在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線性無關或線性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0,...

{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。 上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條： 等價性來自於線性無關： 若有第二組相異 E 1 , E 2 , … , E m ∈ B {\displaystyle E_{1},\,E_{2},\,\ldots...

一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。 线性代数是一个成功的理论，其方法已被应用于数学的其他分支。模论就是将线性代数中的标量的域用环替代，並进行研究，像線性無關、线性生成空间、基底、秩等概念仍然可以適用。不過許多線性...

在线性代数中，一个矩阵 A {\displaystyle A} 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵 A {\displaystyle A} 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A {\displaystyle A} 的秩（Rank）。通常表示为...

線性組合（英語：Linear combination）是線性代數中具有如下形式的表达式。其中 v i {\displaystyle v_{i}} 为任意类型的项， a i {\displaystyle a_{i}} 为标量。這些純量稱為線性組合的係數或權。 w = a 1 v 1 + a 2 v 2...

S_{1}} 線性相關。 則稱 S 1 {\displaystyle S_{1}} 是向量組 S {\displaystyle S} 的最大線性無關組。 向量組與其最大線性無關組，可互相線性表示。兩向量組等價。 向量組 S {\displaystyle S} 的任兩個最大線性無關組 S 1 {\displaystyle...

在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集合的线性生成空间（linear span，也称为线性包 linear hull），是所有包含这个集合的线性子空间的交集，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。 给定域 K 上的向量空间 V，集合 S（不必有限）的生成空间定义为所有包含 S 的线性子空间...

product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号 × {\displaystyle \times } 。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 a {\displaystyle \mathbf {a} } 和 b {\displaystyle \mathbf {b} } ，它们的外积写作...

線性映射（英語：linear map）是向量空間之間，保持向量加法和純量乘法的函數。線性映射也是向量空間作為模的同態。 線性算子（英語：linear operator）與線性轉換（英語：linear transformation，又稱線性變換）是與線性映射相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞一節。...

,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} } 所以，a 和 b 是分别是对应于 u 和 v 的特征值。 根据矩阵乘法的线性，我们有 M n u = a n u , M n v = b n v {\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\...

是同樣大小的方陣時）。 當 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 可以被解釋為線性算子，其矩陣乘積 A B {\displaystyle AB} 會對應為兩個線性算子的複合函數，其中B先作用。 [ 1 0 2 − 1 3 1 ] ⋅ [ 3 1 2 1 1 0 ] = [...

{\displaystyle Y} （或稱應變數、依變數、反應變數）與解釋變數 X {\displaystyle X} （或稱自變數、獨立變數）之間關係的模型。簡單線性回歸使用一個自變量 X {\displaystyle X} ，複迴歸使用超過一個自變量（ X 1 , X 2 . . . X i {\displaystyle...

rule / formula）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。 一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：...

m_{i}\leq n_{i}} ）个线性獨立的解。这 mi 个向量与一个特征值 λi 相对应。这里，整数 mi 称为特征值 λi 的几何重数，而 ni 称为代数重数。这里需要注意的是几何重数与代数重数可以相等，但也可以不相等。一种最简单的情况是 mi = ni = 1。特征向量的极大线性无关向量组中向量的个数可以由所有特征值的几何重数之和来确定。...

次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。...

逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。在线性代数中，給定一个n 階方陣 A {\displaystyle \mathbf {A} } ，若存在一n 階方陣 B {\displaystyle \mathbf {B} } ，使得 A B = B A = I n {\displaystyle...

这裡的，BV和BW分别是在V和W上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。 在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做埃尔米特伴随。 如果V和W没有双线性形式，则线性映射f:...

行空间C(AT)中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合，都为Rn上的向量（即n维向量）。 C(AT)的维度等于矩阵A的行秩，最大为min(m,n)。即： dim C(AT) = dim R(A) = rank(AT) ≤ min(m,n) 行空间C(AT)的一组自然基底是矩阵A的行向量的最大线性无关组。 列空间的定义非常类似于行空间。...

在线性代数裡，正定矩阵（英語：positive-definite matrix）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 一个 n × n {\displaystyle...

奇异值分解（英語：Singular value decomposition，縮寫：SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或埃尔米特矩阵基于特征向量的对角化类似，这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。...

×3旋转，关联着+1的特征向量是旋转轴。 数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式±1和所有模为1的特征值是对数值稳定性非常有利的。一个蕴涵是条件数为1（这是极小的），所以在乘以正交矩阵的时候错误不放...

在欧几里得几何里，两條笛卡尔坐标向量的点积常称为内积（德語：inneres Produkt；英語：inner product）。點积是内积的一种特殊形式：内积是点积的抽象，內积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（内积空间）的度量。 从代数角度看，先求两数字序列中每组对应元素的积，再求所有积之和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两...

上線性相關，則 W(f1, ..., fn) 在區間 [a, b] 上恆等於零。 也就是说，如果在某些点上 W(f1, ..., fn) 不等于零，则 f1、...、fn 线性无关 注意，若 W(f1, ..., fn) 在区间 [a,b] 上恒等于零，函数组不一定线性相关。 考虑 n 阶线性微分方程：...

{\displaystyle n} 个线性无关的特征向量 推论：如果这个 n {\displaystyle n} 阶方阵有 n {\displaystyle n} 阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵 如果 n {\displaystyle n} 阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数...

的投影（沿不同的W）。 如果向量空间 V {\displaystyle V} 被赋予了内积且是完備的，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。正交投影是指值域 U {\displaystyle U} 和零空间 W {\displaystyle W} 相互正交的投影，也就是说，對於任意...

{\displaystyle {\vec {v}}_{2}} ，…， v → m {\displaystyle {\vec {v}}_{m}} 線性獨立或線性無關（Linearly independent）。 向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量。...

和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间 0 {\displaystyle {0}} 。 給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。...

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英語：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的伴随矩阵记作 a...

{\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )} 射到環 R {\displaystyle \mathbb {R} } 之上的線性算子。也就是說，對於任兩個 n × n {\displaystyle n\times n} 的矩陣 A {\displaystyle \mathbf...

可以证明，如果f1、...、fn线性相关，那么它们的朗斯基行列式恒等于零。 在线性微分动力系统理论中，朗斯基行列式用来判别若干个解的线性相关性。如果n个解f1、...、fn线性无关，那么它们的朗斯基行列式将总不为零。根据刘维尔定理，n维空间上的线性微分方程： Y ′ = A ( t ) Y...

在線性代數中，么正矩陣（又译作幺正矩阵，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下： （數學定義） U ∗ U = U U ∗ = I n {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}} ， （推論） U − 1 = U ∗ {\displaystyle...