在數學中，唯一分解整环（英語：Unique factorization domain，縮寫：UFD）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。 一個整環 R {\displaystyle...

主理想整环在以下的包含链中出现： 伪环 ⊃ 环 ⊃ 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 整闭整环（英语：integrally closed domain） ⊃ GCD環 ⊃ 唯一分解整環 ⊃ 主理想整环 ⊃ 歐幾里得整環 ⊃ 域 ⊃ 代數閉域 主理想整环的例子包括： K {\displaystyle...

在抽象代數中，歐幾里得整環（[Euclidean domain] 错误：{{Lang}}：无效参数：|3=（帮助））是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle...

具整數係數（或更一般地，具唯一分解整環R內之係數）的多項式被稱為在R上不可約，若該多項式為多項式環（在唯一分解整環上的多項式環也是一唯一分解整環）內的不可約元素，亦即該多項式不可逆、非零，且無法分解成兩個係數在R內的不可逆多項式之乘積。另一個常用定義為，一多項式「在R上不可約」，若該多項式在R的分式環...

整环（Integral domain），又譯作整域，是抽象代數中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。...

{\displaystyle R} 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類： 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。 主理想整環（ Principal ideal...

GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）。 GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足主理想升链条件（英语：ascending chain condition on principal...

在數學裡，尤其是在抽象代數裡，交換環的質元素（prime element）是指滿足類似整數裡的質數或不可約多項式之性質的一個數學物件。須注意的是，質元素與不可約元素之間並不相同，雖然在唯一分解整環裡是一樣的，但在一般情況下則不一定相同。 交換環 R 的元素 p 被稱為質元素，若該元素不為 0 或可逆元素，且若...

i , − i {\displaystyle 1,-1,i,-i} 的範數均為 1 {\displaystyle 1} 。 高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为 1 , − 1 , i , − i {\displaystyle 1,-1,i,-i} 。 Z [ i ] {\displaystyle...

的類数為1，即 Q [ − 3 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]} 的類数為1，亦即其整數環為唯一分解整環，且這個二次域在複平面上形成了一個六角網格，每個六邊形又可分成6個三角形（三角網格）。 而根據史塔克-黑格纳理論（英语：Stark–Heegner...

在環論中，戴德金整環是戴德金為了彌補一般數域中算術基本定理的空缺而引入的概念。在戴德金整環中，任意理想可以唯一地分解成素理想之積。 戴德金整環指的是有乘法單位元素 1 {\displaystyle 1} ，並具備下述性質的交換諾特整環 A {\displaystyle A} ： A {\displaystyle...

这里需要注意的是需要考虑分解确实“质数”的，同样的算式可以出现在Q[√-5]中，但是因为Q[√-5]是一个二次域，既一定是唯一分解整环。 OK的理想类群是一个整数环OK的元素是否唯一因子分解的度量，特别是当整数环OK理想类群是平凡群时，当且仅当O为唯一分解整环。0的唯一因子分解和OK素理想间关系。 OK元素的唯一分解...

UFD可以指： 超暗矮星系（Ultra faint dwarf），一種矮橢球星系 唯一分解整環（Unique factorization domain） 統一戰線部（United Front Department），一個北韓政府機構 烏拉聯邦管區（Ural Federal District），俄羅斯的8個聯邦管區之一...

的類数為1，亦即其整數環為唯一分解整環。而根據史塔克-黑格纳理論（英语：Stark–Heegner theorem），有此性質的負數只有9個，其對應的自然數稱為黑格纳数。 此外負二也能使二次域 Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} 成為簡單歐幾里得整環（simply...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

黑格纳数（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虚二次域Q(√−d)的類数为1，亦即其整數環為唯一分解整環。 黑格纳数只有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS數列A003173） 高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提...

{\displaystyle R[X]} 是主理想環（事實上還是個欧几里得整环）。 若 R 是唯一分解環，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。 若 R 是整環，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。 若 R 是諾特環，則 R [ X ] {\displaystyle...

在代数學中 ，高斯引理以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。 高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。 高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。...

{\displaystyle ad=bc} 。 不可簡化的分數的概念可推論任何唯一分解整環之分式環：透過劃分分子和分母的最大公因數，這一項元素的領域中可被寫出它們的分數。特別適用越過其他領域的代數式。然而不可簡化的分數在給定元素上，既使是同樣的可逆元素，也是唯一較多人使用分子和分母的乘法。在有理數的情況下意旨任何數字具...

Bafut language（英语：Bafut language）（ISO 639代碼：bfd），喀麥隆一種語言。 有界分解整環（英语：Bounded factorization domain），唯一分解整環的推廣，每個環元素可以有多種方式寫成不可約元之積，但該分解式中不可約元的個數有上界。...

在任一環R裡，每個素元都是不可約元素。反之不一定成立，但在唯一分解整環裡會成立。 算術基本定理在唯一分解整環裡仍然成立。此類整環的一個例子為高斯整數Z[i]，由具a + bi（其中a與b為任意整數）形式的複數所組成之集合。其素元稱之為「高斯質數」。不是所有的質數都是高斯質數：在這個較大的環Z[i]之中，2可被分解成兩個高斯質數...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

algebra）（或稱為模）、特殊的環（例如群環、除环、泛包絡代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環（英语：PI ring）。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环...

与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造商群。 恩斯特·库默尔提出了理想数的概念，以此作为那些不具有唯一因子分解的数环的“缺失”的因子。“理想”在这里的意思是它只存在于想象中，可以类比在几何中那些“理想”的...

此处JK 是代数数域K的整数环的所有分式理想构成的群; 而PK是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。 理想类群在一定程度上可以测量K的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时，代数数域K的整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。...

也成立。奠基情形经常是显然的。（但是，也有归纳步骤是平凡的而奠基情形却困难的例子。关于多项式的定理经常是这种类型，证明对变元的个数用归纳法。证明如果系数环 A 是唯一分解整环那么 A[X1,...,Xn] 是唯一分解整环，归纳步骤只要简单的写成 A[X1,...,Xn] = A[X1,...,Xn-1][Xn]，而一个变元的奠基情形是...

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。...

除环（英語：Division ring），又譯非可换体、反對稱體（skew field），是一类特殊的环，在环内除法运算有效。需要特别注意的是，此环内必有非0元素，且环内所有的非0量都有对应的倒数。除环不一定是交换环，比如四元数环。 换种说法，一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。...

如果R和S都是域，则im(f)是S的一个子域（如果f不是零函数）。 如果R和S是交换环，S没有零因子，则ker(f)是R的一个素理想。 如果R和S是交换环，S是一个域，且f是满射，则ker(f)是R的一个最大理想。 对于每一个环R，都存在一个唯一的环同态Z → R。这就是说，整数环是环范畴中的始对象。 函数f : Z → Zn，由f(a)...

設(R,+,·)為环，若S是R的一個非空子集，且(S,+,·)也是環，則稱(S,+,·)為(R,+,·)的子環（subring）。 設(R,+,·)為环，S是R的一個非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子環，當且僅當： R的零元素也在S裡 ∀a,b∈S, a+b∈S ∀a∈S, -a∈S ∀a...