循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。 循環小數都為有理數的小數表示形式，例： 5 4 = 1.25 = 1.25000000 ⋯ = 1.25 0 ¯ = 1.24999999 ⋯ = 1.24 9 ¯ {\displaystyle {5...

小数，是實数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数称为纯小数，整数部分不是零的小数称为带小数。 對應的英文維基百科頁面為Decimal representation（英语：Decimal...

logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。 非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。...

{\begin{smallmatrix}{\frac {1}{3}}\end{smallmatrix}}} 的简单整数，長除法後变成了一个循环小数0.333…，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个 0.999… = 1 的证明。用 3 乘以 0.333… 中的每一个 3，便得到 9，所以 3 × 0...

與其他進位系統一樣，十六進位的系統可以用來表達分數，而循環小數也是很常見的： 由于基数16是平方（42），所以与10进制相比16进制小数的余数循环周期更加常见。十进制时当最简分母包含不存在于基数的素因数时就会出现循环小数。而16进制时所有分母不是2的幂情况下都会表现为循环小数。 然而由於儲存上的方便，浮點小數在電腦上一般都會採用二進位。...

无限小数，是指小数部分的位数无限的数字，与有限小数相对。 无限小数有两种类型： 无限循环小数：小数部分有无限多个数字，且从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现的小数叫做无限循环小数。如 1 7 = 0.142   857   142   857   142   857 … {\displaystyle...

number），是無理數的數學常數，以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位， A001113）： e = 2.71828182845904523536 ⋯ {\displaystyle e=2...

印度-阿拉伯数字系统对西方中世纪的科学发展起了重要的作用。它合并了进位制和十进制系统，讓數字的紀錄更加簡便，也简化了小数和循环小数的记载。此系统只需要12个符号就可以表示所有有理数：10个数字符号、负号和一种分数符号（分号或循环小数符号）。印度-阿拉伯数字系统也鞏固了“0”在西方世界的概念。...

1]內，無理數的個數要「遠多於」有理數的個數。 无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。四种常见的无理数有无限不循环小数、含有π的数、开方开不尽的数、某些三角函数值。 判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数。 常见的无理数类型有如下几种。 1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e等。 2...

π {\displaystyle \pi } 表示。 π {\displaystyle \pi } 是无理数，不能用分数表示出来（即它的小数部分是无限不循环小数），但近似 22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}} 等有理数。學界認為π的数字序列在统计上是随机分布，但迄今未...

表示成标准形。例如，11φ = 100φ。 虽然黄金进制使用无理数作为基底，任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。所有数的有限表示都是唯一的，但和十进制一样，整数和有限小数都可以写成无限小数的形式，如十进制中的 1 = 0.99999…。 211...

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}} 有理数寫作小数時，其小数部分有限或为循环。 有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理...

在數論中，全循環質數又名長質數是指一個質數p，使分數1/p的循環節長度比質數少1，更精確地說，全循環質數是指一個質數p，在一個已知底數為b的進位制下，在下面算式中可以得出一個循環數的質數 b p − 1 − 1 p {\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}}...

{\displaystyle 15} （整数） 2.121 {\displaystyle 2.121} （有限小数） − 1.3333333 … {\displaystyle -1.3333333\ldots } （无限循环小数） π = 3.1415926 … {\displaystyle \pi =3.1415926\ldots...

比起与5有关的更多，因而如果使用十二进制来计数比起十进制遇到循环小数的可能性更小。这也是有些人支持十二进制的原因，他们认为既然一年有十二个月（一天有十二時辰，半天有十二小時），使用十二进制在财务问题的计算上会方便很多。 但在真正遇到循环小数的时候，十二进制的表示比起十进制通常又会有更长的循环项。这是...

100000以内 14285个 1000000以内 142857个 10000000以内 1428571个 ...... 用1至9除以7之後獲得的循环小数，循環的數字也是142857（7除以7除外）： 1 ÷ 7 = 0.142857 2 ÷ 7 = 0.285714 3 ÷ 7 = 0.428571...

+ 0001 = 9999 {\displaystyle 9998+0001=9999} 在十进制中，一個4位數字除以9999，會得出該4位數字的循環小数。 例如： 1234 ÷ 9999 = 0. 1 ˙ 23 4 ˙ {\displaystyle 1234\div 9999=0.{\dot {1}}23{\dot...

及在計算幻方的幻方常數中出現 M2(n) = ½ ×(n ( n2 + 1 )) 二分之一有兩個不同的十進位展開，一個是較熟悉的0.5，另一種是循環小數0.4999999...。在其他的基底中亦有類似的一對展開存在著。其中存在著一認為這兩個展開是指不同的數之普遍的陷阱：對於和其有關的詳細討論，請見證明0...

有限小數，是指小數部分的位數有限的數字，與無限小數相對。有限小數都屬於有理數，可以化成分數的形式。 簡單來說，有限小數是指小數部分的位數是有限的，是可以寫得完的。 9.8、1.0、1.1212121212等數字都是有限小數。...

{\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)} ，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。 等分： 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit...

{\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A}...

用于将元素组合在一起，尤其是在书写数学时使用，但在现代数学中，这种用途几乎完全被括号所取代。它还用于标示把罗马数字乘以一千的数值。不過，以括线表示循环小数的循环节部分卻是一个重要的例外，因為這正是它最初的用法。 上橫線 Cajori, Florian. A History of Mathematical...

{\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A}...

-1{\pmod {p}}} 。 吾鄉-朱加猜想表示，上述公式亦是p為質數的必要條件。另一個費馬小定理的推論如下：若p為2與5之外的其他質數，1/p總是個循環小數，其週期為p − 1或p − 1的因數。分數1/p依q（10以外的整數）為基底表示亦有類似的效果，只要p不是q的質因數的話。威爾遜定理表示，整數p > 1為質數，若且唯若階乘...

{\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A}...

橢圓加密，且用於許多對稱密鑰加密中，包括高级加密标准、國際資料加密演算法等。 於計算機科學, 同餘被應用於位元運算或其他與固定寬度之循環資料結構相關的操作。 於化學中, CAS號（一個對各種化合物皆異之的識別碼）的最後一碼為校驗碼，將CAS號首二部分最後的數字乘上一，下一碼乘上二，下...

{\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A}...

{\displaystyle T} 存在，則稱 T {\displaystyle T} 為函數的基本週期。 一些自然出现的序列也是周期性的，如一些有理数中的循环小数，因此我们可以说序列中的周期只是通用定义的一种特例。 如果用周期函数描述一件物体，如用位置的函数表示无限图像的颜色，那么函数的周期性就对应于物体的平移对称。...

{\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A}...

= 1 : ( − 1 ) {\displaystyle (-1):1=1:(-1)} 這個比例式來反對引進負數這個概念，在這個比例式中，大數比小數等於小數比大數。 十七世紀，數學家沃利斯主張負數會大於無限，而且一般的實作應該忽略任何由題目導出的負數，因為它們是無意義的。...

33_{5}} 因此，分母为 p {\displaystyle p} 的正整数次幂的分数在 p {\displaystyle p} 进数中表现为有限小数。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 具有许多与 R {\displaystyle \mathbb {R} }...