的一部关于数学文化在整个20世纪发展变化的著作。 这本书追溯了数学发展中一些令数学家们也表示惊讶的发现，如非欧几里得几何的发现如何震惊了19世纪的数学家以及哥德尔不完备定理如何让逻辑学家们沮丧。 Review...

非欧几何，但是他拒绝发表任何东西，因为他害怕引起争议。“非欧几何”一词由他创造，这一发现是几何领域的革命性转变，因为它使数学家摆脱了错误的观念，即欧几里得公理是使几何学一致且无矛盾的唯一方法。对非欧几何的研究促成了爱因斯坦的广义相对论，后者将宇宙描述为非欧几里得空间。...

几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德爾不完備定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何...