二阶导数的对称性，也称为混合导数的相等，或杨定理（英語：Young's theorem），指取一个n元函数 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} 的偏导数可以交换。如果关于 x i {\displaystyle...

{\displaystyle f} 的二階導數（英語：second derivative或second order derivative）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法（英语：Leibniz...

Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7.  相对于全导数，在其中所有变量都允许变化 达朗贝尔算子 复合函数求导法则 旋度 方向導數 散度 外导数 梯度 雅可比矩阵 拉普拉斯算子 二階導數的對稱性 三乘积法则，又称为循环链式法则。...

differential equation，縮寫作PDE）指含有未知函數及其偏導數的方程。描述自變量、未知函數及其偏導數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。 偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。 方程式中常以u為未知數及偏微分，如下： u x y = ∂...

链式法则，台湾地区亦称连锁律（英語：Chain rule），用于求合成函数的導數。 兩函數 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 的定義域 ( D f {\displaystyle D_{f}} 和 D g {\displaystyle D_{g}} )...

以下的列表列出了许多函数的导数。f 和g是可微函数，而别的皆为常数。用这些公式，可以求出任何初等函数的导数。 線性法则 d ( M f ) d x = M d f d x ; [ M f ( x ) ] ′ = M f ′ ( x ) {\displaystyle {{\mbox{d}}(Mf) \over...

{d}}x^{2}}}} :132、 二阶导数可用于求解函数凹凸性问题。 f ″ ( x ) > 0 {\displaystyle f''(x)>0} 函数在x上凹。 f ″ ( x ) < 0 {\displaystyle f''(x)<0} 函数在x下凹。 二阶导数的导数称为三阶导数，记做 f ‴ ( x )...

的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。 決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。 若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。 若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。...

L'Hôpital，英語：L'Hôpital's rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。 洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令 c ∈ R ¯ {\displaystyle c\in {\bar...

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数，求极值的一种方法是求驻点（亦称为静止点，停留点，英語：stationary point），也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正，那么这个点就是局部最小值；如果二阶导数为负，则是局部最大值；如果为零，则还需要进一步的研究。 一般地，如果在驻点处的一阶、二阶...

的值，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。 函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 以数列...

的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。 微積分學於代數學和幾何學的基礎上建立，其中微分是指函數的局部變化率的一種線性描述，包括求導數...

导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数 f {\displaystyle f} 在点 P {\displaystyle P} 上的梯度，是以 f {\displaystyle f} 在 P {\displaystyle P} 上的偏导数为分量的向量。...

f(x)=-x^{2}} 和 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。 任何線性函數 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 既是凸函數也是凹函數。 函數 f (...

的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian variety）：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。...

\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},} 因为单位球W的体积是4π/3. 二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。...

麦克斯韦关系式是热力学中的一套方程，可以从热力学势的定义推出。麦克斯韦关系式是热力学势的二阶导数之间的等式的陈述。它们可以直接从二元解析函数的高阶导数与求导次序无关的事实推出。如果Φ是一个热力学势， x i {\displaystyle x_{i}} 和 x j {\displaystyle x_{j}} 是这个势的...

列代数运算或别的可以想象的运算得到的量。”十八世纪，人们发展了基于无穷小量的微积分，，并研究了常微分方程和偏微分方程的解法。那时多元函数的运算与一元函数类似。直到十九世纪末和二十世纪，人们才严格建立起偏导数（包括二阶偏导数）的计算法则。 多元函数是指定义域为 R n {\displaystyle \scriptstyle...

rule），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。 若已知两个可導函数 f , g {\displaystyle f,g} 及其导数 f ′ , g ′ {\displaystyle f',g'} ，则它们的积 f g {\displaystyle fg} 的导数为： ( f g ) ′ = f...

function）是指函数在数学上的属性为连续。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。 如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续函数，或者说具有不连续性。非连续函数一定存在间断点。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数...

方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。 f : U ↦ R {\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} } ，...

x} 的未知函数， a ( x ) {\displaystyle a(x)} 和 b ( x ) {\displaystyle b(x)} 是给定的函数。 我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。 考虑函数 M ( x ) {\displaystyle M(x)} 。我们把(1)的两边乘以...

根據上述的距離公式，可以看出一些對稱性，在以下變換下，距離不變： 天頂角各加某特定角度。 其方位角對調、天頂角對調，或是兩者都對調。 一對稱矩陣可以視為是行編號及列編號的對稱函數，行編號和列編號對調後，數值不變。一些有適當光滑性的函數，其二階偏導數也可以視為是對稱函數，參照二阶导数的对称性。...

这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。 以计算机科学中高阶函数的方式 当然有理由不单限制于线性算子。例如在只考虑线性的情况下，施瓦茨导数（英语：Schwarz derivative）是一个熟知的非线性算子。 参见二阶导数的对称性 差分算子 德尔塔算子（英语：Delta operator） 分数微积分...

^{2}f=\nabla \cdot \nabla f} ── (1) f {\displaystyle f} 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 x i {\displaystyle x_{i}} 中的所有非混合二阶偏导数： Δ f = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 {\displaystyle \Delta...

y=g(x)} 的方式来表达。 隐函数导数的求解一般可以采用以下方法： 把 n {\displaystyle n} 元隐函数看作 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 元函数，通过多元函数的偏导数的商求得 n {\displaystyle n} 元隐函数的导数。 把一元隐函数...

B)} 。 全微分繼承了部分一元函数實函數（定義域和值域為實數的函數）的微分所具有的性質，但两者间也存在差异。从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理。 一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是：此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。 对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数...

的散度为正值，电荷越大，散度越大。负电荷附近，电场线“向内”，所以负电荷处的散度为负值，电荷越大，散度越小。向量值函數的散度為一個純量，而二阶张量的散度是向量值函数。 定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。给定一个三维空间中的向量场 A {\displaystyle...

\ b)} 处切线的平面方程。 对连续可微多变量函数，若其所有偏导数在P点都为零（梯度为零），则P点是一个临界点。临界值是函数在临界点上的值。 若函数光滑，或至少2次连续可微，则临界点可能是局部极值或鞍点。考虑二阶导的黑塞矩阵的特征值，可以区分不同情形。 由费马引理，可微函数的...

calculus）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。 微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的導數可以說明函數在此輸入值附近的變化率。尋找導數的...

x} 。 微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念:141。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 d x {\displaystyle {\textrm {d}}x} ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数...