的母函数（又称生成函数，英語：Generating function）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数...

在概率論和統計學中，一個實數值隨機變量的動差母函數（moment-generating function）又稱動差生成函數，矩亦被稱作动差，矩生成函數是其概率分佈的一種替代規範。 因此，與直接使用概率密度函數或累積分佈函數相比，它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數，有特別簡單的結果。...

{\displaystyle E} 表示期望值。 用矩母函数 M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} 来表示（如果它存在），特征函数就是 i X {\displaystyle iX} 的矩母函数，或 X {\displaystyle X} 在虚数轴上求得的矩母函数。 φ X ( t ) = M...

^{+}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\end{cases}}} Gamma分配的矩母函数（m.g.f） M x ( t ) = E ( e x t ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ e x t x α − 1 e − λ x...

一个离散随机变量的概率母函数是指该随机变量的概率质量函数的幂级数表达式。 如果 X {\displaystyle X} 是在非负整数域 { 0 , 1 , . . . } {\displaystyle \{0,1,...\}} 上取值的离散随机变量，那么 X {\displaystyle X} 的概率母函数定义为...

贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数 y ( x ) {\displaystyle...

該分位數函數有時也被稱為probit函數。probit函數已被證明沒有初等原函数。 正态分布的分布函數 Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} 沒有解析表達式，它的值可以通過數值積分、泰勒級數或者漸進序列近似得到。 動差生成函數，或稱動差母函數被定義為 exp ⁡ ( t X...

− p ) {\displaystyle \,np(1-p)\,} 。其概率母函数为 G ( z ) = ( 1 − p + p z ) n , {\displaystyle G(z)=(1-p+pz)^{n},} 矩母函数为 M X ( t ) = ( 1 − p + p e t ) n , {\displaystyle...

+x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}} 可得以上结论。 范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。 2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = ∑ n = 0 ∞ a ( n ) b ( n ) c ( n ) n ! =...

。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理（英语：Raikov's theorem））。 其動差母函數为： M X ( t ) = E [ e t X ] = ∑ x = 0 ∞ e t x e − λ λ x x ! = e − λ ∑ x = 0...

{1}{n^{p}}}} 局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。...

C_{n}=\int _{0}^{4}x^{n}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4/x-1}}\mathrm {d} x} 若卡塔兰数的母函数是 M ( z ) = ∑ C n z n {\displaystyle M(z)=\sum C_{n}z^{n}} 则 M ( z ) = 1 +...

X^{n}\rangle _{c}.\,} 。 如果随机变量的矩生成函数不存在，那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。 有些作者偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数。 h ( t ) = ∑ n = 1 ∞ κ n (...

{\displaystyle m} 对应位的数值。 这是 庫默爾定理 的一个特殊情况。 卢卡斯定理有多种证明方法。 下面首先给出一种组合方法的证明，然后给出了一种基于母函数方法的证明。 设 M {\displaystyle M} 为 m {\displaystyle m} 元集，将其划分为 m i {\displaystyle...

.} 这可以看作形式母函数，形式欧拉乘积展开的存在性与 a ( n ) {\displaystyle a(n)} 为积性函数两者互为充要条件。 a ( n ) {\displaystyle a(n)} 为完全积性函数时可得到一重要的特例。此时 P ( p , s ) {\displaystyle...

{\displaystyle \psi (t)} 称为母小波，是在时间和频率域中的连续函数， ⋅ ¯ {\displaystyle {\bar {\cdot }}} 表示复共轭。母小波的主要目的是为生成子小波（即母小波的尺度伸缩和平移）提供原函数。逆连续小波变换（Inverse continuous...

S_{k}=(b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+\cdots +b_{m}^{k}),k=1,2\cdots ,n} ，则波利亚计数定理的母函数形式为： P ( G ) = 1 ∣ G ∣ ∑ j = 1 g Π k = 1 n S k c k ( p j ) {\displaystyle...

{Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 累积分布函数為： F ( x ; λ ) = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle F(x;{\color...

{7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}}+{\frac {31}{24}}{\frac {T^{6}}{8!}}.} 对于玻色函数的奇矩（odd moment），我们有相似的母函数： ∫ 0 ∞ d ϵ 2 π sinh ⁡ ( ϵ τ / π ) 1 e β ϵ − 1 = 1 4 τ { 1 − τ...

观测上所得到的结果；似然性，则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值，也就是說已觀察到某事件後，對相關母數進行猜測。 在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作： P ( A ∣ B ) = P ( A , B ) P (...

wavelet）是由数学家哈尔·阿尔弗雷德於1909年所提出的函数变换（英语：Transform theory），是小波轉換中最簡單的一種轉換，也是最早提出的小波轉換。他是多贝西小波的於N=2的特例，可稱之為D2或db1。 哈爾小波的母小波（mother wavelet）可表示為： ψ ( t )...

EGF可以指： 東大福克斯（East Grand Forks），美國明尼蘇達州的一座城市 表皮生長因子（Epidermal growth factor） 指數母函數（Exponential generating function） EGF，中國河南省新鄉東站的電報碼...

\ldots } 中任何有限个都独立，则称之为独立随机变量（随机向量）序列。 关于随机变量的矩、特征函数、母函数及半不变量，分别见数学期望、方差、動差及概率分布。 一个新的随机变量能被博雷尔可测函数定义 g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow...

離散物件數目的最大或最小值，還有算兩次和特異元素法（英语：method of distinguished element）能證明許多組合恆等式。 母函数和遞歸關係也是很強的工具，能巧妙操作數列，描述許多組合問題的情景，甚至將之解決。 加法原理是以下直觀結論：若有兩類方法做某事，甲類 a {\displaystyle...

{\displaystyle n} 个无差别的球放进 k {\displaystyle k} 个不同的盒子的问题。可一般化为求不定方程的解数，并利用母函数解决问题。 隔板法与插空法的原理一样。 现在有 10 {\displaystyle 10} 个球，要放进 3 {\displaystyle 3} 个盒子里...

k} 大於複形維度時， b k = 0 {\displaystyle b_{k}=0} 。 對於有限 CW 複形，定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函數 P X ( z ) := ∑ k b k z k {\displaystyle P_{X}(z):=\sum _{k}b_{k}z^{k}} 對於任意...

R. Ragazzini）后来发展并推广了改进或高级Z变换。 Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。 从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。 像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。...

sequence）是由数字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函数。级数也是一種数列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在計算理論中...

在數學中，伯努利多項式在對多種特殊函數特別是黎曼ζ函數和赫尔维茨ζ函数的研究中出現。作為阿佩爾序列的一種，與正交多項式不同的是，伯努利多項式的函數圖像與x軸在單位長度區間內的交點數目並不會隨著多項式次數的增加而增長。當多項式的次數趨近無窮大的時候，伯努利多項式的函數形狀類似于三角函數。 伯努利多項式...

其中 m = 0 , 1 , 2... {\displaystyle m=0,1,2...} ，δ是克罗内克δ函数。 伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（ex − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪級數的收斂半徑），有 x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B...

母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。 Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多 在實務上，Vanish moment=5 在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。 1. 有值區間必須是有限的(Compact Support): 母小波不能是一個無限長的函數。...