在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於...

algebra）（或稱為模）、特殊的環（例如群環、除环、泛包絡代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環（英语：PI ring）。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环理論的發展，這部份後來稱為交換代數...

在泛代数中代数结构（英語：Algebraic structure）是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合。 例如，群、环、域和格的代数结构。更复杂的结构可以被定义为通过引入多个操作，不同的基础集，或通过改变限定公理。更复杂的代数结构的实例包括向量空间，模和代數 (環論)。关于代数结构的的详细情况，参见各个链接。...

抽象代数（英語：Abstract algebra）作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」（abstract algebra）一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。...

代數是一個較為基礎的數學分支。它的研究對象有許多。諸如數、數量、代數式、關係、方程理論、代數結構等等都是代數學的研究對象。 初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時会發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。 代數...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。 模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。 假設 R {\displaystyle R} 是環(ring)且 1 R ∈ R {\displaystyle 1_{R}\in R}...

林斯頓大學。其學生包括塞尔日·兰、約翰·泰特及王湘浩。 他是有領導地位的代數學家。他貢獻主要在代數數論，特別是類體論。他建立了L函數的其中一個構作方法。他對環、群和域等基本概念的整理亦有所建樹。他發展了代數拓撲的分枝辮理論。 他對伽羅瓦理論和同調群亦十分了解。 他留於後世有兩大猜想。兩者均未證，分別關於：...

在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。 此學科原稱「理想論...

諾特在1921年發表《環的理想理論》，（德語：Idealtheorie in Ringbereichen）首次寫下了交換環的定義，為交換環論打下了基礎。此前，在交換代數上的研究主要針對個別的交換環，如域上的多項式環和代數整數環等。諾特證明，若環...

代数簇、代數區體，亦作代數多樣體，是代數幾何學上多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象。 術語簇（variety）取自拉丁语族中詞源（cognate of word）的概念，有基於“同源”而“變形”之意。 历史上，代数基本定理建立了代数...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

在有限維空間的積分。對不同的作用量而言，這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論，包括： Gromov Witten 不變量（即IIA型弦論） 辛流形裡的全純曲線計數 Seiberg Witten不變量 Chern Simon 數規範場 IIB型弦論則利用了 Hodge 結構的形變來計算。 亞歷山大·格羅滕迪克...

黑克代數，又名黑克環，是對稱羣環（group ring for the symmetric group） c S d {\displaystyle \mathbb {c} {\mathfrak {S}}_{d}} 的 ϵ − {\displaystyle \epsilon -} 形變，在代數數論及表示論都會出現。...

环可能指： 數學方面的「環」: 环 (代数)，一种代数结构。 環 (圖論)，一個圖論概念。 環圈，拓撲空間中會回到起點的函數。 形狀方面的「環」： 环形，一种二维平面几何图形。 环面，轮胎状几何体表面。 化學結構中的環： 环 (蛋白质)，一种蛋白质的二级结构。 环 (核酸)，核酸结构中的单链区。 天文方面的：...

在數學裡，結合代數是指一向量空間(或更一般地，一模)，其允許向量有具分配律和結合律的乘法。因此，它為一特殊的代數。結合代數，是一種代數系統，類似於群、環、域，而更接近於環。仿照由實數來構造複數的方法，可用複數來構造新的數。 一於體K上的結合代數A的定義為一於K上的向量空間，其K-雙線性映射A × A...

在環論中，戴德金整環是戴德金為了彌補一般數域中算術基本定理的空缺而引入的概念。在戴德金整環中，任意理想可以唯一地分解成素理想之積。 戴德金整環指的是有乘法單位元素 1 {\displaystyle 1} ，並具備下述性質的交換諾特整環 A {\displaystyle A} ： A {\displaystyle...

代数K-理论和拓扑K-理论的研究，將研究對象與環關聯，從而研究這些對象的拓撲性質。他構建的新的上同调理论，用代數技術研究拓撲對象，在代数数论、代数拓扑以及表示论中有深遠的影響。他創造的拓撲斯理論，是點集拓撲學的範疇論推廣，影響了集合論和數理邏輯。 他對幾何的貢獻，藉著在算術幾何中用代數...

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數...

理想（英語：Ideal）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想是整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合的推廣。两个偶数相加...

在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。 局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。 「局部化」一詞源出代數幾何。設...

y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset } 代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。 複射影曲線可以嵌入 n {\displaystyle n} 維複射影空間 C P n {\displaystyle...

在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設 A {\displaystyle A} 為一整環。 A {\displaystyle A} 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 K {\displaystyle K} 中的整閉包是有限 A {\displaystyle A} -模。...

若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。 在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。 一個含么環 R {\displaystyle R} 被稱作局部環，若且唯若它滿足下述等價條件： R 僅有一個極大左理想。...

泛代数，也称普适代数学（英語：Universal algebra），研究通用於所有代數結構的理論，而不是代數結構的模型。舉個例子，並不是將特殊的個別的群作為個體分別來學習，而是將整個群論的理論作為學習的主題。 從泛代数角度來看，代數是擁有一組運算元的集合A。在A上的n元運算是以n個A的元素為輸入並...

作用下的不變量構成一個子環，由基本對稱多項式生成，由於基本對稱多項式彼此代數獨立，此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群。晚近的研究則更關切算法問題，例如計算不變量環的生成元，或給出其次數的上界。 對於一般的代數...

反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。 給定一個域 F {\displaystyle F} ，其代數封閉性與下列每一個性質等價： 域F是代数闭域，当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。 “一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数...

代數幾何中，代數簇的周環（得名於周煒良）是簇作為拓撲空間的上同調環的替代品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數...

諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。 一個環 A {\displaystyle A} 稱作諾特環，若且唯若對每個由 A {\displaystyle A} 的理想構成的升鏈 a...

同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。 同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到代數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。 同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數...