普遍的二项式定理的形式。13世纪，中国数学家杨辉也得到了类似的结果。卡拉吉（英语：Al-Karaji）用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数。 根据此定理，可以将 x + y {\displaystyle...

在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。 設 R {\displaystyle R} 為環。令 R − M o d {\displaystyle R-\mathbf {Mod} } 為左 R {\displaystyle...

運動、法律等。在决策论的哲學中，贝叶斯推断和主觀概率有密切關係，常常稱為贝叶斯概率。 贝叶斯定理是由統計學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）根據許多特例推導而成，後來被許多研究者推廣為一普遍的定理。 贝叶斯推断將后验概率（考慮相關證據或數據後，某一事件的條件機率）作为先验概率（考慮相關證...

普遍認為近代微積分的發展是因為艾萨克·牛顿（1643年–1727年）及戈特弗里德·莱布尼茨（1646年–1716年）同時但獨立個別的研究，並且整合了有關微分及導數的作法。不過其中關鍵的概念（也是後來認定微積分是由他們兩人創始的原因）是結合微分以及積分的微积分基本定理...

阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦...

，而是对适当的形式进行擬設或猜测，然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式，零化器方法或参数变化的执行耗时较少。 待定系数不像參數變換法那样普遍，因为它仅适用于遵循特定形式的微分方程。 考虑以下形式的线性非齐次常微分方程 ∑ i = 0 n c i y ( i ) + y ( n...

{\displaystyle Ft=p^{'}-p} 。 在动量定理的推导过程中，我们假定合力F是恒定的，但是在实际生活当中要比这个复杂的多。如用球拍击打球或是用脚踢踢球时作用力就不是恒定的。但可以证明，动量定理不但适用于恒力，也可以随时间而变化的变力，对于变力的情况，动量定理中的F应理解为在作用时间内的平均值。此时作用力...

四色定理（英語：four color theorem），又稱四色地圖定理（four color map theorem），是一个数学定理：如果在平面上劃出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个无外飞地的地图都可以用不多於四...

-iər/）是把类似波的函数表示成简单谐波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组正弦与余弦函数的加权和表示的方法。傅里叶级数与用来找出无周期函数的频率信息的傅里叶变换有密切的关系。 傅里叶级数是傅里叶分析的一个研究分支，也是采样定理原始证明的核心。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概...

_{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}} 由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对称性（应力张量的对称性就是材料力学中的剪应力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材料也只有21个是独立的。 由于应力的单位量纲（力/面积）与压强相同，而应变是无量纲的，所以弹性常数张量...

係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。依照同样的动机，整數可以被推广为為代數整數，然后研究一個數域裡的代數整數。 代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理...

Hilbert）於1900年提出的公开问题清单的第二个问题是要证明算术的公理是一致的。1931年，库尔特·哥德尔的第二不完备定理证明这是不可能的——至少算术本身不可能。大卫·希尔伯特的第十个问题是要确定某一整系数多项式丢番图方程是否有一个整数解。1970年，尤里·马季亚谢维奇证明这不可能做到。...

000年），他也是阿貝爾獎的首個得主（2003年）。沃爾夫獎可視為數學界的終身成就獎，而菲爾茲獎和阿貝爾獎則普遍被認為是數學家的最高榮譽之一，塞爾與迈克尔·阿蒂亚皆為雙料得主。 塞爾對偶定理 塞爾乘數猜想 塞爾猜想 (數論) 塞爾譜序列 塞爾纖維化 塞爾扭層 尼古拉·布爾巴基 格列戈里·馬爾古利斯...

超越数论是一個研究数论的方支，以定性、定量的方法來研究超越数（無法表示成某個以有理数為系数的多项式方程的解）。 代数基本定理告诉我们：如果有一个非常數、有理係數的多项式（或者等效地，通过去分母後，具有整数系数），那么该多项式将具有复数根。也就是说，对于任何非常数的有理系數多项式 P {\displaystyle P} ，会有一个复数...

由于实际气体和理想值之间存在偏差，因此常用压缩係数Z表示实际气体的实验值和理想值之间的偏差，计算Z的方程为： Z = p V n R T {\displaystyle Z={\frac {pV}{nRT}}} 。 当气压很低时，各种气体的性质都接近于理想气体，随压力升高，各种气体偏离理想状态的情况不同，压缩係数Z便会随之改变。...

普遍有效的概念之後，才會變得明瞭、普遍通用、彰顯最大用途。」 這就是所謂的「概念數學」，是諾特獨特的思想風格。不少數學家也採納了這種思考方式，特別是在抽象代數範疇的研究。 上文提到的整數環還有一些其他交換環不具備的性質。最重要的莫過於算術基本定理...

定理。所有实系数多项式都可以分解为次数不超过二次的多项式的乘积。比较复杂的是有理数系数多项式的因式分解。首先，给定一个有理系数多项式 P {\displaystyle P} ，可以将其乘以一个特定的有理数 c {\displaystyle c} ，将其变成一个整系数多项式，所以有理系数...

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为： L ( y ) = f … ( ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)}...

高斯在其1799年的博士论文中清晰地阐明了複數的概念和应用，并且严格证明了代数基本定理，该定理指出任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根，在此之前，包括让·勒朗·达朗贝尔在内的数学家作出了对此定理错误的证明，高斯的论文也包含对达朗贝尔证明的指正。...

害的或隐性的。在此情况下，如果以纯合子形式存在，即使是显性等位基因也会导致适应度降低（另见杂种优势）。 目前尚不清楚这两种机制中哪一种在自然界中更为普遍。实际应用中，例如家畜育种中，一般认为前者更重要——它可能导致产生完全无法存活的后代（意味着断种），而后者只会导致适应度相对降低。...

是西方个人主义思潮下天经地义的事，也是阿罗不可能定理的基础。 帕累托最优是经济学家衡量社会效率最常用的方法。但这一原则对个人自由保持沉默，事实上，福利经济学第一定理说，个人和企业基于个人效用和利润最大化的选择结果一定是帕累托最优的。福利经济学第二定理则说，当社会初始资源进行再分配时，任何一个帕累托...

n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|} 收敛，则称级数绝对收敛 定理：如果任意项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 的各项的绝对值所组成的正项级数...

其正確性卻基於尚未被證明的廣義黎曼猜想。 AKS質數測試主要是基於以下定理：整數n (≥ 2)是質數，若且唯若 這個同餘多項式對所有與n互質的整數a均成立。 這個定理是費馬小定理的一般化，並且可以簡單的使用二項式定理跟二項式係數的這個特徵: ( n k ) ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle...

普遍的安培力公式，这一公式在形式上类似于万有引力定律和库仑定律。1821年，安培从电流的磁效应出发，设想了磁效应的本质正是电流产生的，从而提出了分子环流假说，认为磁体内部分子形成的环形电流就相当于一根根磁针。1826年，安培从斯托克斯定理推导得到了著名的安培环路定理...

在家八哥中，來自奠基者種群的鳴唱曲目中獨特歌曲的百分比和歌曲內的複雜性明顯較原生種群低。 由於人類歷史上的各種遷移，奠基者效應在不同時間和地點的人類中有些普遍。 加拿大魁北克省的法裔加拿大人是奠基者人口的典型例子。 在 1608 年至 1760 年的 150 多年法國殖民統治期間，估計有 8,500 名拓荒者結婚並在當地留下了至少一名後裔。在...

因此，漂变直接作用于种群的基因型频率，与表现型无关。相比之下，选择倾向于那些能够适应环境的表型，不利于不能适应环境的表型，同时忽视中性变异。选择是间接地作用于基因型频率。 根据大数定理，在等位基因拷贝数较小时，例如在小种群中，漂变的强度更高。因此，遗传漂变等的非适应性进化途径在小种群有着尤为明显的作用 。漂变的强度直接受有效种群大小控制，进而与实际种群大小相关...

1909年，化学家小川正孝發現元素43（鎝），但沒有把它分離出，然而他成功分離出元素75（錸）。 1909年，長岡半太郎發表了一篇關於螺線管電感的論文，並提出了長岡係數（日语：長岡係数）。 1909年，秦佐八郎与德国学者保罗·埃尔利希共同发明治疗梅毒的特效药洒尔佛散（又称砷凡纳明）。...

·狄拉克发表狄拉克方程式，描述相对论性的电子。在狄拉克方程中，一个四元旋量（所谓的“狄拉克旋量”）被用于电子波函数。在1940年，泡利证明“自旋统计定理”，它表述费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋。 对于像光子、电子、各种夸克这样的基本粒子，理论和实验研究都已经发现它们所具有的自旋无法解释为它...

秦九韶（1208年—1261年），字道古，鲁郡人，南宋数学家。著作有《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理的历史解法）和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献。 秦九韶的籍贯是鲁郡（今山东省济宁市兖州区、曲阜一带），祖上世代为官。父亲...

1 2 {\displaystyle N_{e}=N+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}} 或者更普遍地， N e = N + D 2 {\displaystyle N_{e}=N+{\begin{matrix}{\frac {D}{2}}\end{matrix}}}...

数学分析学，也稱分析数学、分析学或解析学（英語：Mathematical Analysis），是普遍存在於大学数学专业的一门基础课程。大致与非數學专业学生所學的高等数学課程内容相近，但內容更加深入，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完整的数学学科。...