分部積分法又稱作部分積分法（英語：Integration by parts），是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 假設 h ( x )   {\displaystyle h(x)\ } 與 k...

的导数为： ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} 這個法則可衍生出积分的分部積分法。 人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是： d ( u ⋅ v ) =...

_{0}^{2}\cos(x^{2}+1)\,d(x^{2}+1)\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin(x^{2}+1)\right]_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}} 换元的过程需要注意指明新变量的取值范围。 分部积分法...

降次积分法是求高次函数积分的一种技巧。先用换元积分法、三角换元法、分部积分法、部分分式積分法等方法求出降次公式，将原函数（如In）用低次的函数形式（如In-2）表示。然后将n代成想求的数，逐步降次，直至降至0或1为止，借助积分表得出结果。 如在求 ∫ cos 5 ⁡ ( x ) d x {\displaystyle...

分部求和法（英語：Summation by parts）也叫阿贝尔变换（英語：Abel transformation，有别于Abel transform）或阿贝尔引理（英語：Abel's lemma）是求和的一种方法。设 { f k } {\displaystyle \{f_{k}\}} 和 { g...

积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。 在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，函数...

在各方向的導數均為 0 {\displaystyle 0} 。若假設 f 0 {\displaystyle f_{0}} 二階可微（或至少弱微分存在），則利用分部積分法可得 ∫ x 1 x 2 f 1 ( x ) d d x [ f 0 ′ ( x ) 1 + [ f 0 ′ ( x ) ] 2 ] d x =...

黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 黎曼-斯蒂爾吉斯积分 數值積分 一种确定的实数值 本条目中主要介绍定积分，不定积分的介绍参见不定积分条目，无说明的情况下，下文中的“积分”一词均指“定积分”。 比如说，路径积分是多元函数的积分，积分区间不再是一条线段，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。...

在数学中，线积分（英語：Line integral）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分...

廣義積分，又称为反常积分、异常积分（英語：Improper integral ），是对普通定积分的推廣。 广义积分可以分成兩類，第一類又稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。 第一類反常積分是無窮積分，指積分區間的上限或下限中含有無窮...

{\displaystyle x_{i}-x_{i+1}} ，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。 不定积分 积分 勒贝格积分 黎曼－斯蒂尔杰斯积分 數值積分 达布积分 梯形公式 Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978...

辛普森法則（英語：Simpson's rule）是一種數值積分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。其近似值如下： ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f...

三角换元法是一种计算积分的方法，是换元积分法的一个特例。 在积分 ∫ d x a 2 − x 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}} 中，我们可以用以下的代换 x = a sin ⁡ θ ,   d x = a cos ⁡ θ...

{\displaystyle F'=f} 。 不定積分在原先的定義上並沒有設定區間，會與導函數間相差一常数 C {\displaystyle C} 。若導函數的定義是有區間的，請參照定積分。 不定积分和定积分间的关系係由微积分基本定理聯繫起來，函数的定积分可以透過先求得不定積分再帶入數字来運算。 有一函數 K (...

由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分： 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫   ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) +...

integration） Linearity of integration（英语：Linearity of integration） 積分常數 微积分基本定理 分部積分法 换元积分法 Tangent half-angle substitution（英语：Tangent half-angle substitution）...

部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。 以下是一个简单的例子。计算 ∫ 10 x 2 + 12...

「簡單函數」一般都指「可測簡單函數」，特別在討論積分的地方，要不然透過測度計算積分的定義沒有意義 這裡對勒貝格積分的解釋跟正式的定義「有點」不一樣，雖然經過修正後可能大意差不多，請讀者參看下面比較正式的構造勒貝格積分的方法或勒貝格積分的定義自己思考這種解釋合不合理 积分 测度 σ-代数 Henstock–Kurzweil积分 Gerald...

_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),} 收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。 自然對數通過分部積分法積分: ∫ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C . {\displaystyle \int \ln(x)\...

列，通常分別被簡稱為「行精簡」或「列精簡」。通常精簡的目標用在變化矩陣中有它的「简化行阶梯形矩阵」之用法。這些都是高斯消去法之全域。 在微積分學中，精簡提供了分部積分法的使用技巧來評估每一類型的積分並透過精簡它們成為較為簡單的形式。 在動態分析中，靜態精簡可提供精簡自由度的數量，也可被使用於有限元素...

微積分學也称為微分积分学（拉丁語：Calculus），主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。...

dx=\int g(x)\,dx} 。(2) 應用换元积分法， ∫ 1 h ( y ) d y = ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx} 。 假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 d...

積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數並非嚴格意義上的函數，因為任何在擴展實數線上定義的函數，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。δ函數只有在出現在積分...

积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。 对于向量场，情况复杂一些，因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不需要規定特定的参数化，但是对于法向量，不同的参数化的定向必须保持一致。...

积分因子（英語：integrating factor）是一种用来解微分方程的方法。 考虑以下形式的微分方程： y ′ + a ( x ) y = b ( x ) . . . . . . ( 1 ) {\displaystyle y'+a(x)y=b(x)......(1)} 其中 y = y ( x...

是f在T上的三重积分。 注意，按常规，双重积分用两个积分号，而三重积分有三个；这只是记法上方便，也是为了通过重复积分来计算多重积分（参看本条目后文）。 多重积分问题的解决在多数情况下依赖于将多重积分转化为一系列单变量积分，而其中每个单变量积分都是直接可解的。 有时可以直接获得积分的结果，而无需任何直接计算。...

在数值分析中，數值積分（英語：Numerical integration）是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。...

AP微积分BC涵盖了AP微积分AB章节，并新增了数列审敛法、泰勒级数,应用參數方程、极坐标系以及计算相应坐标内的弧长、洛必达法则、分部積分法、瑕积分、欧拉方法、Logistic函数、应用部分分式分解法对有理函數进行积分。 在1990年到2004年间，参加AP微积分考试的学生翻了三番。每年有超过250...

在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 C 的線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。 设闭区域 D {\displaystyle D} 由分段光滑的简单曲线  L {\displaystyle...

展開至 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,} 的一階微擾。 應用分部積分法於最右邊項目： δ S = [ ε ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ] t 1 t 2 + ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q − ε ⋅ d...

在实分析或数学分析中，达布积分（[Darboux integral] 错误：{{Lang-xx}}：參數 |links= 和 |link= 衝突（帮助））是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分...