在数学中，素数计数函数是一个用来表示小于或等于某个实数x的素数的个数的函数，记为 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 。 在数论中，素数计数函数的增长率引起了很大的兴趣。在18世纪末，高斯和勒让德曾猜想这个函数大约为： x / ln ⁡ ( x ) {\displaystyle...

\mathrm {d} z} ，其中围道γ逆时针环绕负实轴 黎曼-西格尔公式：给出计算ξ函数的数值的方法 零点的计算：计算了虚部介于0与100的所有零点的数值 素数的分布公式：引入黎曼素数计数函数，给出了它与ζ函数的关系 1896年，雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了 ζ ( s ) {\displaystyle...

向量（即幅值为1的向量），因为它们通常具有更理想的性质。函数通常会根据其定义域上积分为1、最大值为1或平方积分值为1的条件进行归一化，具体取决于其应用。 1是勒让德常数的值。该常数由阿德里安-马里·勒让德于1808年提出，用于描述素数计数函数的渐近行为。韦伊关于玉河数的猜想指出，对于所有单连通群（即路径连通且无“空洞”的群），其玉河数...

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 π ( x ) ≈ x ln...

梅林变换有许多应用。出于它与狄利克雷级数的联系，它也被用以证明黎曼ζ函数与素数计数函数有关的的函数方程；进一步地，它也与解析数论有关，如在佩龙公式中。 同时，它与伽马函数密切相关，很多常见函数的梅林变换中都需要用到伽马函数或它衍生出的贝塔函数；这使得它被运用在梅林-巴恩斯积分和超几何函数...

表示10的一个古戈尔次幂，即1010100（1后面接10100个0）。 斯奎斯数（英語：Skewes' number） 表示素数计数函数與对数积分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數： e e e 79 < 10 10 10 34 {\displaystyle...

零次函数（常數函數）：零次多项式，图像为水平线。 一次函数：一次多项式，图像为斜直线。 二次函数：二元二次多项式，图像为圆锥曲线。 三次函数 四次函数 五次函数 有理函数：两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数：形式上相似于三角函数。 对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。...

勒让德常数是一个出现在素数计数函数的渐近展开式中的数学常数，其值經證明為1。 勒让德在研究素数的分布情况时，发现 π ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)} 满足以下等式： lim x → ∞ ln ⁡ ( x ) − x π ( x ) = B {\displaystyle...

conjecture）是數論中的一個猜想，是由數學家G·H·哈代及約翰·恩瑟·李特爾伍德提出，和區間內的質數個數有關，假設π(x)為小於等於x整數中的質數個數（素数计数函数），則哈代－李特尔伍德第二猜想為 π(x + y) ≤ π(x) + π(y) 對於 x, y ≥ 2時成立。...

次為偶數，則該质因数除以4的餘數必為3。例如45 = 9 + 36可以表示為二個平方數的和，其質因數分解為32 × 5，其中只有3的幂次為偶數，而其3除以4的餘數為3，因此符合平方和定理。 素数计数函数 埃里克·韦斯坦因. Landau–Ramanujan Constant. MathWorld. ...

(n)}\S =\sum _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}\,,} π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} 是素数计数函数。 例如： 11 § = p 5 § = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 {\displaystyle 11\S =p_{5}\S...

{\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} ，其中 π {\displaystyle \pi } 表示素数计数函数， l i {\displaystyle li} 则表示对数积分。经过数学家对这一上界的不断改进，目前发现在 e 727.95133 {\displaystyle...

大Ο符号（也可能用大写的拉丁字母O表示） Π代表： 数学中用以表示乘积的符号 几何学中一个平面 π代表： 圓周率，為圆的周长与直径的比值 数论中的素数计数函数 微观经济学和博弈论中的利润 宏观经济学中的通货膨胀率，表为与时间有关的常数 马尔科夫链的状态分布 化学中的一种共价键（π键） 粒子物理学中的π介子...

素数计数函数π(N)的大小可以用自然對數函數log(N)近似： π ( N ) ∼ N log ⁡ ( N ) {\displaystyle \pi (N)\sim {\frac {N}{\log(N)}}} 第四章是高斯與歐拉的生平，以及質數定理的發展過程；第五章從巴塞尔问题開始探討黎曼ζ函數：...

{\displaystyle i} 為虛數單位。沿臨界綫的黎曼ζ函數有時通過Z-函數進行研究。它的實零點對應於ζ函數在臨界綫上的零點。 素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布並没有簡單的規律。黎曼（1826－1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函數紧密相关。 1901年Helge von...

\ldots {\text{ for all }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ respectively}}}     A104272 其中 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 是 素數計數函數，等於小於或等於 x的素數的個數。...

在數論上，邁爾定理（Maier's theorem）是一個關於短區間內的質數數量的定理。而該定理指出克拉梅爾的質數機率模型給出的猜測是錯的。 該定理指稱若π是素數計數函數，而λ是一個大於1的數，那麼下式在x趨近於無限時發散： π ( x + ( log ⁡ x ) λ ) − π ( x ) ( log ⁡ x )...

{\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#} 其中，π(n)是質數計數函數（OEIS數列A000720），表示小於或等於某個實數n的質數的個數。 它等於： n # = { 1 if  n = 1 n × ( ( n − 1...

的基数。这种情况下，与素数定理对应的推广就是兰道素理想定理（英语：Landau prime ideal theorem），描述了 O K {\displaystyle O_{K}} 中的理想的渐进分布。 算术函数与ζ函数的用处十分广泛。可以將传统的解析数论中算术函数与ζ函数...

該猜想指稱，對於任意的x>1而言，至少有一個質數存在於x(x-1)和x^2之間，且至少有一個質數存在於x^2和x(x+1)之間。 該猜想也可等價地表述為「素數計數函數對這些區間的端點必須取不等號」，也就是說，對於任意的x>1而言有： π(x^2-x) < π(x^2) < π(x^2+x) 其中π(x)指的是小於等於x的質數個數。...

{\displaystyle O} 代表大O符號， ζ {\displaystyle \zeta } 代表黎曼ζ函數，而 π {\displaystyle \pi } 是質數計數函數。由於 1 6 < c {\displaystyle {\frac {1}{6}}<c} 是可行的數之故，因此可知...

primes.append(n) yield n 上述函数的隐式迭代用例： for i in generate_primes(): # 迭代于100以内所有素数上 if i > 100: break print(i) 在生成器表达式中使用上述函数，定义了一个惰性的、巨大而并非无限的搜集的示例： from...

学者彼得·魯德曼否认素数序列的解释，他认为素数的概念只能出现在除法之后，而他认定除法是在公元前1000年后才出现的，因此在公元500年以前，素数是不太可能被理解的。他写道，“一个计数符号之类的东西为什么要展示2的倍数，10到20之间的素数...

^{2}x-\log x\log \log x} 該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。 马雷克·沃尔夫（Marek Wolf）則猜想在以素數計數函數 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 表示的狀況下，最大質數間隙 G ( x ) {\displaystyle G(x)}...

一事实，意味着我们可以确定一个数有偶数个不同的质因数还是奇数个不同的质因数。因为1不是素数，也没有素数因子，是空积；因为0是偶数，所以1有偶数个不同的质因数。这意味着默比乌斯函数的值μ(1) = 1，这对于積性函數和默比乌斯反演公式是很有必要的。 《大英百科全書》記載為：「大多數人都對數字0感到困惑...

純位數：各位數都是由相同數字組成的數。 半素數：二個質數的乘積。 殆素数：質數分解的指數和為特定整數的數。 唯一素数：一質數的倒数循环节长度和其他質數的都不相同。 階乘素數：和某個階乘相鄰的質數。 可交换素数：一質數的各位數字可以任意交換位置，其結果仍為質數。 立方素數：由有三次方的特殊方程生成的質數。 幸运素数：既是質數又是幸運數的整數。...

哥德巴赫猜想證明研究報告聲稱可用來計出1018內所有質數，共2京4739兆9542億8774萬0860個，但並沒有儲存下來。世上有著名的公式可計算出質數計數函數，即是比某已知值小的質數總數。現已成功用電腦計出1023內估計有19垓2532京0391兆6068億0396萬8923個質數。...

并非所有和π有关的研究都旨在提高计算它的准确度。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，建立了所有平方数倒数和与π的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了π、素数的重要關聯，對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac...

1849年：美國廢奴主義者哈莉特·塔布曼自奴隸主手中逃亡。 1859年： 德國數學家伯恩哈德·黎曼發表了包含黎曼猜想原始陳述的著名素數計數函數論文，被認為是解析數論中最具影響力的論文之一。 因為對美國法律和政治結構不滿，約書亞·諾頓在舊金山當地報紙自稱為「諾頓一世」。...

生成器（Generator），是计算机科学中特殊的子程序。实际上，所有生成器都是迭代器。生成器非常类似于返回数组的函数，都是具有参数、可被调用、产生一系列的值。但是生成器不是构造出数组包含所有的值并一次性返回，而是每次产生一个值，因此生成器看起来像函数，但行为像迭代器。 生成器可以用更有表达力的控制流结构实现，如协程或头等續體。生...

b)=1} ，則稱 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 互素。a和b是否互素和它们是否素数无关。如，6和35都不是素数，因为它们都可以分解为多于一个素因数的乘积：6 = 2 × 3，35 = 5 × 7。但是，6和35互素，因为除了1以外没有自然数同时整除6和35。...