環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於...

环可能指： 數學方面的「環」: 环 (代数)，一种代数结构。 環 (圖論)，一個圖論概念。 環圈，拓撲空間中會回到起點的函數。 形狀方面的「環」： 环形，一种二维平面几何图形。 环面，轮胎状几何体表面。 化學結構中的環： 环 (蛋白质)，一种蛋白质的二级结构。 环 (核酸)，核酸结构中的单链区。 天文方面的：...

抽象代数中，环论（英語：Ring Theory）是針對一種稱為环的代数结构之研究，环類似可交換群，有定義運算「+」，此外又定義另一種運算「·」（此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質）。环论研究環的結構、環的代數表現方式（英语：representation...

集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。 集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。...

在抽象代数中，半环是类似于环但没有加法逆元的代数结构。偶尔使用术语 rig - 这起源于一个笑话，rig 是没有 negative 元素的 ring。 半环是装备了两个二元关系 + 和 · 的集合 R，有着: (R, +) 是带有单位元 0 的交换幺半群: (a + b) + c = a + (b...

微分代数（英語：Differential algebra）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。...

布尔代数（英語：Boolean algebra）在抽象代数中是指捕获了集合运算和逻辑运算二者的根本性质的一个代数结构（就是说一组元素和服从定义的公理的在这些元素上运算）。特别是，它处理集合运算交集、并集、补集；和逻辑运算与、或、非。 例如，逻辑断言陈述a和它的否定¬a不能都同时为真， a ∧ ( ¬...

在泛代数中代数结构（英語：Algebraic structure）是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合。 例如，群、环、域和格的代数结构。更复杂的结构可以被定义为通过引入多个操作，不同的基础集，或通过改变限定公理。更复杂的代数结构的实例包括向量空间，模和代數 (環論)。关于代数结构的的详细情况，参见各个链接。...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数...

抽象代数中，*-代数（或对合代数）是由两个对合环R、A组成的数学结构，其中R是交换的，A具有R上结合代数的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念，如复数和共轭复数、复数上的矩阵和共轭转置、希尔伯特空间上的线性算子与埃尔米特伴随。 不过，代数也可能不允许任何对合。 数学中，*-环是具有映射 ∗ :  ...

数学和理论物理中，'超代数指的是Z2-分次代数。也就是说，它是交换环或域上的代数，可以分解为“奇偶”两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。 “超”来自理论物理中的超对称。超代数及其表示（超模）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用，它们进入了分次流形、超流形和超概形。...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

0的性质证实了布尔环是在带有两个元素的域F2上的结合代数，但只在这个方向上。特别是，任何有限布尔环都有二的幂的势。不是所有的在F2上的单作结合代数都是布尔环：比如多项式环F2[X]。 任何布尔环R模以任何环理想I的商环R/I也是布尔环。类似的，布尔环的任何子环是布尔环。 在布尔环R中所有素环理想P是极大环理想：...

a^{-1}} 。 有理數、實數和複數都是體的例子。 代數一詞亦可用來稱呼不同的代數結構，包含有： 交換環上的代數 集合上的代數 布尔代數 範疇論內的F-代數和F-對偶代數 Σ代數 数学主题 維基教科書中的相關電子教程：代数 代數基本定理 電腦代數系統 Struik, Dirk J. (1987)....

非交换代数几何是非交换几何的一个方向，研究非交换代数对象（如环）的形式对偶的几何性质，以及由它们导出的几何对象（如由沿局部胶合或取非交换叠商）的几何性质。 例如，非交换代数几何通过适当地粘合非交换环的谱，来推广概形，已经取得了部分成功。非交换环推广了交换概形上的交换正规函数环。在传统（交换）代数...

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

代數數（英語：algebraic number）是代数与数论中的重要概念，指任何整係數多项式的複根。 所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 或 Q ¯ {\displaystyle...

理想（英語：Ideal）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想是整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合的推廣。两个偶数相加...

是諾特環。 對任意的域 k {\displaystyle k} ，多項式環 k [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]} 及其商是諾特環。這是代數幾何中最常見的情形。 以下是非諾特環的例子： 考慮有可數個變元的多項式環 k [...

在环论中，若某非无零因子环除了零理想（英语：Zero ideal）及其本身兩個理想外沒有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。 单环的中心必是一個域，所以单环是该域上的一个結合代數。因此，单代数和单环是相同的概念。 此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bo...

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數...

{\displaystyle \mathbf {Z} } 或 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } （源于德语单词Zahlen，意为“数”）。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。 整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z+或...

在抽象代数中，主理想整环（英語：principal ideal domain，简称PID）是其中所有理想都是主理想（由一个元素生成的理想）的整环。一个更广泛的概念是主理想环，它指的是其中所有理想都是主理想的非零交换环，但一些作者（如布尔巴基）把主理想整环称为主理想环。主理想整环和主理想环...

抽象代数（英語：Abstract algebra）作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」（abstract algebra）一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。...

代数整数构成一个环，通常记作 A {\displaystyle \mathbb {A} } 。 如果 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則 P {\displaystyle P} 的根都不是代數整數。...

代数问题。例如，代数拓扑学可以方便地证明自由群的任何子群又是一个自由群。 代数拓扑的几个主要分支如下： 在数学中，同伦群是一个用于分类拓扑空间。基本群是同伦群最简单的例子，记录了空间中环结的信息。直观上来说，同伦群记录了拓扑空间中的基本形状，即“孔洞”的信息。 在代数拓扑和抽象代数...

矩阵环就是考慮矩阵在環R下經由矩阵加法和矩阵乘法形成的环，從環R中的元素組成的n×n 方阵形成的矩陣環記作Mn(R)，某些无限阶矩阵也可以組成无限矩阵环，任何矩阵环的子环也都是矩陣环。如 R​​是一个交换环，则矩阵环Mn(R)是一个结合代数，被称为矩阵代数。在这种情况下，如果 M是一个矩阵， r∈...

代数是非交换环。 算子代数通常要求在连续线性算子的整个代数内，以特定的算子拓扑封闭。特别地，它是同时具有代数和拓扑封闭性的算子集。某些学科中，这种性质得到了公理化，研究对象变成具有特定拓扑结构的代数。 算子代数在不同背景下都有研究（如作用于分布空间的伪微分算子的代数...

} 是整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的分式環。 有理函數域是多項式環的分式環 代數數域是代數整數環的分式環。 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。 對於一般的交換環 R {\displaystyle R} （容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使...

R\}} 。它是 R {\displaystyle R} 的交换子环，而 R {\displaystyle R} 则是中心上的代数 代数 A {\displaystyle A} 的中心就是它作为环的中心。参见中心单代数。 李代数 L {\displaystyle L} 的中心是与所有元素李括号为0的元素。...