以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數 以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內n×n矩陣所組成的集合 某些固定字母Σ的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的幺半群。空字元串當成單位元。這個幺半群標記為Σ*，並稱為在Σ內的自由幺半群。 給定一幺半群M，並考慮包含其所有子集的冪集P(M)。這些子集的二元運算可以定義成S...

集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。 集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。...

在抽象代数中，半环是类似于环但没有加法逆元的代数结构。偶尔使用术语 rig - 这起源于一个笑话，rig 是没有 negative 元素的 ring。 半环是装备了两个二元关系 + 和 · 的集合 R，有着: (R, +) 是带有单位元 0 的交换幺半群: (a + b) + c = a + (b...

在數學中，特別是叫做群論的抽象代數領域中，半直積(semidirect product)是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積，但帶有特定的乘法運算。 令G为群，N为G的一个正规子群，并且H是G的一个子群。下列命题等价: G = NH 且...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於...

在数学中，半群是闭合于结合性二元运算之下的集合 S 构成的代数结构。 半群的运算经常指示为乘号，也就是 x ⋅ y {\displaystyle x\cdot y} 或简写为 xy 来指示应用半群运算于有序对 (x, y) 的结果。 半群的正式研究开始于二十世纪早期。自从1950年代，有限半...

集合 S {\displaystyle S} 的幂集与对称差运算构成一个阿贝尔群（其中空集为幺元，每个集合的逆元为其本身），与交运算一起则构成交換半群。因此这两个运算跟幂集（透过证明分配律）一起构成一个交换環。 在集合论中， X Y {\displaystyle...

在数学领域，特别是对于动力系统的研究中，极限集合（或称极限集、极限点集）是一个动力系统在时间趋于无穷的时候的极限点的集合。极限集合有两种，分别是时间正向流动至正无穷时的极限点集合和时间反向流动回溯至负无穷时的极限点集合。在动力系统研究中，极限集合可以用来理解动力系统的长期性态。动力系统中的极限集合的种类包括有奇点，周期轨线，极限环和吸引子。...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的範疇化。 數學中，一個張量範疇（tensor category，或稱幺半範疇 monoidal...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

抽象代数，一个伪环（即无乘法单位环）是代数结构环的研究过程中，专指无乘法单位元素的环，“rng” 代表沒有乘法单位元素（英："multiplicative identity"）的環（ring）。 一个个伪环是集合R​​有两个二元运算（+·），称为“加”和“乘法”。乘法对加法满足分配律： （R+）阿贝尔群...

最基本的例子是某个集合的幂集按照集合包含排序。在完全格中，紧致元素精确的就是有限集合。这个名字“有限元素”的来源。 术语“紧致”来自某个拓扑空间的开集的完全格。在这个次序内，紧致元素就是紧集。实际上，在并半格中的紧致性的条件立即转换成对应的定义。 所有元素都是其下紧致元素的上确界的偏序集合叫做“代数偏序集合...

通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括： 擬群－可除總是可能的非空原群； 環群－有單位元的擬群； 半群－運算為可結合的原群； 幺半群－有單位元的半群； 群－有逆元的幺半群，或等價地說，可結合的環群； 阿貝爾群－運算為可交換的群。 原群的態射是一個函數 f : M → N {\displaystyle...

個群映至其二階子群的映射）；另外還有六個是自同態映射。假定群範疇是個可加範疇，那這個有十個元素的集合 E {\displaystyle E} 就會是一個環；而在任何的環當中，都會有一個零元素0，使得對環中所有的元素x而言，都有0x=x0=0，因此z會是 E {\displaystyle E} 中的零元素；然而，在...

的最一般的有單位代數，在泛性質的意思之下。 根據環理論術語，一般假定乘法單位元存在於任一環內。依此假定，所有的環都會有單位，且所有的環同態也會是有單位，且（結合）代數有單位若且唯若其為環。作者若不把環當做都有乘法單位元，會把有乘法單位元的環稱做有單位環（幺环），且把環單位元如單位元般作用在其上的模稱做有单位模（幺模）。...

在一可交換單作環R內，可逆元群U(R)以乘法作用於R上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當r~s時，表示存在一可逆元u使得r=us。 U是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 f : R → S 都可導出一群同態U(f) :...

理想（Ideal）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合...

任一么半群都會形成一個具單一個物件x的小範疇（此處的x是任一個固定的集合）。從x至x的態射恰好是么半群的元素，且其態射複合由么半群的運算所給定。么半群令態射絕不可能為函數，唯一從單元素集合x至x的函數為當然函數。可視範疇為廣義化了的么半群；一些和么半群有關的定義和定理也可能可以義廣化成範疇的定義和定理。...

半集合環（英语：Semiring#Semiring_of_sets），然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的前測度（英语：Pre-measure）。 更進一步的，如果對測度空間 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 來說，母集合 X...

代數的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。 代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發展出了較之前更進...

集合范畴中，自同态就是从集合S到它本身的函数。 在任何范畴中，X的任何两个自同态的复合也是X的自同态。于是可以推出，X的所有自同态的集合形成了一个幺半群，记为End(X)（或EndC(X)，以强调范畴C）。 X的可逆自同态称为自同构。所有自同构的集合...

對應加法的單位元稱為加法單位元（通常被標為0），而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。 如最後一個例子所示，有多個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元...

對於一個交换环，下列四個性質都是等價的：作為半單環、作為约化（英语：reduced ring）阿廷环、作為克鲁尔维数為0的約化诺特环以及與域的有限直積同構。 韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵（左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化）。也就是說，所有此類的環都是除環上的n × n矩陣，直至同構為止。...

通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。 下表给出任何整数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 的加法和乘法的基本性质。 全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。...

Set將群映射至其源集合且將群同態映射至其源函數。此類的函子會「遺忘」部份的結構，因此稱之為「遺忘函子」。另一個例子為函子Rng → Ab，其將環映射至其源加法阿貝爾群中。在Rng中的態射（環同態）則遺忘了其中的乘法，而變成了在Ab中的態射（阿貝爾群同態）。其他如體、模、拓樸空間等基於集合的結構也可以取其遺忘函子。...

環狀的陽光環繞在月球的周圍，這稱為日環食。英文的語源來自拉丁文的annulus，意思就是環。 食分不僅是在不同的食有所不同，在給定的食的過程中也會改變。一次日食可能開始是環食，然後成為全食；反過來也有可能。在極罕見的情況下，日食可以從環食成為全食，再回復為環食。這種混合的型式稱為全環食。...

、en，則R會是環Re1、...、Ren的直和。所有較有趣的是，每一於R內的核心冪等e都會給出一R的分解－Re和R(1 − e)的直和。 任一不等於0和1的冪等元素都是零因子(因為e(1 − e) = 0)。這表示了整環及除環都不會存在此種冪等元素。局部環也沒有此種冪等元素，但理由有點不同。唯一包含於一環...

R)可以被定義為行列式為可逆元的矩陣的群。 在非交換環 R 上，行列式表現不好。在這種情況下，GL(n, R)可以定義為矩陣環 M(n, R)的單位群。 在實數域上的一般線性群GL(n,R)是 n2維實數李群。要得出這個結論，注意所有 n×n 實數矩陣的集合 Mn(R)形成了 n2維實向量空間。子集GL(n...

{-3}}]} 為簡單歐幾里得整環。 四維超立方體（或四維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值 -4 负数，因數有-4、-2、-1、1、2和4。 質因數分解， − 1 × 2 2 {\displaystyle -1\times 2^{2}} 。 五維超立方體（或五維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值 平方根為2i...