在数学分析中，黎曼-勒贝格定理（或黎曼-勒贝格引理、黎曼-勒贝格积分引理）是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上定义的函数（傅里叶变换的方面）。在任一种形式下，定理...

拉克斯-米尔格拉姆定理 黎曼映射定理 吕利耶定理 勒让德定理 拉格朗日定理 (数论) 勒贝格微分定理 雷维收敛定理 刘维尔定理 六指数定理 黎曼级数定理 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 留数定理 良序定理 里斯表示定理 黎曼-罗赫定理 罗斯定理 黎曼-勒贝格定理 拉东-尼科迪姆定理 毛球定理 莫雷角三分线定理 迈尔斯定理...

000个素數對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。 黎曼猜想之所以被認爲是當代數學中一個重要的問題，主要是因為很多深入和重要的數學甚至是部分物理結果都能在它成立的大前提下得到證明。大部份數學家也相信黎曼猜想的正確性（約翰·恩瑟·李特爾伍德與阿特勒·塞爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格...

，如果逐点收敛的函数序列中的每個函數都能被同一个勒贝格可积的函数「控制」（即在每一點，序列中的每個函數的绝对值都小于「控制函數」），那么函数序列的极限函数的勒贝格积分等于函数序列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性，在数学分析和实变函数论中有很大的应用。...

勒贝格积分能够更好地描述在什么情况下积分有极限，这是勒贝格积分更加成功的主要原因。勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函数的积分。比如输入值为无理数时函数值为0，输入值为有理数时函数值为1的狄利克雷函数没有黎曼积分，但是有勒贝格积分。 黎曼在一份致保罗·蒙特尔的信中总结了他的方法：...

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英語：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 讓函數 f {\displaystyle f} 為定義在區間 [ a , b ] {\displaystyle...

\mu .} :345 除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。 达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。 黎曼－斯蒂尔杰斯积分：黎曼积分的推广，用一般的函数g(x)代替x作为积分变量，也就是将黎曼和中的 ( x i + 1...

Gromov的贝蒂数定理：有一个常数C=C(n)使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C. Myers定理：若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。 分裂定理：若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何...

上的一个自同构。 上述积分变换是基于黎曼积分的。然而相比之下，使用基于测度的勒貝格積分来定义傅里叶积分变换有许多的优势。下文提到傅里叶积分变换时都默认是勒贝格积分意义上的。 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 上全体勒贝格可积的函数构成的向量空间记作 L 1 (...

{1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt} 这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 f ( x − t ) sin ⁡ ( t / 2 ) {\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}}...

在数学中，测度是一種將几何空間的度量（长度、面积、体积）和其他常见概念（如大小、质量和事件的概率）廣義化後產生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它從 n {\displaystyle n} 维欧式空间 R n {\displaystyle...

庞加莱猜想 卡塔兰猜想 谷山-志村猜想 天使问题 法伊特-湯普森定理 怪兽月光理论 ε-猜想 四色猜想 弱哥德巴赫猜想 漢娜·諾伊曼猜想 克卜勒猜想 卡迪森－辛格問題 欧拉猜想 默滕斯猜想 Abc猜想（望月新一自称已证明） 吾鄉-朱加猜想 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 布羅卡猜想 考拉兹猜想 克拉梅爾猜想...

f(x)} 。这有时称为勒贝格微分定理。 定理的第一部分对于任何具有原函数 F {\displaystyle F} 的勒贝格可积函数 f {\displaystyle f} 都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。 泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。 对于复数函数，也有一个类似的形式：假设...

會是谷山-志村猜想的一個反例。格哈德·弗賴的猜想隨即被肯尼斯·阿蘭·黎貝證實。此猜想顯示費馬大定理与橢圓曲線及模形式的密切關係。 1995年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒在一特例範圍内證明谷山志村猜想，弗賴的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明費馬大定理。 懷爾斯證明費馬大定理...

四平方和定理 的士數 一般化的士數 士的數 Schnirelmann密度 和集 兰道-拉马努金常数 謝爾賓斯基數 Seventeen or Bust 見代数数论主题列表 Unimodular lattice（英语：Unimodular lattice） 费马平方和定理 黎曼ζ函數 在ζ(2)上的貝塞尔问題...

François Lacroix）、加斯帕尔·蒙日同意，但在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德评審后被拒绝出版，他的现在被称为傅里葉逆轉定理（英语：Fourier inversion theorem）的理论后来发表于1822年出版的《热的解析理论》。...

[0,1]} 上的有界变差函数，积分是黎曼-斯蒂尔杰斯积分。区间上的正则博雷尔测度与有界变差函数之间存在一一对应关系（即，将相应的勒贝格-斯蒂尔切斯测度赋予每个有界变差函数，而对勒贝格-斯蒂尔切斯测度的积分与连续函数的黎曼-斯蒂尔切斯积分一致），于是上述定理推广了里斯的原始表述。 Rudin 1987，第40頁...

以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。 处处无极限、不连续、不可导。 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分，單調收斂定理不成立。 是偶函数。 它在 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上勒贝格可积。 若 y {\displaystyle y} 為有理數則 f (...

Poincaré），或稱裴瑞爾曼定理，是几何拓扑学中的一條定理，最早由法国数学家儒勒·昂利·庞加莱提出，是克雷數學研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但並未現身領獎。 在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基於恩里科·貝...

黎曼流形的曲率（英语：Curvature of Riemannian manifolds） 絕妙定理 高斯-博内定理 陈—高斯—波涅定理（英语：Chern–Gauss–Bonnet theorem） 陳－韋伊同態 高斯映射 第二基本形式 曲率形式 黎曼曲率張量 测地曲率 数量曲率 截面曲率 里奇曲率張量、里奇平坦流形 Ricci...

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。 注意，函数可以有不定积分（反导数），而并不在如下的定义中可积。例如函数 F ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle...

&&{z=0}\end{aligned}}\right.} 1923年，卢曼断言只要附加函数在区域上连续的条件，就可以推出函数的解析性，从而强化了古尔萨定理。然而，卢曼当时的证明中存在一个漏洞。缅绍夫于1931年发表的证明则弥补了这一漏洞，他的证明用到了勒贝格积分和贝尔纲定理。1933年，数学家斯坦尼斯拉夫·萨克斯（英语：Stanislaw...

mathematische Abhandlungen》。 在其他方面，施瓦茨改良了黎曼映射定理的證明，發展柯西-施瓦茨不等式的一個特例，並給出球的表面積比其他同等體積的物體還要小隻證明。他在後者方面的研究使埃米爾·皮卡證明微分方程之解的存在性（皮卡-林德勒夫定理）。 1892年，施瓦茨成為柏林科學院院士及柏林大學教授，其...

平滑函数比一般可微函数表现更好。 连续可微函数比一般连续函数表现更好。函数可以微分的次数越多，它的表现就越好。 连续函数比稠密集上的黎曼可积函数表现更好。 黎曼可积函数比勒贝格可积函数表现更好。 勒贝格可积函数比一般函数表现更好。 在拓扑中，连续函数比不连续函数表现得更好。 欧几里德空间比非欧几里德几何更好。 吸引不动点比排斥不动点更好。...

在数学中，亨斯托克-考兹维尔积分（英語：Henstock–Kurzweil integral，也称为卢津积分、 佩龙积分，有时为了和广义当茹瓦积分区别而称为当茹瓦积分）是黎曼积分的一种推广，有些情况下比勒贝格积分更加宽泛。 亨斯托克-考兹维尔积分最早是由二十世纪初法国数学家阿尔诺·当茹瓦（英语：Arnaud Denjoy）引进的。当茹瓦在研究形似：...

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。 如果函数...

(1415–1492) 列奥纳多·达·芬奇 (1452–1519) —— 欧几里得几何 约翰内斯·开普勒 (1571–1630) —— 將几何思想运用到天文学中 吉拉德·笛沙格 (1591–1661) —— 射影几何；笛沙格定理 勒内·笛卡儿 (1596–1650) —— 发明解析几何方法 布莱兹·帕斯卡 (1623–1662)...

{\displaystyle n} 而言，該數字也會很大之故，這提供了勒讓德猜想成立的證據。 另外已知質數定理可無條件地或在黎曼猜想成立的狀況下，給出對短區間內質數個數的精確估計；然而已證明可行的區間大小大於兩個完全平方數構成的區間，因此就勒讓德猜想而言依舊太大。 從艾伯特·英厄姆（英语：Albert...

theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes'...

到2015年10月，合作作者达到了68人。 陶哲轩与英国数学家本·J·格林（英语：Ben J. Green）的合作尤为著名；他们共同证明了格林-陶定理，该定理在数学家中享有盛誉。该定理指出，存在任意长的素数等差数列。纽约时报这样描述这一成就： 2004 年，陶哲轩博士与剑桥大学的数学家本·格林（英语：Ben...

公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。 在中世紀早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契有關等差数列的研究外，西欧在數論上沒有什麼進展。 中世纪数论主要是指15-16世纪由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的数论。最早是在文藝復興的末期...