多项式简称为多项式。可以证明，两个多項式的和、差与積仍然是多項式，即多項式組成一個環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} ，稱爲 R {\displaystyle R} 上的（一元）多項式環。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式，即形同 p...

此方程的解即為多項式f(x)的根。若所有的系数a、b、c和,d都是实数，則此方程至少會有一個實數根（這對所有奇數次（英语：degree of a polynomial）的多項式都成立）。三次函數的所有解都可以用代數函數來表示（這對二次函数、四次函數也都成立，但根據阿贝尔-鲁菲尼定理，更高次數的多項式...

x_{0}} 处解析。 複解析函數的定義類此，僅須將上式的中的實數線換作複平面，並將實數換作複數即可。一个函数是复解析的，当且仅当这个函数是全纯的（即复可微的）。出于这个原因，术语“全纯”和“解析”经常可以互换。 典型的解析函数有： 全部初等函数： 多項式函数是解析的。对于次数为n的多项式，其泰勒级数中大于n阶的项必为零，自然也是收敛的。...

多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示各結果之間某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过繁複实验和多次观测来了解。而，如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式（Lagrange...

在數學裏，線性函數（又称一次函数）在不同的領域中有多於一个用途和含意。 在初等代數與解析幾何，線性函數是只擁有一個变数的一階多項式函数或者是只有常数的函数，因為在直角坐標系中這些函数的图形是直線。所以，這些函數是線性的。線性函數可以表達為斜截式： f ( x ) = k x + b {\displaystyle...

\right\}} 在平面直角坐标系中，该图像为一条直线。这是因为，该函数的导数为常数 k {\displaystyle k} 。 对于二次或更高次的多項式函数，或者其他的非線性函數，其图像则会呈现为一条曲线。这是因为其導函數不是常數函數。 例如，三次函数 f ( x ) = x 3 − 9 x   {\displaystyle...

函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。 在数学上，对于一个在实数或复数 a {\displaystyle...

Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（Taylor...

} 。 若某函数的傅里叶积分不收敛，则这一版本的傅里叶变换对其就无法定义；即便傅里叶积分收敛，所得的函数的积分逆变换也可能不收敛；或者这两个变换非互逆关系。所以须了解什么样的函数是可变换的，而且满足不同假設的函数的傅里叶变换可能性质不同。 另外，可行上述变换的函数太少，如各种多项式函数...

{\displaystyle c} 是常数）的多项式函数，其中， x {\displaystyle x} 为自变量， a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于...

零次函数（常數函數）：零次多项式，图像为水平线。 一次函数：一次多项式，图像为斜直线。 二次函数：二元二次多项式，图像为圆锥曲线。 三次函数 四次函数 五次函数 有理函数：两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数：形式上相似于三角函数。 对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。...

在數學中，分段定義的函數稱為分段函數，是由多個子函數而定義的，施加到主函數的域的一定的時間間隔的每個子函數（子域）。分段實際上是一種表達函數的方式，而不是函數本身的一個特徵，但是具有額外的限定，可以描述函數的本質。例如，分段多項式函數是在其每個子域上是多項式的函數，但是每個子域上可能是不同的。...

下表列出了前4阶移位勒让德多项式： 分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。 大Q勒让德多项式→勒让德多项式 令大q雅可比多项式中的 c = 0 {\displaystyle c=0} ,即勒让德多项式 令连续q勒让德多项式 q->1得勒让德多项式 lim q →...

{\displaystyle x} 的多項式函數。 代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例： x 2 + y 2 − 1 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,} 那麼 y {\displaystyle y} 的顯函數解顯然是： y =...

n) 時間；對於足夠大的 n，這時間比任何多項式都快；但是輸入要大得不切實際，時間才能真正超過低階的多項式。 準多項式時間演算法是運算慢於多項式時間的演算法，但不會像指數時間那麼慢。對一些固定的 c > 0 {\displaystyle c>0} ，準多項式時間演算法的最壞情況運行時間是 2 O (...

函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做齿函数。后来因为工程学术语中放样一词而得名。 在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式...

整函数（英語：Entire function）是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数和平方根都不是整函数。 整函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的阶可以用上极限定义如下：...

_{k=0}^{n}{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)\\\end{aligned}}} 這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式 ( x k ) = ( x ) k k ! ( x ) k = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x...

凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數 f {\displaystyle f} 為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數 f ″ {\displaystyle f''}...

不同。然而有些人[谁？]认为，如果包括空函数的话，那么常数函数将更容易定义。 对于多项式函数，一个非零常数函数称为一个零次多项式，而零函数对应只能叫零多项式。 常数函数可以通过与复合函数的关系，从两个途径进行描述。 下面这些是等价的： f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} 是一个常数函数。...

在数值分析领域中，龙格现象是在一组等间插值点上使用具有高次多项式的多项式插值时出现的区间边缘处的振荡问题。 它是由卡尔·龙格（Carl Runge）在探索使用多项式插值逼近某些函数时的错误行为时发现的。这一发现非常重要，因为它表明使用高次多项式插值并不总能提高准确性。 该现象与傅里叶级数近似中的吉布斯现象相似。...

Un 代表 n 阶多项式。 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程： ( 1 − x 2 )...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

1。多項式的判別式為0若且唯若多項式有重根。 多項式函數y = f(x)的圖形在其根的位置會和x軸相交。若該根為重根，函數會在根的位置和x軸相切，若一般根就不會相切。若該根的重複數為奇數（包括1），函數會通過x軸，若該根的重複數為偶數，函數會接觸到x軸，但不會通過x軸。 一個非零多項式函數...

多项式的注意可以減少這些缺點。 線性插值對每個區間 [xk,xk+1] 使用線性函數。 樣條插值在每個間隔中使用低階多項式，並選擇多項式以使它們平滑地吻合在一起。 結果函數被稱為樣條曲線。 例如，三次样条是分片段立方，兩次連續可微。 此外，它的二階導數在終點為零。 在上表中插入點的三次樣條函數由下式給出...

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點不為零，那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函數）。 一個多項式函數的可逆性與未經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函數的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在複零點），則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。 前推 黑塞矩阵 W., Weisstein,...

多項式，以及（或者）縮小多項式逼近函數的區間。縮小區間可以針對要逼近的函數，利用許多不同的係數及增益來達到。現在的數學函式庫會將區間劃分為許多的小區間，每個區間搭配一個次數不高的多項式。 只要選定了多項式的次數及逼近的範圍，就可以用以使最壞情形誤差最小化的原則，來選擇逼近多項式，其目的為最小化...

常用的数学函数包括多项式函數、根式函數、冪函數、对数函數、有理函数、三角函数、反三角函數等。它们都是初等函数。非初等函数（或特殊函数）包括伽马函數和贝塞尔函数等。 函數可分為 奇函數或偶函數 連續函數或不連續函數 實函數或虛函數 純量函數或向量函數 单调增函数或单调减函数 在范畴论中，函数的槪念被推廣為態射的槪念。...

具有和通常的指数函数完全相同的级数形式——尽管级数的严格定义、分析性质等问题还需专门考虑。那么，提前研究这种级数定义所给出函数演算的性质，将是一件有意义的事情。（实际上使用的函数演算会比这种级数定义更有力，参见为何需要更一般的函数演算。） 更简单的一类函数演算是将方阵的多项式函数...

n)k。 在計算機科學中，多對數函數在一些演算法時間和空間複雜度的數量級中用到（多對數級，PolyL）。 此外，多對數函數的指數成長是準多項式成長（英语：Quasi-polynomial growth），類似多項式成長，若時間複雜度以準多項式成長的演算法，稱為準多項式時間（英语：Quasi-polynomial...

{1}{|poly(x)|}}}<0} 。比如说，我们知道，在输入趋近于无穷大时，任何指数函数的增长速度大于任何多项式函数，因此，任何指数函数的反函数的增长速度一定小于任何多项式函数的反函数。指数函数的反函数是对数函数，因此，所有的对数函数都是可忽略函数。 除满足以上两点，还需要具备“不可重现性”。换言之，不能通过给定同...