阶置换，其对称群 S M {\displaystyle S_{M}} 称为 n {\displaystyle n} 阶对称群，记为 S n {\displaystyle S_{n}} 。 S n {\displaystyle S_{n}} 的任一子群亦为置换群。 置换群到被置换的元素的应用称为群...

数、表示论和其他许多有影响力的子领域的建立。有限单群分类是20世纪中叶一项规模庞大的工作，对一切的有限单群进行了分类。 群论考虑的群的类型从有限置换群和一些特殊的矩阵群逐渐进展到抽象群。这些抽象群可以由生成元和关系给定。 置换群是第一类被系统研究的群。对给定的集合 X {\displaystyle X}...

群的表示理论和组合学等等。 各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。 令X = {1,...,n}， 称X上的对称群是Sn。 X上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，Sn有n!个元素。对n > 2，Sn不是阿贝尔群。当且仅当n ≤ 4时，Sn是可解群。对称群的子群称为置换群。...

群论之间的联系，即伽罗瓦理论基本定理。这样可以将域论中的某些问题还原到群论，使其更简单、更易理解。 若方程的根可用只涉及有限次整数、方根与4种基本算术运算的式子表示，就称方程是根式可解的。伽罗瓦将多项式的根引入为研究课题，这样能根据多项式根置换群...

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群...

数学中，交错群（alternating group）是一个有限集合偶置换之群。集合 { 1 , ⋯ , n } {\displaystyle \{1,\cdots ,n\}} 上的交错群称为 n {\displaystyle n} 阶交错群，或 n {\displaystyle n} 个字母上的交错群，记做...

群按转动轴分类情况如下： 不动旋转：A、B、C、D共有一个(1)4循环； 以顶点与对对面的中心连线为轴，逆时针旋转±120。存在如下置换所对应的旋转：置换(BCD)与置换(BDC)、置换(ACD)与置换(ADC)、置换(ABD)与置换(ADB)，(ABC)及(ACB)，共计8个(1)1(3)1循环。...

\circ )} 為阿貝爾群或交換群，反之被稱爲「非阿貝爾群」或「非交換群」。 群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。 乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。 驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（或說矩陣），稱爲凱萊表。如果群...

并不是所有的序号排列都是合法的魔方状态. 在这种表示下, 对魔方的一个操作可以表示成一个置换. 因此, 3阶魔方群是置换群 S 48 {\displaystyle S_{48}} 的子群, 并满足和置换群相同的运算规则. 和置换群相同, 魔方群是一个非阿贝尔群, 对魔方的操作不满足交换律. 一个3阶魔方包含 6 {\displaystyle...

的群裡，則該群也會擁有置換 ST。 置換群的理論到了奧古斯丁·路易·柯西與卡米爾·若爾當手上，得到了進一步的長遠發展，兩個人都引入了新的概念，並得到大量有關特別類型之置換群的結論，甚至有得到一些一般性的定理。其中，若爾當定義出同構的概念，雖然能在置換群的背景下。此外，也是他讓「群」這個詞得到了廣泛的運用。 群...

但是不可能将其写为偶数个换位的复合。 恒同置换是偶置换。一个偶置换可以由恒同置换通过偶数次两个元素互换（称为对换）得到，而一个奇置换可由奇数次对换得到。 由整数加法相应的法则马上得到下列性质： 两个偶置换的复合是偶的 两个奇置换的复合是偶的 一个奇置换与偶置换的复合是奇的 由此得到 任何偶置换的逆是偶的 任何奇置换的逆是奇的 考虑集合{1...

group）是同构于一个域 K 上矩阵群的抽象群，换句话说，在 K 上有一个忠实有限维表示。 任何有限群是线性的，因为利用凯莱定理可以实现为置换矩阵。在无限群中，线性群组成有趣且易于处理的一类。非线性群的例子包括所有“足够大”群；例如一个无限集合的无限对称群。 在一个交换环 R 上 n × n 矩阵集合...

瓦理论，是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。 用置换群更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论一文。 设有域扩张L/K。考虑所有L上的K-自同构集合。此处的K-自同构指的是L映射到L的域同构，且其限制在K上的部分是...

{\displaystyle C} 為奇換位。即環狀置換的長度為奇數，該置換為偶換位；環狀置換的長度為偶數，該置換為奇換位。 由此可定義任一置換的奇偶性，並可證明：一個置換是偶換位的充要條件是它可以由偶數個換位生成。偶换位在置換群中構成一個正規子群，稱為交错群。 某些舊課本將置換視為變數值的賦值。在計算機科學中，這就是將值...

设Sn是n次对称群，由于n置换一共有n! 个，n阶的置换矩阵也有n! 个。这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射Sn → A ⊂ GL(n, Z2)是一个群的忠实表示。 对一个置换σ，其对应的置换矩阵Pσ是将单位矩阵的横行进行 σ 置换，或者将单位矩阵的横行进行...

(n-1)+(n-2)+\cdots +1=n(n-1)/2} 自由度，O(n)也是。 置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个有限群，n!次对称群Sn。通过同类的讨论，Sn是Sn+1的子群。偶置换生成行列式 +1的置换矩阵的子群，n!/2次交错群。 更广泛的说，任何正交矩阵的效果分离到在正交二维空间上的独立动作。...

群推廣到了域擴張，并通過伽羅瓦理論基本定理建立了在域和群之間的嚴格關聯，再次凸顯了群在數學中無所不在。 一個群被稱為有限群，如果它有有限個元素。元素的數目叫做群G的階。一類重要的有限群是n次对称群SN，它是N個字母的置換的群。例如，在3個字母上的n次对称群S3是由三個字母ABC的所有可能置換構成的群，就是說它包含元素ABC...

在群论中，一个群的元素是对合，如果它的阶为2；也就是说，对合是一个元素a，使得a ≠ e且a2 = e，其中e是单位元。这个定义原来与以上的定义没有任何不同，因为群的元素总是从一个集合到它本身的双射，也就是说，“群”的意思是“置换群”。到了19世纪末，群...

对称群可以指： 空间对称群（Symmetry group）：描述歐幾里得空間中在複合函數運算下不變的所有等距同構所構成的群。 对称群 (n次对称群)（Symmetric group）：集合到自身的所有置换（双射）构成的群。...

{R} ,+)} ）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。 Burnside 將其歸功於Jordan，但是 Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群...

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为： 以偏函数取代二元运算的群； 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。...

自体和交换的血浆置换術用于治疗多种疾病，包括免疫系统疾病，例如古巴斯捷氏症候群 、格林-巴利症候群、狼疮、重症肌無力和血栓性血小板低下紫斑症 。 针头出血或血肿 低血壓 可能因輸血導致输血反应或传染疾病 抑制患者的免疫系统 血浆净化术为血漿置换术的变型，即双重过滤血浆置换术（double filtration...

(群论)和正规子群，使用枚举算法也比逻辑推导快速很多。 计算群论中的重要算法包括： 用于查找置换群阶的Schreier–Sims 算法。 用于陪集枚举的Todd–Coxeter 算法和Knuth–Bendix 算法。 用于查找组中随机元素的乘积替换算法。 计算群论的两个重要计算机代数系统(CAS) 是GAP和Magma （页面存档备份，存于互联网档案馆）...

从群论来说，对称群S4以置换坐标来作用于交比上，这群作用的核为克莱因四元群（这是保持交比的群）。那么有效对称群是其商群，同构于S3。 对某些λ值会有更强的对称，交比的可能值就少于六个。这些λ值对应于S3对黎曼球面的作用的不动点（由以上六个函数给出）；等价地，就是在置换群内有非平凡稳定子群的点。...

{\displaystyle X\leftrightarrow Y} 。 雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。 一函數 f {\displaystyle f} 為雙射的若且唯若其逆關係 f − 1 {\displaystyle...

群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凱萊定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。 所有双射函数 f: X → X（称作置換）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。 在（所有变换的）对称半群...

graph），也叫做凱萊著色圖，是將離散群的抽象結構畫出的一種圖。它的定義是凱萊定理（以阿瑟·凱萊命名）所暗含的。畫凱萊圖時，要選定群的一個生成元集合（通常有限），不同選法可能得到不同的凱萊圖。凱萊圖是組合群論（英语：Combinatorial group theory）與幾何群論的中心工具。 假設 G {\displaystyle...

数学上的单群（英語：Simple group）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑。...

马蒂厄群（法語：Groupe de Mathieu）M11, M12, M22, M23, M24是5个多重传递置换群，次数分别为11、12、22、23、24。它们由法国数学家埃米尔·李奥纳多·马蒂厄于19世纪60、70年代发现，也是最早被发现的散在单群。 马蒂厄群...

群是否有某种特殊的子群和商群（称为可解群）”的问题。阿贝尔-鲁菲尼定理说明了：一般的五次或以上的多项式方程，其对应的伽罗瓦群是n元置换群 S n {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}} （n大于等于5），而这个群唯一的非平凡正规子群：n元交替群 A n {\displaystyle...

Q。由上可知Ω0 = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod p。 由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由William Kantor證明出一個西羅p-子群可以在多項式時間內被找到。 Florian Kammüller and Lawrence C...