勒貝格控制收斂定理也稱勒貝格受制收斂定理，（英語：Lebesgue's dominated convergence theorem），在数学分析和测度论中，這個定理給予了积分运算和极限运算可以交换顺序的條件。對逐点收敛的函数序列而言，其積分運算和收敛的极限運算未必一定可以交换。控制收敛定理...

k\rightarrow \infty } ，并利用这对任何正数 ϵ {\displaystyle \epsilon } 都正确的事实，定理便得证。 无穷级数 勒贝格控制收敛定理 J Yeh. Real analysis. Theory of measure and integration. 2006. ...

在这里所有积分的值也均可以是无穷大。 勒贝格控制收敛定理：设 { f k } k ∈ N {\displaystyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }} 是一个复可测函数的序列，并拥有逐点极限 f {\displaystyle f} ，且如果有一个勒贝格可积的函数 g {\displaystyle...

伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 巴拿赫不动点定理 布尔素理想定理 贝尔纲定理 布劳威尔不动点定理 本迪克森-杜拉克定理 本原元定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理...

在数学分析中，黎曼-勒贝格定理（或黎曼-勒贝格引理、黎曼-勒贝格积分引理）是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上定义的函数（傅里叶变换的方面）。在任一种形式下，定理...

\quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ (X,c)} 勒贝格控制收敛定理 单调收敛定理 Ordman, E. T. Convergence Almost Everywhere is Not Topological. The...

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。 设 ( S , Σ , μ ) {\displaystyle (S,\Sigma...

上局部可积。对于在无穷大处衰减的局部可积函数或指数型函数，这积分可以被理解成（恰当）勒贝格积分。然而，在很多应用中，我们有必要将其视作在 ∞ {\displaystyle \infty } 处条件收敛的反常积分。更一般的，这个积分可以在较弱的意义上理解，在下面会去处理。 可以用勒贝格积分定义拉普拉斯变换为一个有限博雷尔测度 μ {\displaystyle...

最简单的耦合是Skorokhod嵌入，而更精确的耦合有Komlós-Major-Tusnády逼近定理。 随机游走向维纳过程的收敛由中心极限定理和唐斯科定理（英语：Donsker's theorem）控制。 对于在t = 0時已知固定位置的粒子，中心极限定理告诉我们，在随机游走中的許多独立步骤之后，步行者的位置的分佈遵循总方差的正态分布：...

的间断点时，级数收敛于 1 2 [ x ( t − ) + x ( t + ) ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]} 。 1966年，里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的，即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。 假設一個函數在...

{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}} 幾乎處處收敛于 f ( x ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )} 。 对于勒贝格积分定义的傅里叶积分变换而言，它仍是速降函数空间 S {\displaystyle {\mathcal...

控制收敛定理（如勒贝格控制收敛定理）在积分限无界的黎曼积分和含瑕点的勒贝格积分中推广；控制收敛定理本身也给出了一种在积分号下求极限（不是求导数）的方法。 这本书还包括辛普森数值积分公式、向量微积分、经典微分几何、高阶微分方程、伽马函数、贝...

在数学裡，希尔伯特空间（英語：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间为基于任意正交坐标系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一...

method）之类全局方法，都适用于此类问题。 Picard–Lindelöf定理指出，只要f是利普希茨连续的，就有唯一解。 解一阶IVP的数值方法可分为两大类：线性多步法（英语：Linear multistep method）与龙格-库塔法。还可进一步划为显式或隐式，例如隐式线性多步法包括亚当斯-莫尔顿法（Adams-Moulton...

收敛到一个良定义的位于空间内部的極限。 巴拿赫空間有兩種常見的類型：「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間，包括由連續函數（緊緻赫斯多夫空間上的連續函數）組成的空間、由勒貝格...

α {\displaystyle e^{\alpha }} 都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼－魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，π只能是超越數，進而证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。...

收敛于 a {\displaystyle a} ，记作 lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a} 或 a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} 。這時也稱這個數列是收斂...

Lyapunov）的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）。李亞普諾夫定理有用在数理经济学、起停式控制的控制理论及統計理論（英语：statistical theory）。 李亞普諾夫定理...

} b = 0时，A的特征值决定了系那个空间的结构。根据A的特征值和特征向量可以确定初点向原点的平衡点的敛散性。 A ≠ 0时，不同初始条件间的距离在大多数时候呈指数变化，或以指数速度收敛到某点，或以指数速度发散。发散时，线性系统表现出对初始条件的依赖。对非线性系统，这是混沌行为的（必要但非充分）条件之一。...

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.} 實際上，均值定理是以其導數的方式來控制一個函數。例如，假設f有導數，在每一點均為0，這表示其每一點的切線都是水平線，因此其函數應該也就是水平線。均值定理證明這是對的：f圖上二點之間的斜率必須等於f中的某一條切線。而所有的切線斜率都是...

\kappa } 個或更少的零測集依舊是零測集；不僅如此，實數集的 κ {\displaystyle \kappa } 個或更少的勒貝格測度為零的子集的聯集，其勒貝格測度為零。 對於一個緊緻豪斯多夫空間 X {\displaystyle X} 而言，若 | X | ≤ 2 κ {\displaystyle...

微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線等。卡米爾·若爾當發展了若爾當測度，而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論，勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。在20世紀初期，利用公理化的集合論將微積分進行形式化，昂利·勒貝格解決了量測問題，大卫·希尔伯特導入了希尔伯特空间來求解積分方程。賦範向量空間...

前300年，欧几里得给出了关于空间性质的公理，将所有数学都建立在几何基础上，甚至通过比较线段长度来定义数字。 1637年，勒内·笛卡尔提出了直角坐标系（解析几何）。当时，几何定理被视作可通过直觉和推理实现认识的绝对客观真理，类似于自然科学的对象；公理则被认为是定义的明显含义。...

在分布理论里，弱微分的概念使得对更多严格意义上无法求导的函数也可以定义导函数。设 u {\displaystyle u} 是一个局部勒贝格可积（比如说在 L l o c 1 ( R )   {\displaystyle L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )\ } 中）的函数，称...

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算： 同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度： 线性近似用几乎相同的线性函数代替复杂函数。给定实值可微函数 f ( x ,   y ) {\displaystyle f(x...

e − x } ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).} 乘法定理： Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma...

下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑...

支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数（英语：function series） 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...

程是一个Wiener过程（在这种情况下，边缘是指数类的所有高斯分布），但不是在一般对所有的随机过程。这种方程称为查普曼-洛夫方程。 柯尔莫哥洛夫扩展定理保证了随机过程的有限维概率分布满足查普曼 - 柯尔莫哥洛夫的兼容性条件的存在.. 分离性 回想一下，在洛夫公理化中存在对于概率问题有还是没有的不确定...

的取值。这时是无法用求原函数的方法计算函数的积分的。 另外，当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时，牛顿-莱布尼兹公式不再适用，只能使用更广泛的格林公式或斯托克斯公式，以转化为较低维数上的积分，但只能用于少数情况。因此，只能使用数值积分计算函数的近似值。...

支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数（英语：function series） 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...