在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於...

在泛代数中代数结构（英語：Algebraic structure）是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合。 例如，群、环、域和格的代数结构。更复杂的结构可以被定义为通过引入多个操作，不同的基础集，或通过改变限定公理。更复杂的代数结构的实例包括向量空间，模和代數 (環論)。关于代数结构的的详细情况，参见各个链接。...

algebra）（或稱為模）、特殊的環（例如群環、除环、泛包絡代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環（英语：PI ring）。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环理論的發展，這部份後來稱為交換代數...

代數是一個較為基礎的數學分支。它的研究對象有許多。諸如數、數量、代數式、關係、方程理論、代數結構等等都是代數學的研究對象。 初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時会發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。 代數...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

抽象代数（英語：Abstract algebra）作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」（abstract algebra）一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。...

林斯頓大學。其學生包括塞尔日·兰、約翰·泰特及王湘浩。 他是有領導地位的代數學家。他貢獻主要在代數數論，特別是類體論。他建立了L函數的其中一個構作方法。他對環、群和域等基本概念的整理亦有所建樹。他發展了代數拓撲的分枝辮理論。 他對伽羅瓦理論和同調群亦十分了解。 他留於後世有兩大猜想。兩者均未證，分別關於：...

在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。 此學科原稱「理想論...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

黑克代數，又名黑克環，是對稱羣環（group ring for the symmetric group） c S d {\displaystyle \mathbb {c} {\mathfrak {S}}_{d}} 的 ϵ − {\displaystyle \epsilon -} 形變，在代數數論及表示論都會出現。...

間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。 模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。 假設 R {\displaystyle R} 是環(ring)且 1 R ∈ R {\displaystyle 1_{R}\in R}...

环可能指： 數學方面的「環」: 环 (代数)，一种代数结构。 環 (圖論)，一個圖論概念。 環圈，拓撲空間中會回到起點的函數。 形狀方面的「環」： 环形，一种二维平面几何图形。 环面，轮胎状几何体表面。 化學結構中的環： 环 (蛋白质)，一种蛋白质的二级结构。 环 (核酸)，核酸结构中的单链区。 天文方面的：...

在有限維空間的積分。對不同的作用量而言，這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論，包括： Gromov Witten 不變量（即IIA型弦論） 辛流形裡的全純曲線計數 Seiberg Witten不變量 Chern Simon 數規範場 IIB型弦論則利用了 Hodge 結構的形變來計算。 亞歷山大·格羅滕迪克...

在環論中，戴德金整環是戴德金為了彌補一般數域中算術基本定理的空缺而引入的概念。在戴德金整環中，任意理想可以唯一地分解成素理想之積。 戴德金整環指的是有乘法單位元素 1 {\displaystyle 1} ，並具備下述性質的交換諾特整環 A {\displaystyle A} ： A {\displaystyle...

R上的所有有限維度單代數都與R、C或H上的矩陣環同構。R上的所有中心單代數都與R或H上的矩陣環同構。這些結果由弗罗贝尼乌斯定理（英语：Frobenius theorem (real division algebras)）得出。 C上的所有有限維度單代數都是中心單代數，與C上的矩陣環同構。...

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數...

代数簇、代數區體，亦作代數多樣體，是代數幾何學上多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象。 術語簇（variety）取自拉丁语族中詞源（cognate of word）的概念，有基於“同源”而“變形”之意。 历史上，代数基本定理建立了代数...

諾特在1921年發表《環的理想理論》，（德語：Idealtheorie in Ringbereichen）首次寫下了交換環的定義，為交換環論打下了基礎。此前，在交換代數上的研究主要針對個別的交換環，如域上的多項式環和代數整數環等。諾特證明，若環...

y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset } 代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。 複射影曲線可以嵌入 n {\displaystyle n} 維複射影空間 C P n {\displaystyle...

阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。 一個環 A {\displaystyle A} 稱作阿廷環，若且唯若對每個由 A {\displaystyle A} 的理想構成的降鏈 a 1 ⊃ a 2 ⊃ … , ⊃ a n ⊃ … {\displaystyle {\mathfrak...

在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。 局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。 「局部化」一詞源出代數幾何。設...

在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設 A {\displaystyle A} 為一整環。 A {\displaystyle A} 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 K {\displaystyle K} 中的整閉包是有限 A {\displaystyle A} -模。...

在數學裡，結合代數是指一向量空間(或更一般地，一模)，其允許向量有具分配律和結合律的乘法。因此，它為一特殊的代數。結合代數，是一種代數系統，類似於群、環、域，而更接近於環。仿照由實數來構造複數的方法，可用複數來構造新的數。 一於體K上的結合代數A的定義為一於K上的向量空間，其K-雙線性映射A × A...

在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。 分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。 分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 R {\displaystyle R} 為一個整環，而 S := R...

同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。 同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到代數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。 同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數...

在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。 代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。...

在交換代數中，一個環 R {\displaystyle R} 的理想 I {\displaystyle I} 的高度是包含於 I {\displaystyle I} 的素理想鏈長度之上確界。 素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 R {\displaystyle R} 中有 n + 1 {\displaystyle...

代数K-理论和拓扑K-理论的研究，將研究對象與環關聯，從而研究這些對象的拓撲性質。他構建的新的上同调理论，用代數技術研究拓撲對象，在代数数论、代数拓扑以及表示论中有深遠的影響。他創造的拓撲斯理論，是點集拓撲學的範疇論推廣，影響了集合論和數理邏輯。 他對幾何的貢獻，藉著在算術幾何中用代數...

數學中的頂點算子代數（英語：Vertex operator algebra，縮寫：VOA）為一代數結構，於二維共形場論及弦論扮演了非常重要的角色，此外並應用在物理上，而頂點算子代數在基礎數學方面更已經被證實其用處，如在怪獸月光理論及幾何朗蘭茲綱領。 因著Igor Frenkel曾提出想構造一無限維李代數，1986年由理查德·博赫兹(Richard...

在数学中，复维特代数（英語：Witt algebra）是黎曼球面上某些亚纯向量场組成的李代数，其滿足：存在某兩個固定點，使各個向量場在該兩點以外皆處處全纯。它也是圆上多项式向量场的李代数和环C [ z, z − 1 ] 的導子李代数的复化。維特代數得名於Ernst Witt（英语：Ernst Witt）。...