数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究像李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。 李代數是一个在域 F 上的向量空間 g {\displaystyle {\mathfrak...

两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。 李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。 設 G {\displaystyle G} 為李群，其李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}...

{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )} 的子代數）。此時，伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。 如果 G 是 SL2(R)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。...

在數學中，單李代數是除了零和本身之外沒有其它理想的李代數。半單李代數是指能表為單李代數的直和的李代數。若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和，則稱之為約化李代數。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。 設 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 為李代數，其半單性有下述刻劃：...

抽象代数（英語：Abstract algebra）作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」（abstract algebra）一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。...

李群或約化群。約化群的表示是當前數學的熱點之一。 單群的分類法是先考慮其李代數的複化，並分類相應的根系。為了從複數域回到實數域，下一步是分類複李代數的實形式，這可藉 Vogan 圖完成。最後，李代數一一對應到單連通李群，為了從李代數層次回到李群層次，還須要計算單連通單李群的中心。複單李代數的分類如下，以下的...

theory）是數學中抽象代數的一支。旨在抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設...

在數學中，我們可以構造任意李代數 L {\displaystyle L} 的泛包絡代數 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。...

{Sp} (n)} 之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作 C n {\displaystyle C_{n}} 。此李代數也就是複李群 S p ( 2 n , C ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )} 之李代數，記作 s p ( 2...

数学中，李余代数（Lie coalgebra）是与李代数对偶的结构。 在有限维情形，它们是对偶的对象：李代数的对偶向量空间上自然有一个李余代数结构，反之亦然。 设 E 是域 k 上一个向量空间，上有一个线性映射 d : E → E ∧ E {\displaystyle d\colon E\to E\wedge...

在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。 所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} ： 各項皆為整數： ∀ i , j...

维拉宿代數（Virasoro algebra）是單位圓上微分算子所組成的李代數的中心拓展（英语：central extension），在複數域上的無限維李代數。這與仿射Kac-Moody代數（英语：Affine Lie algebra）關係密切（參看Sugawara構造）。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論的對稱性。...

在数学中，李代数上同调是李代数的一种上同调理论，由谢瓦莱和艾伦伯格为了对紧李群的拓扑空间的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中，一个特定的被称作Koszul复形（英语：Koszul_complex）的特殊复形，在李代数的模上定义，而其上同调则以一般形式被构造。 令G为一个紧李群，则其被对应的李代数...

在数学和理论物理领域，李群表示（Representation of a Lie group）意指李群在向量空间上的线性作用。等价地说，群的表示是一个从该群到向量空间的可逆算子群的光滑同态。表示论在连续对称性的研究中扮演了重要的角色。关于这类表示的研究颇丰，其中一个基本的研究工具是使用对应的无穷小李代数表示（英语：Lie...

y]} .) 一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數. h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數。 若 g 是 Kac–Moody 代數的一元，使得 ∀ x ∈ h [ g ...

在数学中，李代数胚（Lie Algebroid）在李群胚理论中的角色恰如李代数在李群理论中的角色：将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多对象的李群”，李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。 确切地说，一个李代数胚是三元组 ( E , [ ⋅ , ⋅ ] , ρ ) {\displaystyle...

在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。 卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。...

李超代数是李代数的推广，包含了Z2‑分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。 形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z2-分次代数，或“超代数”，其积为[·...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

在數學中，約化群是冪單根為平凡群的代數群。代數環面與半單代數群都是約化群，一般線性群 G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} 亦然。 「約化」一詞源於下述事實：零特徵域上的約化群的線性表示都是完全可約的。 對於李群 G {\displaystyle G}...

在數學物理中，量子群(quantum group)是一系列代數結構的通稱，是霍普夫代數之特例，可以看作q-量子化的李代數。雖其名中有一「群」字，但量子群不是群。量子群表示理論可產生杨-巴克斯特方程解；以此可以構造紐結的不變量。 Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley (1995)...

李代數，以泊松括號为李括號。相应的李群是辛流形的辛同胚群（也稱為正則變換）。 给定一个可微切丛上的向量场X，令 P X {\displaystyle P_{X}} 为其共轭动量。这个从场到共轭动量的映射为从泊松括號到李括號的李代數反同态： { P X , P Y }...

代數能萃取這些鏈複形蘊含的資訊，並表之為拓撲空間、層、群、環、李代數與C*-代數等等「具體」對象的（上）同調不變量。譜序列是計算這些量的有力工具。 同調代數肇始即在代數拓撲中扮演要角。其影響日漸擴大，目前已遍及交換代數、代數幾何、代數數論、表示理論、算子代數...

在数学中，特别是在群论中，李型群这一短语通常指的是与在有限域中取值的约化线性代数群的有理点群密切相关的有限群。李型群这一短语并没有一个被广泛接受的精确定义，但李型有限单群的重要集合却有一个精确的定义，它们构成了有限单群中的大部分群。 之所以称为李型群，是因为它们与（无限）李群关系密切，因为一个紧李...

n>2同構於 Z2。 在複數集上的一般線性群GL(n,C)是複數維 n2的複數李群。作為實數李群它有2n2維。所有實數矩陣的集合形成了實數李子群。 對應於GL(n,C)的李代數由所有 n×n 複數矩陣組成帶有交換子充當李括號。 不像實數情況，GL(n,C)是連通的。部分的因為複數的乘法群 C×是連通的。群流形GL(n...

李雙代數（Lie bialgebra）是一種代數結構，比一般李代數精細一倍：它本体是李代數，它的對偶空間也是李代數，且兩種結構相容。李雙代數是泊松李群（Poisson-Lie group）的李代數（即可以當作是無限小的柏松－李變換）。 上循環d：d係一g⊗g 值「１－上循環」(1-cocycle)，即符号條件：...

數學中的頂點算子代數（英語：Vertex operator algebra，縮寫：VOA）為一代數結構，於二維共形場論及弦論扮演了非常重要的角色，此外並應用在物理上，而頂點算子代數在基礎數學方面更已經被證實其用處，如在怪獸月光理論及幾何朗蘭茲綱領。 因著Igor Frenkel曾提出想構造一無限維李代數，1986年由理查德·博赫兹(Richard...

在数学中，复维特代数（英語：Witt algebra）是黎曼球面上某些亚纯向量场組成的李代数，其滿足：存在某兩個固定點，使各個向量場在該兩點以外皆處處全纯。它也是圆上多项式向量场的李代数和环C [ z, z − 1 ] 的導子李代数的复化。維特代數得名於Ernst Witt（英语：Ernst Witt）。...

在抽象代數中，設 Q {\displaystyle Q} 為群，若存在群 G , N {\displaystyle G,N} ，及群的正合序列 1 → N → i G → p Q → 1 {\displaystyle 1\to N{\stackrel {i}{\to }}G{\stackrel {p}{\to...

model，WZW），乃一簡單之 共形場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自朱利斯·外斯、布鲁诺·朱米诺、謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫與爱德华·威滕。 設G為緊緻單連通李羣，設g為其李代數。設γ為黎曼球面 S 2 {\displaystyle S^{2}} （複平面之一點緊緻化）上一G-值場...

i:G\to G} （逆），使之滿足群論所要求的公理。 可以將代數群設想為李群的代數幾何版本，代數群一樣有切空間及李代數，卻沒有指數映射（某些冪零群除外）；李群可以表成 R {\displaystyle \mathrm {R} } -代數群的覆疊空間。 代數群的典型例子包括 G L ( n ) {\displaystyle...