塔斯基不可定義定理（英語：Tarski's undefinability theorem），是由阿爾弗雷德·塔斯基在1936年給出並證明，是在數理邏輯、數學基礎及形式化語義方面的一個重要的限制結果。簡單來說：我們無法在算術系統中定義何謂「算術的真理」。從而這個定理...

巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可...

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 哥德尔不完备定理...

U)的輸出可能出現兩種狀況： 假設H(U, U)输出“停机” -> U(U)進入死循环：由定义知二者矛盾（与过程H的定义相矛盾，因为照H自己本來的定義，H(U, U)的結果應該和U(U)相同，但U()的定義卻是永遠做出與H()相反的結果。） 假設H(U, U)输出死循环 -> U(U)停机：两者一样矛盾。...

言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。 数学家考虑的多数数学结构，特别是多数范畴的多数成员，是这里定义意义上的模型。勒文海姆–斯科伦定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。 对于在模型 M 中为真的如下形式的一阶句子 ∀ x   ∃ y  ...

不可判定问题是可计算性理论和计算复杂性理论中定义的一类决定性问题，此类问题无法总是用单一算法得出正确的是/否的答案。停机问题是这类问题的一个代表：对于停机问题，没有算法能够正确判定任意程序是否会终止运行。 决定性问题是一类根据从一个无限集合中选取的输入值，得出是或否的回答的问题。因此，根据传统定义...

斯科倫定理和康托爾定理，可以構造出一種“病態”集合論模型，使整個模型可數，但模型內卻會覺得自己有「不可數集」。類似地，可以證明實數系的普通一階理論既有可數模型又有不可數模型。這類的悖論被稱為斯科倫悖論。但一階的直覺主義邏輯裡，勒文海姆–斯科倫定理不可證明，故不會有以上之現象。...

{\displaystyle 2^{n}>n} ，因此不存在從原集合到其冪集的滿射。 但更重要的是對任意无限集合，康托爾定理也成立。這同時證明了，可数无限集合構造的冪集的基數是嚴格大於任何可数无限，以此創造出不可數無限的概念。 證明：對任何的集合 S {\displaystyle S} ，它的元素與冪集 P ( S...

，就不能算是定理）。 猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命题，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。 如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。...

如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。 在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。...

定理:没有最大的基数。 这个事实上是康托尔定理的直接结论，該定理的內容是关于一个集合的幂集的势。 证明: 假定相反情况，并设 C 为最大基数。则（在冯·诺伊曼基数指派中）C 是一个集合因此有幂集 2C，通过康托尔定理，它有严格的大于 C 的势。但根據定义 C...

定理。一个系统称为独立的，若它的每个公理都是独立的。 虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。 若一個公理系统中，每个命题及其否定命題中至少有一方可被證明，則稱該公理系統為完備 。 公理系统的数学模型是一个定义良好的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统中所定义...

塔斯基修习了武卡谢维奇、谢尔宾斯基、斯特凡·馬祖爾凱維奇（英语：Stefan Mazurkiewicz）和塔德乌什·柯塔宾斯基教授的课程，并成为唯一一位能够从莱斯涅夫斯基手下毕业的博士。然而塔斯基和莱斯涅夫斯基的关系很快变得冷淡。在私底下莱斯涅夫斯基有时用一些反犹太主义的词来形容塔斯基。不过塔斯基一直热情称赞Kotarbiński。...

可靠性定理是数理逻辑的最基本结果。它们有关于某个形式逻辑语言与这个语言的形式演绎系统的特定语义理论。可靠性定理有两种主要变体：弱可靠性的和强可靠性的。“强”与“弱”的意义在于，强可靠性考虑句子的任意集合，而与弱可靠性有关的句子的空集是这种集合之一。大多数的演绎系统，强可靠性和弱可靠性都成立，但並非全部的演繹系統都如此。...

假設選擇公理成立，三分法就會成立於所有的勢中，所以可以有以下的定義。 任何勢小於自然數集的集合稱為有限集合。 任何勢和自然數集一樣的集合稱為可數無限集合。 任何勢大於自然數集的集合稱為不可數集合。 注意，到目前為止，我們只是從函數的角度去定義勢的概念：我們沒有把一個集合的勢真正地定義為一具體的對象。以下將略述此一處理方法。...

恆真式：符號化的邏輯真理 定理 有效性 分析-综合区别 冯契，徐孝通主编,外国哲学大辞典,上海辞书出版社,2000.07,第778页 Quine, Willard Van Orman, Philosophy of logic 扎尔塔, 爱德华·N (编). Logical Truth. 《斯坦福哲学百科全书》...

此定理又稱毕氏定理、商高定理、畢達哥拉斯定理、新娘座椅定理或百牛定理。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘數學家畢達哥拉斯，但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過，現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。日本除了翻譯西方的「畢達哥拉斯之定理」外亦有「三平方之定理」的稱呼。...

數學歸納法，皮亞諾公理（有關自然數的公理）中的一部分； 替代公理，ZFC集合論中的一部分。 理查德·蒙塔古首先證明出公理模式是不可消除的，因此皮亞諾算術及ZFC集合論都是不可有限公理化的。 所有ZFC集合論裡的定理也會是NBG集合論的定理，但後者很令人驚訝地，是有限公理化的。新基础集合论也可有限公理化，但重要性則較小。...

性。用技术语言来说，证明集合是原始递归的。实质上，这就是哥德尔完全性定理，虽然那个定理的通常陈述使它与算法之间的关系不明显。 有效的一阶公式的集合是不可计算的，也就是说，不存在算法用作检测一條公式是否普遍成立。不過，儘管一階邏輯不可判定，仍是“半可判定”的，即存在某個算法，滿足：对此算法输入一个一阶...

語法上：公理系統不能推導出兩個相反的結果。亦即不存在命題P，使得P→Q和P→~Q同時成立。 哥德尔完备性定理 哥德爾不完備定理 完备性 嚴謹 (數學) 不一致的謬誤 矛盾 破釜邏輯 查看维基词典中的词条「一致性」。 Mortensen, Chris. Inconsistent Mathematics...

不可满足的，意味着S在有足够大特征值的这些域中成立。 从这个定理还得出，有一个无限模型的任何理论都有任意大基数的模型。所以，有着带有不可数多个自然数的皮亚诺算术有非标准模型。非标准分析是出现无限个自然数的另一个例子，是不能被任何公理化所排除的可能事物，也是紧致性定理的一个推论。 紧致性定理...

若等同物減去等同物，則其差會相等。 相互重合的事物會相互等同。 整體大於部分。 近150年來，數學家所學到的是，將意思從數學陳述（公理、公設、命題、定理）和定義中抽離出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可說是公式化）使得數學知識變得更一般化，容許多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。...

繹有效性的概念可以用語義學中已明確理解的概念嚴格地陳述出来。另一方面，歸納的有效性則要求必須定義對某一觀察集合的「可靠廣義化」。此定義可以用各種不同的方式來達成，有的方式會比其他的方式不那麼形式化；有些定義也許會用到機率的數學模型。 许多文化都采用复杂的推理系统，最初僅有三个地方把逻辑学作为對推理...

就旋轉不變且可數可加的機率測度而言，是一個不可測集合，因為假若 X {\displaystyle X} 是零測集，那這個圓的測度就會是零；但若 X {\displaystyle X} 的測度大於零，那可數可加性就會使得這個圓的測度為無限大。 巴拿赫-塔斯基悖論指出，除非在以下數條中至少一條作出讓步，不然在三維空間中無法定義體積： 一些集合的體積在旋轉後發生變化。...

lemma），又稱為不動點定理（fixed point theorem）。在數理邏輯中，對角線引理表明了自然數的形式理論中自指句子的存在——尤其是那些強到足以表示所有可計算函數的形式理論。 由對角線引理確立其存在的句子，將可用於證明一些邏輯的基礎限制，例如：哥德爾不完備定理或塔斯基不可定義定理。 記自然數系為...

定性問題由圖靈度決定，指的是一種在任何解答中隱含的不可計算性量詞。 計算性理論的研究集中在決定性問題上。在§ 與函數問題的等價性中，並沒有失去其普遍性。 決定性問題指的是在一個數量為無限大的輸入集合中，可產出任何是或非解答的問題之集合。因此傳統上定義決定性問題，乃依其解答為「是」的輸入之集合。在此情形下，一決定性問題亦等於一形式語言。...

定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。...

维塔利集合是一个勒贝格不可测的集合的例子，以朱塞佩·维塔利命名。维塔利定理就是关于这种集合存在與否的存在性定理，它是一个非构造性的结果。维塔利集合有无穷多个，它们的存在性是在选择公理的假设下证明的。 有些集合有确定的“长度”或“质量”。例如，区间[0, 1]具有长度1；更一般地，区间[a, b]，其中a...

一个经典的例子的病态结构是魏尔斯特拉斯函数，它处处连续但处处不可微。可微函数和魏尔斯特拉斯函数的总和也是连续的，但是无处可微；所以这种函数至少与可微函数一样多。事实上，由贝尔纲定理之一可以显示，连续函数通常是无处可微的。 通俗地说，大多数函数都不可...

斯在统计物理学中对熵的工作，啟發了信息論的熵。 信息熵是信源編碼定理中，壓縮率的下限。若編碼所用的資訊量少於信息熵，則一定有資訊的損失。香农在大數定律和渐进均分性（英语：Asymptotic equipartition property）的基础上定義了典型集（英语：Typical...

四色定理（英語：four color theorem），又稱四色地圖定理（four color map theorem），是一个数学定理：如果在平面上劃出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个无外飞地的地图都可以用不多於四...