域扩张的基域，L称为K的扩域:2。如果某个域F既是K的扩域，又是L的子域，则称域扩张F/K是域扩张L/K的子扩张，称F（域扩张L/K的）中间域。 域扩张的记法L/K只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为L:K。 另外，因为ι是域...

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个有限扩张L/K是正规扩张当且仅当扩域L是多项式环K[X]中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。 正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张...

代数扩张（英語：Algebraic extension）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張L/K被稱作代數擴張，若且唯若L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有： C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb...

单扩张是由一个元素生成的域扩张，也是最简单的域扩张，记作F(a)。新的域是原域加上新元素而成的最小域。 本原元定理描述了哪些域擴張E/F中的E可以表示為单扩张。 康明昌. 近世代數. 台灣: 聯經出版公司. 2000-10-01. ISBN 9570821558.  使用|accessdate=需要含有|url=...

伽罗瓦扩张是抽象代数中伽罗瓦理论的核心概念之一。伽罗瓦扩张是域扩张的一类。如果某个域扩张L/K既是可分扩张也是正规扩张，则称其为伽罗瓦扩张。另一个等价的定义是：伽罗瓦扩张是使得其上的环自同构群的固定域为其基域的域扩张。伽罗瓦扩张上的自同构群称为伽罗瓦群，而且伽罗瓦扩张的中间域与其伽罗瓦群的子群之间的关系满足伽罗瓦理论基本定理。...

可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张L/K满足：任何一个L中元素在基域K上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张...

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的有限维向量空间。 对代数数域...

類域論（英語：Class field theory）是代數數論的一支，是关于阿贝尔扩域的理论，由日本數學家高木貞治所開創的數學領域。 类域论的最主要定理是“阿贝尔扩张的Galois群（及其子群格）同构于基域的（广义）理想类群（及其子群格）”，有许多定理和表述方式。特例是：m次分圆域的Galois群同构于整数群模m的商群。...

{\displaystyle \mathbb {K} } 上的极小多项式在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的分裂域。 代数扩张 正规扩张 极小多项式 可分扩张 Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra...

伽罗瓦理论基本定理是抽象代数中的定理，通过群的概念来描述特定域扩张的细致结构。定理说明了，如果某个域扩张L/K是有限伽罗瓦扩张，则此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域（即子扩张K⊂F⊂L中的F）之间有一一对应关系。 伽罗瓦理论最初研究的目标是域上多项式方程的根式通解问题。18世纪时，数学家已经知道，任意...

伽罗瓦群（法語：Groupe de Galois）是抽象代数中域论的概念，表示与某个类型的域扩张相伴的群，是伽罗瓦理论的基础概念。域扩张源于多项式。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式的理论，称为伽罗瓦理论，是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。...

有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。 設 q = pn 為質數冪， F 為多項式 P = X q − X {\displaystyle P=X^{q}-X} 於質數域 GF(p) 上的分裂域。換言之， F 是最低階的有限域，使得...

在数论中，分圆域是在有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中添加复数单位根进行扩张而得到的数域。将 n {\displaystyle n} 次单位根 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} 加入而得到的分圆域称为 n {\displaystyle...

在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为 F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} 的形式，即E可以由单个元素生成。 一个有限扩张E/F有本原元，即存在 α {\displaystyle \alpha } 使得 E = F ( α ) {\displaystyle...

域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。...

:512 对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有后三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是L，那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。...

现代的研究方法是从域扩张L/K开始，并分析固定K的L的自同构群。进一步的解释和例子请参见关于伽罗瓦群条目。 这两种描述的关系如下。多项式系数属于基域K；扩域L应是在域K中添加多项式的根得到的域。满足保上述多项式方程的根的置换，都对应L/K的一个自同构，反之亦然。 在上面的第一个例子中，我们研究的是域扩张 Q (...

域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个完美域上的多项式是可分的，这包含了0特征域和所有有限域。 两个定义对于K上不可约多项式是等价的，这个被用来定义域K的可分扩张。 在条目的余下部分我们只用第一个定义。 一个多项式可分当且仅当它与它的形式导数P'(X)互素。 可分多项式被用于定义可分扩张：一个域扩张...

为一个数域:101。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域:5。 任何数域都包括有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } :103:5，但并不一定是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域 R {\displaystyle...

在域論，範數是一種映射。 設 K {\displaystyle K} 為域， L {\displaystyle L} 是 K {\displaystyle K} 的有限代數擴張。將 α {\displaystyle \alpha } 與 L {\displaystyle L} 的一個元素相乘，是一個線性變換：...

:512 对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是L，那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。...

在數學中，實閉域或實封閉域是一類有序域，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。 假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域 F {\displaystyle F} 中， − 1 {\displaystyle -1} 無法寫成平方和（表法： − 1 ≠ ∑ F...

能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。...

整體域是代數數論研究的主要對象，分成兩類： 數域：即有理數域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限擴張。 函數域：這裡是指某個有限域 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 上有理函數域 F q ( T ) {\displaystyle...

成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。 這類局部域的行為可由局部類域論描述。 局部域的完整分類如次： R , C {\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} } 。這些是阿基米德局部域。 p進數域 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。...

(\exp(f))/\exp(f)=\delta (f)\in F} 。 称这种情况为指数扩张。 h {\displaystyle h} 是 F {\displaystyle F} 上的指数。 微分域的初等扩张是指接连进行如上的扩张得到的微分域 F ( h 1 , . . . , h n ) {\displaystyle...

域扩张的理论。现代伽罗瓦理论中，使用域扩张的伽罗瓦群理论来证明阿贝尔-鲁菲尼定理。 域扩张理论将多项式方程的求解过程转化为特定的域扩张来描述。给定特征为0的系数域K。设有以K中元素为系数的多项式P。将P的根添加到系数域K中，包含它们的“最小”的域称为P的分裂域...

在數學上，一個域 F {\displaystyle F} 被稱作代數閉域，若且唯若任何係數属于 F {\displaystyle F} 且次數大於零的單變數多項式在 F {\displaystyle F} 裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。 舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：...

的域擴張，有時也寫作 k ( X ) {\displaystyle k(X)} 。此擴張的超越次數等於 dim ⁡ X {\displaystyle \dim X} ，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的函數域是 Q...

^{[K:\mathbb {Q} ]}} 。 全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的阿貝爾擴張 L / Q {\displaystyle L/\mathbb {Q} } ，我們有 L {\displaystyle L} 是全實域，或者存在極大的全實子域 K / Q {\displaystyle K/\mathbb...

在抽象代數中，一個域擴張 L / K {\displaystyle L/K} 的超越次數是 L {\displaystyle L} 中在 K {\displaystyle K} 上代數獨立子集的極大基數。 域擴張 L / K {\displaystyle L/K} 的一組超越基是子集 S ⊂ L {\displaystyle...