在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。 因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作...

整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。 代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統，使其能以代數...

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數...

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。 整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z+或 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} ）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z-或 Z − {\displaystyle...

种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（如黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以...

代数整数是任何整系数首一多项式的根。显然代数整数是代数数的一部分，但代数数不全是代数整数。所有整数都是代数整数，其余的有理数则不是代数整数。代数整数的集合记作 A {\displaystyle \mathbb {A} } ，是代数数的子集。在某些上下文中，为了与代数整数区别，整数也被称作有理整数。...

i}{3}}} 是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。 艾森斯坦整数环是仅有的九个由 Q ( D )   ( D < 0 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})~(D<0)} 中的代数整数构成的主理想环之一。另外的八个分别是...

在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。...

起初人們只覺得某部分的數是數，後來隨著需要，逐步將數的概念擴大；例如畢達哥拉斯認為，數必須能用整數和整數的比表達的，後來發現无理数無法這樣表達，引起第一次數學危機，但人們漸漸接受無理數的存在，令數的概念得到擴展。 數的算術運算（如加減乘除）在抽象代數這一數學分支內被廣義化成抽象數字系統，如群、環和體等。...

的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。 代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数:4。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作 O...

均是整數。若其中能找到一組整數解 m 1 , m 2 . . . m n {\displaystyle m_{1},m_{2}...m_{n}} 者則稱之有整數解。 丟番圖問題一般可以有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。换言之，丟番圖問題定義了代數...

number）是指任何一個不是代數數的複數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。 幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。 超越數是代數數的相反，也即是說若 x {\displaystyle...

在數學中，負一寫作 −1，是 1 的加法逆元，即當 −1 加上 1 之後就變為 0。−1 是介於 −2 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。 負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為 e i π = − 1 {\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1} 。...

Noether，1882年3月23日—1935年4月14日），德國數學家，是抽象代數和理論物理學上聲名顯赫的人物。帕维尔·亚历山德罗夫、阿爾伯特·愛因斯坦、讓·迪厄多內、赫爾曼·外爾和諾伯特·維納等學者都把諾特譽為歷史上最傑出的女性數學家。她所開發的數學領域包括環、域和域上的代數；在物理方面，她所證明的諾特定理揭示了對稱性和守恆定律之間的緊密關係。...

他是有領導地位的代數學家。他貢獻主要在代數數論，特別是類體論。他建立了L函數的其中一個構作方法。他對環、群和域等基本概念的整理亦有所建樹。他發展了代數拓撲的分枝辮理論。 他對伽羅瓦理論和同調群亦十分了解。 他留於後世有兩大猜想。兩者均未證，分別關於： 伽羅瓦群的阿廷L函數的線性表示 給定整數a，求a是不同質數p模的原根的頻率。...

1 {\displaystyle r^{-1}=r^{n-1}} 亦為 R {\displaystyle R} 的元素）。 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環 Z ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {5}})}...

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} 上由一個齊次多項式 f ( X , Y ) {\displaystyle f(X,Y)} 定義的零點。 定義在域 F {\displaystyle F} 上的仿射代數曲線可以看作是...

group）是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。 一個代数数域K的理想类群是形如 JK /PK 的商群; 此处JK 是代数数域K的整数环的所有分式理想构成的群; 而PK是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。 理想类群在一定程度上可以测量K的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度:...

整数可以被认为是自然数的扩展。負整數与0则统称为非正整数。 負整數是指小於零的整數。負整數存在最大值負一，但不存在最小值；負整數與負整數的和仍是負整數，而負整數與負整數的積會變為正整數。 由於負整數與負整數的積會變為正整數，因此負整數的平方與其相反數的平方數相同 (...

抽象代数（英語：Abstract algebra）作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」（abstract algebra）一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。...

皮索特-維賈亞拉加文數（Pisot–Vijayaraghavan number，簡稱皮索數或PV數）是指一大於1的實數代數整數，且其共軛代數數的絕對值小於1。皮索數是在1912年由數學家阿克塞尔·图厄發現，後來1919年戈弗雷·哈羅德·哈代在研究丟番圖逼近時再度發現皮索數，但一直到1938年查理·皮索特（英语：Charles...

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。...

{\displaystyle \alpha } 的極小多項式的所有根的積。 代數整數的範數仍是代數整數。 在代數數論亦可為理想定義範數。若 I {\displaystyle I} 是代數數域 K {\displaystyle K} 的整數域 O k {\displaystyle O_{k}} 中的理想， N...

代數、代數數論與代數幾何裡的重要工具與研究對象。整數環的質理想為理想 (0)、(2)、(3)、(5)、(7)、(11)、…算術基本定理被廣義化成準素分解，可將每個在可交換諾特環裡的理想表示成準素理想（為質數冪次的一適合廣義化）的交集。 透過環的譜這個概念，質理想成為代數...

在程式設計的型別系統中，数据类型（英語：Data type），又稱資料型態、資料型別，是用來約束数据的解釋。在程式語言中，常見的数据类型包括原始类型（如：整數、浮點數或字元）、多元組、記錄單元、代數資料類型、抽象数据类型、參考型別、类以及函式型別。資料類型描述了數值的表示法、解釋和結構，並以演算法操作，或是物件在記憶體中的儲存區，或者其它儲存裝置。...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有...

整數分解（英語：integer factorization）又称整数因式分解、整数因子分解，或整数因子化，在数论中，“整数的因数分解”是指在可能的情况下，将一个正整数分解为更小整数的乘积，即寫成幾個因數的乘積。若进一步限制因数为质数，则这个过程称为质因数分解（英語：prime...

高精度计算算法，用于处理可能出现的巨大整数。 大型的数学算法库、特殊函数库。 数学算法库、特殊函数库不仅要满足用户的需求，还要满足简化器的需求。例如，多项式最大公约数的计算被系统地用于简化涉及分数的表达式。 这些繁杂的功能要求解释了通用计算机代数系统的数量为何如此之少。一些重要的系统包括Axiom_计算机代数...

代數結構的前身。 整數Z在加法下的群记為（Z, +），它在上面已經描述了。整數帶有用乘法替代加法的運算，(Z, ·)不形成群。閉合、結合律和單位元公理滿足，但逆元不存在：例如，a = 2是整數，但方程a·b = 1的唯一解在這種情況下是b = 1/2，它是有理數而非整數。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。...

O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 定義為該域中的代數整數。當 d ≡ 1 mod 4 {\displaystyle d\equiv 1\mod 4} 時，整數環可描述為 Z ( 1 + d 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} ({\frac...

整数，属于偶数，其既不是正数也不是负数。 0是大多数记数系统的位值记号，同样作为占位符数字使用。这种用法起源于印度数学，中世纪时经伊斯兰数学家传播到欧洲，并由斐波那契推广。玛雅人也独立使用了相关概念。 在数论中，0不属于自然数；但在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数結構中都有著單位元這個很重要的性質。...