发散级数（英語：Divergent Series）是指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots } 和 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }...

调和级数（英語：Harmonic series）是正整數的倒數之和，是发散的无穷级数，表达式为： ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac...

级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。 有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数...

}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots } 是发散的，当且仅当 | r | ≥ 1，此稱為發散幾何級數（英語：Divergent geometric series）。有时需要考虑发散级数的求和，通常利用与收敛情况相同的公式来计算发散几何级数的和： ∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 −...

級數寫作： ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}} 它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為...

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数...

是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。 ∑ k = 0 n 2 k . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}.} 作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。 如果以代數運算的方式來計算這個數...

…表示以由小到大的接续正整數，依次加後又減、減後又加，如此反复所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符号表示前m项之和，可写作： ∑ n = 1 m n ( − 1 ) n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}} 此无穷级数发散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2,...

無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和，是一个发散级数，其數學式也寫作 ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n} 此級數前 n 项的部分和即是三角形數： ∑ n = 1 n n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle...

作为实数级数，它发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下，这一级数有一個廣義的和為⅓。 戈特弗里德·莱布尼茨於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + …這個交替的发散级数。他認為經過從右邊或左邊相減，分別可以得到正無限及負無限，所以兩個答案都是錯的，而整個級數必為有限：...

在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数（英語：Laurent series），是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由皮埃尔·阿方斯·洛朗在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。...

· ”各项按顺序从左至右两两相加，会得到另一个具有同样的和的几何级数，“1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·”。这是数学史上第一个被求和的级数；它曾被阿基米德于公元前约250~200年使用过。 发散级数“1 − 2 + 4 − 8 + · · ·”的欧拉变换是“1/2...

级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶（1768年–1830年），他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家欧拉、达朗贝尔和克莱罗，已发现在认定一個函数有三角级数...

比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（D'Alembert's test）。 设 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 为一级数，如果 lim n → ∞ | u n + 1 u...

_{n=1}^{\infty }1} ，是一個發散級數，表示其部份和形成的數列不會收斂。數列1n可以視為公比為1的等比級數。不同於其他公比為有理數的等比級數，此級數不但在實數下不收斂，在某些特定數字p的p進數下也不收斂。若在擴展的實數軸中，因為部份和形成的數列單調遞增且沒有上界，因此級數的值如下： ∑ n = 1 ∞...

在数学中，赫尔德求和是一种对发散级数求和的方法，由 赫尔德 （1882）引进。 给定一个级数 a 1 + a 2 + ⋯ , {\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots ,\,} 定义 H n 0 = a 1 + a 2 + ⋯ + a n {\displaystyle...

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(an+b).} 如果a = b = 0，那么这个级数的和为0。如果a 或b中一个不是零，那么这个级数发散且在一般意义下没有和。 无穷算术级数的zeta正规化和的正确形式和赫尔维茨zeta函数的值相关， ∑ n = 0 ∞ ( n...

\,} 就不是一个幂级数。 作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有： 阿贝尔引理：给定一个幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle...

數學上，發散級數： ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!} 是被歐拉首次研究，他應用重求和方法給級數賦予一個有限的值。此級數是被交替加減的階乘之總和。要給發散級數賦值，其中一個方法是用博雷爾和，其型式上寫成：...

3,...)} ： 如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 发散，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 发散。 设 σ k = ∑ n...

恩纳斯托·切萨罗（義大利語：Ernesto Cesàro，1859年3月12日—1906年9月12日），意大利数学家，出生于那不勒斯。切萨罗的贡献主要集中在微分几何方面，因为在发散级数领域提出切萨罗平均和切萨罗求和而闻名。 Corso di analisi algebrica con introduzione al calcolo...

在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。 如果序列通项的极限不为零或无定义，即 lim n → ∞ a n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0} ，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数...

C<1\,} 时级数绝对收敛（当然同时也收敛） 当 C > 1 {\displaystyle \,C>1\,} 或 C = ∞ {\displaystyle \,C=\infty \,} 时级数发散 当 C = 1 {\displaystyle \,C=1\,} 时级数可能收敛也可能发散。 比值审敛法...

summation）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由埃米尔 博雷尔 （1899）提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。 博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。...

.~} 是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要   x > 0   {\displaystyle ~x\!>\!0~} 。 自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数： E 1 ( z ) = exp...

拉比判別法（英語：Raabe's Test）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。 对任意级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 如果存在 r > 1 {\displaystyle...

a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,} 它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出： c n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k + 1 ⋅ ( − 1 ) n − k n − k +...

第十一章　常数项无穷级数 §1　引言 §2　正项级数的收敛性 §3　任意项级数的收敛性 §4　收敛级数的性质 §5　累级数与二重级数 §6　无穷乘积 §7　初等函数的展开 §8　藉助于级数作近似计算 §9　发散级数的求和法 第十二章　函数序列与函数级数 §1　一致收敛性 §2　级数和的函数性质 §3　应用...

数学上，无穷级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·是绝对收敛序列的一个初等例子。 这是一个从 1/2 开始公比为 1/2 的几何级数，从而它们的和是： 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = 1 2 1 − ( + 1 2 ) = 1. {\displaystyle...

summation）是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro）發明，是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而發散級數也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。 令{an}為一數列，且令 s k = a 1 + ⋯ + a k {\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots...

發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。 拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數...