在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是借助於有理數域。 一個實數系統由一個集合...

{\displaystyle \mathbb {R} } 是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。 在目前的初等數學中，没有對實數進行嚴格的定義，而一般把實數看作小數（有限或無限的）。实数的完备性可以利用幾何加以说明，即数轴上的點與實數一一對應；見数轴。 实数可以分为有理数（如 42 {\displaystyle...

實數有許多重要的特性是和數學中格的定義有關，這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是，實數形成有序域，實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性，屬於全序关系，而且實數有最小上界性。實數中的偏序关系帶來了實變分析中許多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。 在實變分析中這些定理只針對實數，不過許多的結果可以應用在其他的...

也就是說，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其證明請參見實數的構造。 设 { s n } n ∈ N {\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} 是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 { s n } n ∈ N {\displaystyle...

超實數系統是為了嚴格處理無窮量（無窮大量和無窮小量）而提出的。自從微積分的發明以來，數學家、科學家和工程師等（包括牛頓和萊布尼茲在內）就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集，或稱為非標準實數集，記爲 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } ，是實數集 R {\displaystyle...

对角论证法是乔治·康托尔於1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它數系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它們一般亦稱為對角論證法。 康托尔的证明表明区间[0...

\alpha >\gamma } 。对于小于（ < {\displaystyle <} ）的情形，传递性同样成立。 所以該大小關係是全序關係。 无理数 實數的構造 菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校. 微积分学教程（第一卷） 第8版. 高等教育出版社. : 5–6. ISBN 5-9221-0436-5...

{1-(-1)^{n}}{2}},\cdots } 是一個有界數列，但沒有極限。 但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，在假設可數版本的選擇公理成立的情況下，則可以證明此數列有極限。 定理 — 有實數數列 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb...

principle）的數學。一個域如果滿足實數的傳達原理，則為超實數域，而實無限分析就是使用這些域作為實數的非標準模型。 魯濱遜的原始辦法正是基於這些非標準的實數域模型。他那1966出版的經典奠基作非標準分析，在今天仍有印行。 至少有三個原因使人們考慮無窮小分析： 在牛頓和萊布尼茲發展無窮小演算法的...

set）、羅素悖論、超實數、射影幾何、擴展的實數軸以及絕對無限。在一些主題或概念中，無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念，而不是一個數。 最早關於無限的記載出現在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。書中說：「如果你從無限中移走或添加一部分，剩下的還是無限。」 印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》（c...

Numbers）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數...

(f(a)-u)(f(b)-u)<0} 的實數 u {\displaystyle u} ，皆存在一實數 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。 f {\displaystyle f} 的值域為一閉區間。...

Bishop）认为选择公理可被視作是構造性的： 但在構造性集合論（英语：Constructive set theory）中，迪亚科内斯库定理表明选择公理蘊涵了排中律（在直觉类型论中，选择公理不蘊涵排中律）。因此选择公理在構造性集合論中並非普遍被接受。在类型论中的选择公理与在構造性集合論中的选择公理的区别是，前者不具有外延性而后者具有。...

{\displaystyle T} 有定義的最大定義域 R − { 1 } {\displaystyle \mathbb {R} -\{1\}} （去除 1 {\displaystyle 1} 的實數系）， 跟對應規則 f ( x ) = T {\displaystyle f(x)=T} 來定義的函數 f {\displaystyle...

實數的公理系統都會允許有其他的模型，有些會小於實數，有些則會大於實數。後者有些被研究於非標準分析中。 一致性的要求是最重要的。如果一公理系統，不會同時推導到命題「p」和「非p」，那麼它就稱為一致的系統。 不一致的系統，會同時推導出「p」和「非p」的矛盾結果，在數學推論上，是不能容許的。 演繹系統包括有邏輯公理的集合...

的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵（英语：signature (logic)）。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。 舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。 超積有一些出奇的...

number）是指任何一個不是代數數的複數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。 幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。 超越數是代數數的相反，也即是說若 x {\displaystyle...

的勢的。 阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 (∞) 不同。阿列夫數用来衡量集合的大小，而無限只是在極限的寫法中出現，或是定義成擴展的實數軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數，而無限只是無限而已。 阿列夫數的直觀定義並沒有解釋什麽叫“下一個較大的勢”，也沒有證明是否存在“下一個較大的...

其實上面兩式也可以用更基礎，只牽涉到複數運算的方式證明： n {\displaystyle n} 維（实数）坐標空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 本身就是以實數系 R {\displaystyle \mathbb {R} } 為域（純量母空間）的向量空間，只要對任意 a =...

的判断，具有真值，即不是真的就是假的。例如，“雪是白色的”。命题不等同于句子，例如，“雪是白色的”和“白色是雪的颜色”是不同的句子，但它们判断相同的事，是相同的命题；同时，命题也不依赖于语言，不同的语言可以表达相同的命题，例如，“雪是白的”和“Snow is white”是相同的判断。疑问句、祈使句、感叹句都不能表达命题。...

...＂ 可以直觀的理解為 ＂當 h = x − a {\displaystyle h=x-a} 趨近於 0 {\displaystyle 0} 都有....＂，但要把它寫成嚴謹的定義，會碰到 ＂存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 對所有的實數 h {\displaystyle...

這樣一來，「某個語句有證明」的性質，就變成一個關於自然數的可計算性質。 哥德爾構造了一個特殊的命題 G，它的語意是： 「本命題不可證明」 形式化來說，這是利用"對角化法（Diagonalization）"構造出的命題，類似於「這句話是錯的」的悖論，但這次是在數學系統內嚴格定義的。 具體而言，哥德爾引入了一個公式...

函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： Γ ( z...

)=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} 。 被積函數對於y軸是對稱的，因此 I ( ∞ ) {\displaystyle I(\infty )} 是被積函數對於所有實數的積分的一半。 ( 2 I ) 2 = [ 2 ∫ 0 a e − x 2 d x ] 2 = [ ∫...

数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则稱作全集）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合的类。 这个一般概念有數個精确的版本。最简单的情況下可以將任意集合 U {\displaystyle U} 定義成全集，只要研究的對象都是其子集。若研究实数，则所有实数的集合实数线 R {\displaystyle...

是可数的，如果在 L 中的常量、函数和关系符号是可数的。 一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系 "<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子；最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的...

照惯例，1不被视为素数。在数字电路中，1表示二进制中的“开启”状态，是计算技术的基础。在哲学领域，1在诸多传统中象征着终极现实或存在的本源。 数字1是0之后之首个自然数。每一自然数，含1，皆由后继法构造，即于前一自然数加1而成。数字1为整数、实数及复数之乘法单位元，意即任何数字 n {\displaystyle...

邏輯真理是逻辑学的一个基础概念，它指的是无须借助于感性经验，仅依靠一定的逻辑推理即可判定其必然为真的真理。逻辑真理虽不直接与经验相联系，但这并不意味着它与经验徹底无关。 所有的哲学逻辑 以及逻辑推论都可以被看作是对逻辑真理的阐述。 逻辑真理通常被认为是必然的真理。这意味着它们在任何情境下都不可能不是真的...

x^{2}+1=0} 的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統 R {\displaystyle \mathbb {R} } 延伸至复数系統 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式 x...

可微的話，在點 x {\displaystyle x} 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f {\displaystyle f} 在點 x {\displaystyle x} 的微分或者導數。...

B} 到 A {\displaystyle A} 的單射，但它們之間不存在一一對應。例如，實數集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的勢嚴格大於自然數集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的勢，因為內含映射 i : N → R {\displaystyle...