概率论中，鞅表示定理指出，相对于布朗运动产生的过滤可测随机变量可以用相对于布朗运动的伊藤积分来表示。 定理仅指出了表示的存在，但没有说明如何找到。许多情况下，可以用马利亚万积分确定表示的形式。 类似定理也存在于由跳跃过程（如马尔可夫链）产生的滤波上的鞅。 令 B t {\displaystyle B_{t}}...

也是下\上鞅。 停时鞅的概念引出了一系列定理，例如可选停止定理（又称可选抽样定理）：在特定条件下，停时的鞅的期望值等於其初始值。利用这一定理，我们可以证明对於一个寿命有限且房产有限的赌徒，成功的投注策略不可能存在。 吾妻不等式 布朗运动 伊藤微積分 鞅中心极限定理 鞅表示定理 Doob鞅（英语：Doob...

{E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]} 、 Z t {\displaystyle Z_{t}} 满足BSDE (2)。 鞅表示定理 随机控制 随机微分方程 Ma, Jin; Yong, Jiongmin. Forward-Backward Stochastic Differential...

科學的數學基礎基本上也是離散的。我們可以說電腦科學的數學語言就是離散數學。人們會使用離散數學裡面的槪念和表示方法，來研究和描述電腦科學下所有分支的對象和問題，如電腦運算、编程語言、密碼學、自動定理証明和軟件開發等。相反地，计算机的應用使離散數學的概念得以應用於日常生活當中（如運籌學）。...

但是，随机积分不遵循控制收敛定理；因此，若不以伊藤形式重新表达积分，就很难证明结果。 伊藤积分是随机分析研究的核心。 ∫ H d X {\displaystyle \int H\,dX} 是为半鞅X和局部有界可预测过程H定义的。[來源請求] 半鞅 X {\displaystyle X} 对另一个半鞅Y...

{N(T)}{N(0)}}.} 再藉由拉东-尼科迪姆定理可以證明當新的計價標準 N ( t ) {\displaystyle N(t)} 定價時， S ( t ) {\displaystyle S(t)} 是 Q N {\displaystyle Q^{N}} 下的鞅： E Q N [ S ( T ) N (...

在数学中，二次变差（英語：Quadratic variation）用于分析随机过程，例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。 设 X t {\displaystyle X_{t}} 是定义在概率空间 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}...

伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。 通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下的 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。 积分是线性的。如果一个函数 f {\displaystyle...

这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。 σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。 测度是给 X {\displaystyle X}...

SDE具有随机的微分，在最基本的情形下是以布朗运动导数计算的白噪声，更一般地说是半鞅。不过，也可能存在其他随机行为，如莱维过程等跳跃过程或有跳跃的半鞅。随机微分方程还可扩展到微分流形。 隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式，由阿爾伯特·愛因斯坦在《热的分子运动论所...

function）一词也常用以表示随机过程，因为随机过程可以视作函数空间中的一个随机变量。随机过程的指标通常是一维的整数或实数上的一个区间，如果指标是二维平面甚至是高维空间，则这样一族随机变量通常称为一个随机场。随机过程的实现值也不必是实数，亦可为向量或其它量。 一般来说，常见的随机过程有随机游走、鞅...

鞅理论的研究，是刻画一系列重要的复杂过程的基本工具。它在随机分析、扩散过程和位势论领域的研究中是不可或缺的。在应用数学中，维纳过程可以描述高斯白噪声的积分形式。在电子工程中，维纳过程是建立噪音的数学模型的重要部分。控制论中，维纳过程可以用来表示不可知因素。...

或-a時的期待時間是ab。先到達b后到達a的幾率為 a / ( a + b ) {\displaystyle a/(a+b)} ，因爲简单随机游走是鞅。 上文的一些結論可以從帕斯卡三角的性質中得出。若每一步為+1或-1，那麽長度爲n的不同路徑的數量為2n。在簡單隨機漫步的情況下，每一條路徑的概率是相同的。...

转移概率独立于过去的特殊况为熟知的Bernoulli scheme。仅有两个可能状态的Bernoulli scheme被熟知为伯努利过程。 可反转马尔可夫链类似于应用贝叶斯定理来反转一个条件概率： Pr ( X n = i ∣ X n + 1 = j ) = Pr ( X n = i , X n + 1 = j ) Pr (...

在概率论中，尤其在随机过程的研究中，停时是一种特殊的“随机时刻”。 停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有可选抽样定理（英语：Optional stopping theorem）。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” 。 定義 —  ( X , Σ ,...

与ARMA模型类似，ARIMA中的“自回归”（AR）部分表示感兴趣的演进变量对其前期值进行回归；“移动平均”（MA）部分表示回归误差是同时期及过去不同时期误差项的线性组合；而“单整”（I）部分表示数据值已被替换为当前值与前一值的差值（即通过差分操作消除趋势）。 根据Wold分解定理（英语：Wold's decomposition...

d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}} k：表示标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付） Ln：自然對數； C：期權初始合理价格； L：期權交割价格； S：交易所金融资产现价；...

噪声过程服从高斯分布，则它是“高斯白噪声”。类似的，还有泊松白噪声、柯西白噪声等。人们经常将高斯白噪声与白噪声相混同，这是不正确的认识。根据中心极限定理，高斯白噪声是许多现实世界过程的一个很好的近似，并且能够生成数学上可以跟踪的模型，这些模型用得如此频繁以至于加性高斯白噪声成了一个标准的缩写词：AW...

费曼－卡茨公式是一个数学公式与定理，得名于理查德·费曼和马克·卡茨，将随机过程和抛物型偏微分方程结合在一起。使用费曼－卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式，从而将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。考虑偏微分方程：...

因此、P(S,T) 的到期時價格、服從對數常態分佈。 將到期日為S的債券作為基準財（英语：Numéraire），依格賽若夫定理（英语：Girsanov theorem）、時刻 S 時具有收益 V(S) 在時刻 t 的價值 V(t) 以下面的公式計算： V ( t ) = P...

fermion)來界定。昂薩格在1949年發表了一個決定了自發磁化現象的公式，但卻沒有給出推導過程。後來是楊振寧在1951年發表了第一個正式的推導過程，其中裡面用到了包括塞格極限定理（英语：Szegő limit theorems）和弗雷德霍姆行列式（英语：Fredholm determinant）等數學工具。...

_{x}} 和阻尼力 λ x , p {\displaystyle \lambda _{x,p}} . 一个不理想的谐振子会受到某些阻尼影响，由于涨落耗散定理，系统中一定会有一些波动。右图展示的是动量 p = m v {\displaystyle p=mv} 以及谐振子的位置 r {\displaystyle...

发现但未访问的节点数等于上一期已发现但未访问的节点数加上访问新节点时发现的节点数，再减掉刚访问的节点。当所有节点都访问过时，整个过程停止。 隨機樹 鞅 (概率论) Athreya, K. B. Branching Process. Encyclopedia of Environmetrics. 2006...

，需要使用马尔可夫性质中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子，设某个随机过程他的状态X可取到一个离散集合中的值，该值随时间t变化，可将该值表示为X(t)。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,p2, p1), 任何“当前时间”s, 以及任何“未来时间”...

马尔可夫网络类似贝叶斯网络用于表示依赖关系。但是，一方面它可以表示贝叶斯网络无法表示的一些依赖关系，如循环依赖；另一方面，它不能表示贝叶斯网络能够表示的某些关系，如推导关系。马尔可夫网络的原型是易辛模型，最初是用来说明该模型的基本假设。 形式上，一个马尔可夫网络包括： 一个无向图G = (V,E)，每个顶点v ∈V表示一个在集合...

要等待多久的公式，并于1909年出版了关于排队理论的第一篇论文。 1953年，大衛·坎達（David G. Kendall）提出了 A/B/C 等候表示法。 A/B/C/X/Y/Z A-到达的规则； B-服务规则，即指服务时间（相当于报文发送时间）的长短服从什么规律； C-服务台个数 X-模型中平行的队列（即服务通道或发送信道）数目；...

1 的概率等于 p. 换言之，伯努利过程是一列独立同分布的伯努利试验。每个Xi 的2个结果也被称为“成功”或“失败”。所以当用数字 0 或 1 来表示的时候，这个数字被称为第i个试验的成功次数。 与伯努利过程相关的随机变量有： 前 n 个试验的成功次数服从二项分布。 要得到 r 次成功所需要的试验次数服从负二项分布。...

对于泊松过程，增量Xs − Xt服从指数为s − t的泊松分布 莱维过程与无限可分分布有关： 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n，Xt的分布可以表示为n个与Xt/n同分布的随机变量的和的分布。 反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。 当莱维过程的n阶矩 μ n ( t...

) {\displaystyle N={\tbinom {n}{2}}} . 与G(n,p)模型紧密相关的模型是埃尔德什和雷尼共同研究的ER模型，表示为G(n,M)：拥有M个边的图出现概率是相同的。当0 ≤ M ≤ N, G(n,M) 总共有 ( N M ) {\displaystyle {\tbinom...

漂移项（英語：drift term）表示随机过程中，时间序列的正或负趋势。当随机变量是金融资产时，作出正的漂移假设是合适的，因为风险资产应该提供正的收益以补偿投资者所承担的风险，这样漂移类似于期望收益。變量 s {\displaystyle s} 的漂移参数 a {\displaystyle a} 表示每段小时间 d t...

) ) ] {\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]} 它们起着与随机变量的特征函数类似的作用。一个重要定理表明：若两个点过程的拉普拉斯泛函相等，则它们有相同的法则（英语：Law (stochastic processes)）。 点过程的 n {\displaystyle...