黎曼–罗赫定理（Riemann–Roch theorem）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式转换为纯代数背景。 此定理最初是黎曼不等式，对黎曼...

伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 巴拿赫不动点定理 布尔素理想定理 贝尔纲定理 布劳威尔不动点定理 本迪克森-杜拉克定理 本原元定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理...

代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。 黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理...

黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。 代数几何 共形几何 黎曼曲率張量 黎曼球面 凯勒流形 泰希米勒空间 兒童畫（Dessin d'enfant） 和黎曼曲面有关的定理 黎曼-罗赫定理 黎曼-赫尔维茨公式 黎曼映射定理 单值化定理 赫尔维茨自同构定理 Hershel M...

記作M的欧拉示性数。 纳什嵌入定理：（两个）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rn。 所有给出的定理中，都将用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。 1/4-受限 球定理：若M是完备n-维黎曼...

在數論中，素数定理（英語：Prime number theorem）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。...

1862年他與埃莉澤·科赫（Elise Koch）結婚，由於患肺病，開始了療養生活。 1866年，漢諾威王國和普魯士王國的軍隊在哥廷根發生衝突，黎曼逃離了那裡。他在第三次去意大利王國的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。 他的名字出现在黎曼ζ函数、黎曼积分、黎曼-勒貝格定理、黎曼流形、黎曼...

格尔德·法尔廷斯最著名的工作是利用格罗滕迪克发展出的代数几何理论证明了莫德尔猜想：数域K上的亏格大于1的非奇异射影曲线上仅有有限多个K-有理点。他因此获得1986年的菲尔兹奖和2015年的邵逸夫獎。此外他对阿贝尔簇的参模理论，算术黎曼-罗赫定理以及p-进霍奇理论亦有重要贡献。...

{q}}\log \log q\right)} ，其中q是特徵的模。 Linnik-Sprindzuk定理是一個在普通的黎曼猜想成立的狀況下，滿足特定條件就可推出廣義黎曼猜想的定理。 這定理指出，在普通的黎曼猜想成立的前提下，如果對以最簡分數表達且 0 < | h | ≤ k 2 {\displaystyle...

）、奎伦（Quillen,D.G.）等的算术曲面上黎曼-罗赫定理开始的一系列研究工作，现在一般指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中许多学科起着重要作用，并且相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、黎曼面、K理论等，所以，它是典型的边缘学科。丢番图方...

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英語：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 讓函數 f {\displaystyle f} 為定義在區間 [ a , b ] {\displaystyle...

在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分算子，其解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。它涵攝了微分幾何中許多大定理，例如陳-高斯-博内定理和黎曼－罗赫定理，在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。 X 是緊微分流形。...

field）以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。 这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。格罗腾迪格需要在代数簇X的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群...

{\displaystyle n=3} 时定理成立。1825年，高斯和热尔曼同时独立证明费马定理5次幂。费马大定理提出之后的二百年內，對很多不同的特定的 n {\displaystyle n} ，費馬大定理被證明。但对于一般情況，人们仍一籌莫展。 1908年，德国人「保羅·弗里德里希·沃爾夫斯凱爾（英语：Paul...

法伊特-湯普森定理 怪兽月光理论 ε-猜想 四色猜想 弱哥德巴赫猜想 漢娜·諾伊曼猜想 克卜勒猜想 卡迪森－辛格問題 欧拉猜想 默滕斯猜想 Abc猜想（望月新一自称已证明） 吾鄉-朱加猜想 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 布羅卡猜想 考拉兹猜想 克拉梅爾猜想 歐德斯-史特勞斯猜想 吉爾布雷斯猜想 哥德巴赫猜想 希爾伯特-史密斯猜想...

彭罗斯-霍金奇点定理（以罗杰·彭罗斯和斯蒂芬·霍金命名）是广义相对论中的一系列结果，旨在回答引力何时产生奇点的问题。彭罗斯奇点定理是半黎曼几何领域的一个定理，其广义相对论层面的诠释预测了黑洞形成中的引力奇点。霍金奇点定理基于彭罗斯定理，它被解释为大爆炸场景中的引力奇点。彭罗斯因“发现黑洞的形成是广义相对论的稳健预测”而分享了...

微积分基本定理（英語：Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。...

在微分几何中，博赫纳–矢野定理(Bochner-Yano theorem)是指紧凑黎曼流形的具有负的里奇曲率张量的等距群是有限的。它因所罗门·博赫纳和矢野健太郎1953年出版的著作而命名。 Bochner, S.; Yano, K., Curvature and Betti numbers, Annals...

数学中，得名于伯恩哈德·黎曼和大卫·希尔伯特的黎曼–希尔伯特问题是在复平面研究微分方程时出现的一类问题。马克·克林、Israel Gohberg等人提出了这种问题的存在性定理（见Clancey & Gohberg (1981)）。 设 Σ {\displaystyle \Sigma } 为复平面中的简单闭合轮廓，将复平面分为...

Kaniecki）则证明了在黎曼猜想成立的前提下，奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年，陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。 1997年，戴舍尔（Deshouillers）、埃芬格（Effinger）、特里尔（te Riele）与季诺维也夫（Zinoviev）证明，在广义黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫...

在其他方面，施瓦茨改良了黎曼映射定理的證明，發展柯西-施瓦茨不等式的一個特例，並給出球的表面積比其他同等體積的物體還要小隻證明。他在後者方面的研究使埃米爾·皮卡證明微分方程之解的存在性（皮卡-林德勒夫定理）。 1892年，施瓦茨成為柏林科學院院士及柏林大學教授，其學生包括費耶爾·利波特、保羅·克伯（英语：Paul...

辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量（称为度量张量）的流形的黎曼几何有一些相似和不同之处。不像黎曼的情况，辛流形没有像曲率那样的局部不变量。这是达布定理的一个结果，定理指出2n维辛流形任意点的邻域与 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 的开集上的标准辛结构同构。另一个和黎曼...

數學上，別雷定理（英語：Belyi's theorem）是有關代數曲線的定理，指出任何用代數數係數定義的非奇異（英语：non-singular）代數曲線C，都代表這樣的一個緊黎曼曲面（英语：Compact Riemann surface），這黎曼曲面能作為黎曼球面的分歧覆蓋（英语：ramified covering），且只有三個分歧點。...

0年希尔伯特退休时演讲的录音，包括他的名言：「我们必须知道，我们必将知道。」随后，美国数学家约翰·泰特登台，依如下顺序宣佈了七條问题中的三條：黎曼猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想和P/NP问题，并逐一简单介绍。之后是英国数学家迈克尔·阿蒂亚演讲，介绍剩下四题，分别是庞加莱猜想、霍奇猜想、杨-米尔斯存...

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。 如果函数...

陶哲轩还解决了许多猜想或在这些猜想上取得了进展。2018 年，陶哲轩与布拉德·罗杰斯（英语：Brad Rodgers）一起证明了德布鲁因-纽曼常数为非负数。考虑到黎曼猜想等价于德布鲁因-纽曼常数为非正数，陶和罗杰斯的结论说明了黎曼猜想等价于德布鲁因-纽曼常数为0。 2020 年，陶哲轩证明了森多夫猜想（英语：Sendov's...

\mu .} :345 除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。 达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。 黎曼－斯蒂尔杰斯积分：黎曼积分的推广，用一般的函数g(x)代替x作为积分变量，也就是将黎曼和中的 ( x i + 1...

复杂度类P对NP问题（理论信息学：计算复杂度） 霍奇猜想（代数几何） 黎曼猜想（素数） 楊-米爾斯存在性與質量間隙（量子场论） 納維-斯托克斯存在性與光滑性（计算流体力学） 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（代数） 哥德巴赫猜想 华林问题中的 g ( k ) {\displaystyle g(k)}...

古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为了近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。...

黎曼猜想正确的话，让-马克·德苏耶（英语：Jean-Marc Deshouillers）等人在1998年证明了：每个大于等于7的奇数都可以写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。 1938年，华罗庚证明了弱哥德巴赫...

庞加莱猜想（法語：Conjecture de Poincaré），或稱裴瑞爾曼定理，是几何拓扑学中的一條定理，最早由法国数学家儒勒·昂利·庞加莱提出，是克雷數學研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但並未現身領獎。...