数学の、特に線型代数学や函数解析学の分野において、スペクトル定理（スペクトルていり、英: spectral theorem）とは、線型作用素あるいは行列に関する多くの結果である。大雑把に言うと、スペクトル定理は、作用素あるいは行列が対角化可能（すなわち、ある基底において対角行列として表現可能）とな...

スペクトル定理は、楕円体の主軸に関する定理の無限次元への拡張として考えられた。量子力学において、離散スペクトルの特徴をスペクトル理論を用いて説明できることが思いがけず知られるようになるが、それは後の時代の話である。 スペクトル...

は線型作用素ゆえ、その逆作用素もまた存在すれば線型である。また有界逆写像定理により有界性も出る。故にスペクトル σ(T) は、λI − T が全単射でないような複素数 λ の全体に一致する。 有界作用素 T のスペクトル σ(T) は、常にコンパクトであって、かつ空でない。もしスペクトルが空ならば、レゾルベント作用素 R ( λ...

数学におけるフロイデンタールのスペクトル定理（フロイデンタールのスペクトルていり、英: Freudenthal spectral theorem）とは、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間論の一結果である。大まかに言うと、単項射影性質（principal projection...

スペクトル密度と呼ばれ、ウィーナー＝ヒンチンの定理を介して相関関数と結びつく。 上述したように、光や音や電磁波信号は様々な周波数の成分から構成されている。そのようなものから周波数毎の強さを定量的に求める処理をスペクトル解析（spectrum analysis）と呼ぶ。スペクトル...

定理）。各周波数におけるエネルギー密度をエネルギースペクトル密度という。 また、信号の仕事率（パワー）は時間当たりのエネルギーでしばしば定義される。全く同じ議論がパワーに関してもでき、各周波数におけるパワー密度をパワースペクトル密度という。...

は対角行列でなければならない。 スペクトル定理により、正規行列をそのスペクトルによって分類するということができる。例えば、正規行列がユニタリであるための必要十分条件は、そのスペクトルがガウス平面上の単位円に含まれることである。あるいは、正規行列が自己随伴であるための必要十分条件は、そのスペクトルが実数直線上にあることである。...

上稠密に定義された線形作用素である。またfが実数値可測関数の場合は作用素値積分は必ず自己共役作用素になる事も知られているH13。 以上の準備のもと、スペクトル定理を定式化する： 定理 (スペクトル測度によるスペクトル分解定理H13) ―  H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、 A  ...

{\displaystyle G(x)=g(x)} となり、それ以外の領域では G(x) = 0 となる。 標本化定理とは、ある関数 g(x) をフーリエ変換した関数 F(f) の成分（スペクトル）が、 | f | ≥ W {\displaystyle |f|\geq W} の範囲で F(f) = 0 であるような関数...

個々の作用素論では、個別に与えられた作用素の性質や分類について扱う。例えば、スペクトルを用いた正規作用素の分類はこの範疇に属する。 スペクトル定理は線型作用素や行列に関する無数の結果の総称である。広義のスペクトル定理は、作用素や行列が対角化可能である（即ち適当な基底の下で対角行列に表せること）た...

スペクトル定理は、函数に作用する線型コンパクト作用素を、それらの固有値と固有函数を用いて分解することを述べるものである。 一般のベクトル空間は、ベクトルの間の乗法を持たない。二つのベクトルの乗法を定める双線型写像を付加的に備えたベクトル...

クトルは互いに直交し、正規作用素はその固有空間の直交補空間を不変にする。このことから通常のスペクトル定理「有限次元空間上の任意の正規作用素はユニタリ作用素によって対角化可能である」が出る。これは無限次元の場合にも、射影値測度（英語版）を用いて一般化できる。正規作用素の剰余スペクトルは空である。...

\,dE_{x,y}(\lambda )\quad (x\in D(T),y\in H)} を満たす。スペクトル測度 E は T のスペクトル上に集中する。 非有界正規作用素に対するスペクトル定理も存在する。 対称性 (物理学) ヒルベルトC*-加群（英語版） ヒルベルト代数（ドイツ語版） ヒルベルト多様体（英語版）...

内積空間論の観点からは、互いに等長同型な二つの空間は区別を要しない。スペクトル定理は有限次元内積空間上の対称作用素、ユニタリ作用素、あるいは一般に正規作用素に対する標準形を与えるものである。スペクトル定理の一般化はヒルベルト空間上の連続正規作用素に対しても成り立つ。 双対空間 双対対 フビニ-スタディ計量...

が分かり、優収束定理から、 ( T h − λ ) f n → f {\displaystyle (T_{h}-\lambda )f_{n}\rightarrow f} が Lp(μ) ノルムにおいて成立することが分かる。 したがって、乗算作用素は剰余スペクトルを持たない。特に、スペクトル定理...

ウィーナー＝ヒンチンの定理（英: Wiener–Khinchin theorem）は、広義定常確率過程のパワースペクトル密度が、対応する自己相関関数のフーリエ変換であることを示した定理。ヒンチン＝コルモゴロフの定理（Khinchine-Kolmogorov theorem）とも。 確率過程 x ( t...

シャノン・ハートレーの定理（シャノン＝ハートレーのていり、英: Shannon–Hartley theorem）は、情報理論における定理であり、ガウスノイズを伴う理想的な連続アナログ通信路の通信路符号化を定式化したものである。この定理から、そのような通信路上で誤りなしで転送可能なデータ（すなわち情報...

定理から従う。 ユニタリ作用素 U のスペクトルは単位円上に載っている。つまり、スペクトルに入る任意の複素数 λ に対して |λ| = 1 が成り立つ。これは正規作用素に対するスペクトル定理からの帰結である。実際、定理によれば U は適当な有限測度空間 (X...

の圏はそれぞれもう一方の反対圏としばしば考えられる． スキーム 射影スキーム 行列のスペクトル 構成可能位相（英語版） アフィン性についてのセールの定理（英語版） エタールスペクトル（英語版） ツィーグラースペクトル（英語版） [脚注の使い方] ^ T1 空間であるのは0次元のとき，かつそのときに限る．...

スペクトルを形成する。行列ベキ Ak の k → ∞ としたときの指数関数的成長率は、絶対値が最大であるような A の固有値によって決定される。ペロン＝フロベニウスの定理は、A を非負の実正方行列としたときのそのような支配的な固有値と、それに対応する固有ベクトルの性質について述べたものである。初期の結果は...

付測度と呼ばれる。同様の関数で複素数に値をとるものは複素測度と呼ばれる。バナッハ空間に値をとる測度はスペクトル測度 (spectral measure) と呼ばれ、主に関数解析学においてスペクトル定理 (spectral theorem) などに用いられる。これらの一般化した測度との区別のため、通常の測度を"正値測度"と呼ぶことがある。...

であり、Autonneによって導入された。悪条件方程式の数値解法で重宝するほか、信号処理や統計学の分野で用いられる。特異値分解は、行列に対するスペクトル定理の一般化とも考えられ、正方行列に限らず任意の形の行列を分解できる。 M を階数 r の m 行 n 列の行列とする。ただし、行列の要素は体 K...

数学におけるスペクトル半径（スペクトルはんけい、英: spectral radius）とは、複素正方行列や線形位相空間上の有界線形作用素の固有値の絶対値の最小上界のことである。ギリシャ文字 ρ によって表記されることが多い。 複素正方行列 A ∈ C n × n {\displaystyle {\boldsymbol...

fi に対して、環 k[X1, X2, …, Xn] / (f1, f2, …, fm) の次元を計算することは一般に容易でない。クルルの主イデアル定理により、ネーター環 R に対して、I が n 個の元で生成されるときの R/I の次元は dim R − n 以上である。次元が可能な限り落ちる場合（つまり...

space)、またはベクトル束 (vector lattice) とは、順序構造が束を成す順序線型空間のことである。リース空間の名はリース・フリジェシュの論文 (Riesz 1928) に因む。 リース空間の概念は測度論において重要で、ラドン-ニコディムの定理がフロイデンタールのスペクトル定理...

超関数 スペクトル (関数解析学) 関数方程式 有限要素法 フレシェ微分 ガトー微分 汎関数微分 リースの表現定理 バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理 フレドホルムの定理 フレドホルムの交代定理 ニュートン＝カントロビッチの定理 サードの定理 ベールの範疇定理 開写像定理 ハーン-バナッハの定理 ソボレフ不等式...

有限次元のスペクトル定理によれば、任意のエルミート行列はユニタリ行列で対角化して、得られた対角行列の成分がすべて実数となるようにすることができる。これにより、エルミート行列 A の全ての固有値が実数であり、A が n 個の線型独立な固有ベクトルを持つことがわかる。さらには A の n個の固有ベクトルからなる...

A のスペクトルは {0} であるため、スペクトル半径は ρ(A) = 0 となるが、このとき作用素ノルムに対しては ‖ A ‖op > 0 が成立する。 しかし、行列 A が正規のとき、そのジョルダン標準形は（ユニタリ同値の違いを除いて）対角行列である（スペクトル定理）。このとき ρ (...

って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。 有限次元のスペクトル定理によれば、任意の実対称行列は直交行列によって対角化可能である。更に、実正方行列 A が対称であるのは D = Q T A Q {\displaystyle...

が与えられたとき、正則汎関数計算（英語版）によって、σ(x) の近傍で正則な任意の関数 ƒ に対し、ƒ(x) ∈ A を定義することが出来る。さらに、スペクトル写像定理: σ ( f ( x ) ) = f ( σ ( x ) ) {\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x))}...

来する。1936年にハンス・フロイデンタールは、この定理を特別な場合として含む、リース空間での一結果であるフロイデンタールのスペクトル定理を証明することによって、その結果の更なる一般化に成功した。 Y がバナッハ空間であり、ラドン＝ニコディムの定理が Y に値を取る函数に対して同様に成り立つなら、Y...