{\displaystyle a} 便称为 f {\displaystyle f} 的极点。满足以上条件的最小整数 n {\displaystyle n} 称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。 1.函数f在极点a的极限值是 ∞ {\displaystyle \infty } .也就是说 lim z...

极点可以指： 极点 (复分析) 极点 (平面几何) 极点 (球) 极点 (地理学)...

C} 在 a {\displaystyle a} 处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。 复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果存在有限个负幂项，那么这个点称为“极点”。 亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同 z − a = 0 {\displaystyle z-a=0}...

复平面上函数的极点与零点的位置。 复平面的想法提供了一个复数的几何解释。在加法下，它们像向量一样相加；两个复数的乘法在极坐标下的表示最简单——乘积的长度或模长是两个绝对值或模长的乘积，乘积的角度或辐角是两个角度或辐角的和。特别地，用一个模长为 1 的复数相乘即为一个旋转。 在复分析中复数通常用符号...

{\displaystyle a} 是复函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的一个极点，则 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在 a {\displaystyle a} 处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项；且主要部分的项数恰等于极点 a {\displaystyle...

在复分析中，一个函数的本质奇点（Essential Singularity）又称本性奇点，是奇点中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。 粗略来说，对复平面 C 上的给定的开子集 U，以及 U 中的一点 a {\displaystyle a} ，亚纯函数 f : U\{a} → C...

)=f(z)} （此即「雙週期」的含義）。 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者说，椭圆函数是有理型复函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。...

f(x)=x^{2}+1} 。 不恒为0的全纯函数的零点有一个重要的性质：零点都是孤立的。也就是说，对于不恒为0的全纯函数的任何一个零点，都存在一个邻域，在这个邻域内没有其它零点。 根 (数学) 極點 (複分析) 赫尔维茨定理（英语：Hurwitz's theorem (complex analysis)） Conway...

在虚轴上没有任何极点（即没有任何极点具有形式 0 + j ω {\displaystyle 0+j\omega \,} ）。这个假定来自於辐角原理中围道不能经过映射函数上任何一个极点的要求。但事实上某些传递函数的极点确实是位於虚轴上的，最常见的例子是积分器（极点在原点上）。 若要分析这类极点...

在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 f(z) 是在某个围道 C 上以及内部一个亚纯函数，且 f 在 C 上没有零点或极点，则下列公式成立 ∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z = 2...

在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤点集合之外的区域全纯的函数，且这些孤立点都是该函数的极点。 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。 直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很...

的一个极点，这样最小的 m 称为 a 的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。 如果 f 的一个孤立奇点 a 既非可去奇点也非极点，则称本性奇点。皮卡定理指出 f 将任意穿孔开邻域 U - {a} 映满整个复平面，至多少一个可能的例外点。 解析容度 可去不连续点...

function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的开子集上的，在复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中取值的，在每点上皆複可微的函数。全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数。在一点...

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在複平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在複平面上进行的。 无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点 位于右半平面，则因果系统不稳定；...

柯西积分公式是数学中复分析的一个重要结论，以十九世纪法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名。柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的全纯函数在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。...

的點是奇異點，因為該點不可微。 在實變數分析中，奇點是不连续点，或是导数的不連續點。 在複分析中，有四类奇点，如下所述。假定U為複數集C的一個開子集，a是U內的一元素，而f為定義在去心鄰域U \ {a}下的復可微函數。 孤立奇點：假定f即使定義在U \ {a}，但未定義於a。 可去奇點 極點 本性奇點...

黎曼–罗赫定理（Riemann–Roch theorem）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式转换为纯代数背景。 此定理最初是黎曼不等式，对黎曼曲面的确定形式由黎...

从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。 复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复...

点外所有点的角度不变的地图投影。尺寸依赖于地点，但不依赖于方向。 其例子有麥卡托投影和极射投影。 共形映射很重要的一组例子来自复分析。若U是一个复平面C的开集，则一个函数 f : U → C 是共形的，当且仅当它在U上是一个全纯函数，而且它的导数处处非零。若f是一个反全纯函数（也就是全纯函数的复...

Z(1/s)也是正實函數。 正實函數的所有极点和零点都在左半平面，或是在虛軸的邊界上。 虛軸上的所有极点和零点都是單純极点或零点（其重複度為1） 虛軸上的所有极点都有實數且嚴格為正的留数，虛軸上的所有零点，都有實數且嚴格為正的導數。...

其中 qk 为 k 阶零点，pk 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图（英语：pole–zero plot）。 此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。...

function）。连续时间滤波器可以用脉冲响应的拉普拉斯变换表示，这种方法根据复平面内拉普拉斯变换极点和零点的样式就可以很容易地分析滤波器的所有特性。对于离散时间信号，也可以类似地分析脉冲响应的Z变换。 在滤波器的计算机合成工具出现之前，类似于波特图和Nyquist图这样的图形工...

5z^{-1}}}\ } 在 z = 1.5 {\displaystyle z=1.5} 處有一個極點．因為極點在單位圓外，因此系統沒有BIBO穩定性。 許多數學工具可以分析系統的極點，其中也有一些是配合圖表分析，像根軌跡、波德圖及奈奎斯特圖。 機械上的調整可以提昇設備（及控制系統）的穩定性。水手會加入...

極座標的方式在复平面中繪出，常在控制系統或信號處理中使用，可以用來判斷一個有反馈的系統是否穩定。奈奎斯特图的命名是來自貝爾實驗室的電子工程師哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）。 奈奎斯特图上每一點都是對應一特定頻率下的頻率響應，該點相對於原點...

如果f是椭圆函数，那么根据留数定理，f在单元格内极点的留数之和等于0，这说明f在单元格里不可能只有一个一阶极点。要么有一个留数是0的高阶极点，要么有多于一个一阶极点。同样地，对椭圆函数函数1/f使用留数定理，可以证明f在单元格里不可能只有一个一阶零点。要么有一个高阶零点...

平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数（Winding number），是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。 卷绕数在代数拓扑中是基本的概念，在向量分析、复分析、几何拓扑、微分几何和物理学中也扮演了重要的角色。...

在数学，特别是复分析中，儒歇定理（Rouché's theorem）說明：如果复值函数 f 与 g 在一条闭曲线 C 内部及边界上全纯，在 C 上满足 |g(z)| < |f(z)|，则 f 与 f + g 在 C 内部零点个数相同，这里零点按重数计算。该定理假设曲线 C 是简单的，即没有自交点。...

在复分析中，留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数 f : C ∖ { a k } → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}\rightarrow \mathbb...

欧拉公式（英語：Euler's formula，又稱尤拉公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 x {\displaystyle x} ，都存在 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle...

以下考慮有一個極點的高通濾波器、如圖2： T H i g h ( f ) = j f / f 1 1 + j f / f 1   , {\displaystyle \mathrm {T_{High}} (f)={\frac {jf/f_{1}}{1+jf/f_{1}}}\ ,} 其中 f 是頻率，f1是極點的位置，單位都是Hz。圖中f1...

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能实现对黎曼猜想的渐近分析。 InverseLaplaceTransform （页面存档备份，存于互联网档案馆）：在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解...