斯莱特行列式是多电子体系波函数的一种表达方式，他以量子物理学家斯莱特的名字命名。这种形式的波函数可以满足对多电子波函数的反对称要求（即所谓泡利原理）：交换体系中任意两个电子，则波函数的符号将会反转。在量子化学中，所有基于分子轨道理论的计算方法都用斯莱特行列式的形式来表示多电子体系的波函数。 斯莱特...

行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式...

_{0}}\rangle } 为哈特里－福克基态波函数， T ^ {\displaystyle {\hat {T}}} 是一个激发算符，称为簇算符，当它作用在 | Φ 0 ⟩ {\displaystyle \vert {\Phi _{0}}\rangle } 上时，得到一组斯莱特行列式的线性组合。（详情见下文）...

matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點...

组态相互作用方法（Configuration interaction）是一种后哈特里-福克方法，求解的是多电子体系在波恩-奥本海默近似下的非相对论薛定谔方程。“构型相关”有两层含义：“构型" 从数学角度简洁的表述了它是描述波函的斯雷特行列式的线性耦合。根据轨道占据的规则 (例如, (1s)2(2s)2(2p)1...

interaction method，MRCI）是量子化学中的一种组态相互作用方法。在该方法中，采用基态和部分激发态的电子组态斯莱特行列式作为参考态行列式，通过对所有的参考态行列式进行激发得到一组用于展开体系哈密顿量本征函数的多项式。仅包含所有单激发组态态函数作为参考态的 MRCI 方法称为单激发...

{eff}}(\mathbf {r} )} ) 来表示，称为科恩－沈势。虚拟系统中的粒子是彼此无相互作用的费米子，因此科恩－沈方程的精确解为单个斯莱特行列式，行列式中的轨道则称为科恩－沈轨道，每一个科恩－沈轨道都可以表示为原子轨道的线性组合，也可以按照基函数展开。科恩－沈方程的形式如下： ( − ℏ 2...

为Hartree-Fock哈密顿算子本征能量为 E n ( 0 ) {\displaystyle E_{n}^{(0)}} 的波函数，其本质是体系激发态的斯莱特行列式 可以证明，只有对双激发的斯莱特行列式才有 | < Ψ 0 | V | Ψ a , b r , s > | ≠ 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}<\Psi...

组态态函数（configuration state function，CSF）在量子化学中用于指称一组斯莱特行列式的具有确定对称性的线性组合（也可以是单个具有确定对称性的斯莱特行列式）。组态态函数不应与电子组态的概念相混淆。 CSF 在量子化学中用于指称一组斯莱特行列式的具有确定对称性的线性组合。在构建时需要使得得到的 CSF 具有与体系波函数...

轨道弛豫，指体系中的电子数目发生变化时，福克算符与哈特里-福克轨道的变化； 电子相关作用，指的是在哈特里-福克近似中，用自洽场的福克算符的单电子本征函数（分子轨道）的斯莱特行列式来描述多体波函数时引入的误差 将实验结果与高级从头算方法的计算结果比较的经验表明，在大部分情况下，上述两部分误...

活性轨道：被部分占据 空轨道：不被占据 这一分类方式能够给出一组用于线性展开体系波函数的斯莱特行列式。由于除去内层轨道的那些电子之后，余下的电子在活性轨道中的分布有一定的自由度，因此能够得到较大量的一组行列式。用它们的线性组合来描述的波函数具有多参考的特点。...

哈特里-福克近似也称为分子轨道近似或单行列式近似 ，认为多电子体系波函数可以由体系分子轨道波函数构造的单个斯莱特行列式表示： Ψ = 1 N ! | χ 1 ( 1 ) χ 2 ( 1 ) ⋯ χ N ( 1 ) χ 1 ( 2 ) χ 2 ( 2 ) ⋯ χ N...

能量本征函数被假定为多个单电子波函数的乘积或者是单个斯莱特行列式；除了因波函数的反对称性而产生的交换能量外，组态相互作用(electron correlation)的影响被完全忽略。 对于绝大多数系统而言，特别是激发态及化学反应（例如分子解离反应），上述假设中的第四条的影响是最大的。因此，术语“后哈特里－福克方法”常被用于表示计算电子校正的近似方法。...

行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同时独立建立了行列式論。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。...

。單獨粒子波函數只有一個位置參數 x {\displaystyle x\,\!} 。這樣， N {\displaystyle N\,\!} 個費米子的波函數可以用斯萊特行列式表示 Ψ n 1 ⋯ n N ( A ) ( x 1 , ⋯ x N ) = 1 N ! | ψ n 1 ( x 1 ) ψ n 1 ( x 2...

线性代数的研究最初出现于对行列式的研究上。行列式当时被用来求解线性方程组。莱布尼茨在1693年使用行列式。随后，加布里尔·克拉默在1750年推导出求解线性方程组的克萊姆法則。然后，高斯利用高斯消元法发展出求解线性系统的理论。这也被列为大地测量学的一项进展。...

斯莱特行列式（或组态态函数）都包括在变分尝试函数的线性组合式中。该方法等价于在给定的基组下计算电子分子哈密顿量的精确本征值。 由于完全组态相互作用方法中所需要用到的行列式数目随基组的规模而阶乘式地上升，只有少数的分子可以进行完全组态相互作用计算。这是因为精确求解完全组态相互作用行列式...

克萊姆法則或克拉瑪公式（英語：Cramer's rule / formula）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。...

of Mathematics）的总编辑，他也是哲学家路德维希·维特根斯坦的导师。在1886年至1888年，以及1901年至1903年，他担任英国皇家天文学会主席。在组合数学方面，他使用改进的行列式法，证明了棋盘上N皇后的摆放问题。 詹姆斯曾經說過：“如果企图将一种科目從它的历史割裂中开来，我相信没有哪一种科目比数学的损失更大。”...

上矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是非零的。因此GL(n, F)的一個可替代定義是帶有非零行列式的矩陣。 在交換環 R 上，必須稍微小心一下：在 R 上的矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是 R 中的可逆元，就是說它的行列式在 R 中是可逆的。因此GL(n, R)可以被定義為行列式為可逆元的矩陣的群。 在非交換環...

线性代数中，柯西-比内公式（Cauchy–Binet formula）将行列式的可乘性（两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。 假设 A 是一个 m×n 矩阵，而 B 是一个 n×m 矩阵。如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 个元素的子集，我们记 AS 为 A...

。和波函数的空间坐标部分一样，自旋部分也有对称和反对称的线性组合： 将自旋部分添加到式(1)和式(2)中，即可得到完整的电子波函数。完整的分子轨道波函数可用斯莱特行列式表示。对于电子体系而言，如果轨道空间部分是交换对称的，那么自旋部分必须反对称，反之亦然。和上一节类似，加入自旋后，体系仍有两个能量本征值：E+...

方塊矩陣 A {\displaystyle A\,} 的行列式是其 n {\displaystyle n\,} 個特征值的積，但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。 高斯-若爾當消元法非常重要，可以用来計算矩阵的行列式，秩，逆矩陣，并解決線性方程組。 矩陣的迹是 n × n...

萊布尼茲，微積分的始創者之一，首先在1693年利用行列式來解題；而加布里尔·克拉默率先利用行列式解聯立線性方程组，在1750年引進了克莱姆法则。 於1800年年代，出現了由著名數學家高斯發明的高斯消去法，以及比較慢的改良版本高斯－約當消去法。 1848年西爾維斯特...

U {\displaystyle \,\!U} 。目前有很多成熟的方法来解多体薛定谔方程，例如：物理学里使用的图形微扰理论和量子化学里使用的基于斯莱特行列式中波函数系统展开的组态相互作用（CI）方法。然而，这些方法的问题在于较大的计算量，很难用于大规模复杂系统的计算。 相比之下，密度函理论将含 U {\displaystyle...

{\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}} 需要注意的是这里的行列式记号只有形式上的意义，因为真正的行列式中的系数应该是数值而不是 i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf...

射影线性群 PGL(2,C) 由莫比乌斯变换作用在黎曼球面上。保持上半平面不动的子群是 PGL(2,R)，这些变化的系数是实数，它们传递、等距作用在上半平面上，将它变成一个齐性空间。 有四个非常相关的李群通过分式线性变换作用在上半平面上，且保持双曲距离。 由行列式为 +1 的 2×2 实矩阵组成的特殊线性群SL(2...

在实际运算中，当矩阵的维数较高时，计算行列式是非常繁複的。也就是说，计算行列式的计算复杂度随维数的增长非常快，对于一个 n × n {\displaystyle n\times n} 的矩阵，用初等的方法计算其行列式，需要的计算时间是 O ( n ! ) {\displaystyle O(n!)} （n的阶乘）。因此，克莱...

勞侖次吸子，其解包括了渾沌現象 威尔霍斯特方程–生物族群增長模型 個體成長模型–生物個體增長模型 洛特卡－沃爾泰拉方程–掠食者和獵物的動態模型 複製方程（英语：Replicator dynamics）–應用在生物數學中 霍奇金-赫胥黎模型（英语：Hodgkin–Huxley model）–神經的动作电位 布萊克-休斯方程 索洛模型...

{\displaystyle =\oint _{\varGamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z} 引进符号行列式，这个公式也可以写成以下形式： ∬ S | cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R | d...

{z}},} 这里 ∧ {\displaystyle \wedge } 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 λ 4 {\displaystyle \lambda ^{4}} ，故而行列式的平方根是 λ 2 {\displaystyle \lambda ^{2}} 。复平面上的欧几里得体积形式为...