超實數系統是為了嚴格處理無窮量（無窮大量和無窮小量）而提出的。自從微積分的發明以來，數學家、科學家和工程師等（包括牛頓和萊布尼茲在內）就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集，或稱為非標準實數集，記爲 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } ，是實數集 R {\displaystyle...

請注意，以下幾個概念的外來詞都曾被翻譯為超實數： 超实数 (非标准分析)（即Hyperreal number）：非標準分析中的概念，在原有的實數域裡添加了無窮小量。 上超实数（即Superreal number。有「上超實數」、「外超實數」、「超超實數」等意味，但無正式中譯。）：超實數的一種推廣。 超現實數（即Surreal...

非標準分析（英語：Non-standard analysis），又可稱為實無限分析或超标准分析，是一個數學分析的一个分支，它用嚴格定義的无穷小量的概念來構建分析學。1973年，直觉主义者阿兰德·海廷称赞非标准分析是“重要数学研究的标准模型”。 實無限的概念源自G·W·萊布尼茲，將微積分中的dx,...

{\displaystyle R} 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R {\displaystyle R} 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R {\displaystyle R} 中也成立。 實數集構成一個度量空間： x {\displaystyle...

数学分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析...

分析教程》被誉为微积分的奠基之作。在其中，他使用ε-δ论证定义了函数的连续性。然而，在他自己的著作中也由于没有区别连续性和一致连续性导致出现了错误。 ε-δ语言登场后，利用无穷大和无穷小的分析也被弃用了。但是之后这种解析被使用超实数规范化，用于非标准分析的领域。...

等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。 超積的一般定義中，先選定指標集 I {\displaystyle I} 、對應每個下標 i ∈ I {\displaystyle...

Tree）。在这类树结构中，叶子节点代表类别标签，分支则代表导致这些标签的特征组合。 当目标变量是连续值（通常是实数）时，该树称为回归树（Regression Tree）。 在决策分析（Decision Analysis）中，决策树可以被用来直观、明确地表示决策过程及其可能结果。而在数据挖掘（Data...

超幂*R模型是由美国数学家梵·奥士达根据日本数学家高桥的思想创立的简化的非标准分析模型。 考虑一个整点阶梯函数 x=x(t),n≤t<n+1，n=0,1,2,3,…….并称之为过程量。若x(t)≡c,则称之为常过程量（对应于实数c）；若x(t)趋于零，则称之为趋零过程量。可以想象各种趋零过程量当可以...

} 上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有數學物件，都已作為这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通過戴德金分割）都會属于 S N {\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} } 。即使是非标准分析...

极限不是对微积分基础唯一的嚴格進路。另一種方法是採用亞伯拉罕·魯濱遜的非标准分析。罗宾逊在1960年左右所採取的進路袭承了牛顿——莱布尼茨的最初概念，借用数理逻辑的技術将实数系统扩大，得以將无穷小和无穷大数包含在內。所得出的數为超实数，可以用它們來對微积分法则作莱布尼茨式的推導。...

数系的拓展中，自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求，而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”，定义“远近”、“长短”等概念，是建立几何和分析结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念，正式称呼为度量。最直观的定义是将两个有理数的“距离”（度量）...

二阶逻辑比一阶逻辑更有表达力。例如，如果论域是所有实数的集合，我们可以在一阶逻辑中断言每个实数都有一个加法逆元：∀x ∃y(x + y = 0)，但是需要二阶逻辑来断言实数的集合的上确界性质，它声称实数的所有有界的、非空集合都有上确界。如果论域是所有实数的集合，下列二阶逻辑句子表达了最小上界性质： ∀...

用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明“完全有序域的所有模型都同構”的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。 首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數域*Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由*Q裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環B。...

超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。 此種代數舉例如下： 4維度：四元數、雙複數、分裂四元數 8維度：八元數、複四元數 16維度：十六元數 19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元...

序結構與實數集同構（序同構）的集合，例如實數集裡的任何開區間 擴展的實數軸，以及序同構於它的，比如單位區間。 實的半開半閉區間如 (0,1] 等，以及其序同構。 拓扑學中有一種比實數線還要長的「長直線」 非標準分析中的超實數集 康托的連續統假設有時會被敍述成「在連續統的基數和自然數的基數之間不存在任何基数」，這裡的「連續統」指的是實數集；連續統的基數即特指實數集的基數。...

领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的環。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。 向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量...

形式上，複數系統可以定義為普通實數的虛數i的代數擴展。這意味著複數可以作為變量i中的多項式進行加，減和乘，並施加規則 i 2 = − 1 {\displaystyle {{i}^{2}}=-1} 。此外，複數也可以除以非零複數。總體而言，複數系統是一個域。...

域），那么代数基本定理说明这个方程刚好有n个根（如果重根也计算在内的话）。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此当n为奇数的时候，每个n维实系数矩阵至少有一个实数特征值。当矩阵系数是实数的时候，非实数的特征值会成共轭对出现。 一旦找到特征值λ，相应的特征向量就可以通过求解如下方程得到： ( A − λ...

延伸原理是非标准分析中的基本原理之一。 实数集是超实数集的一个子集，实数中的序关系x＜y是超实数中序关系的一个子集。 存在一个超实数大于零而小于一切正实数。 对于每一个实函数f，可以给出一个与之对应的、变量数量相等的超实数函数f*，f*叫做f的自然延伸。 第一条：实数是超实数的一部分。...

希尔伯特公理 塔斯基公理（英语：Tarski's axioms） 平行公设属于欧式几何，在非欧几何中分别有替代公理。 参见黎曼几何和球面几何。 阿基米德公理 (实数) 可數性公理 (拓扑) 最小上界公理 (实分析) 粘合公理（英语：Gluing axiom） (层) 局部量子场论（英语：Haag-Kastler...

分析中，就存在没有倒数的无穷小。 非标准分析因包含了一个有无穷小（及它們的反元素）完整陣列的系統而众所周知，它提供了一个不同的，也许是更加直观的，对微积分的处理。A.H. Lightstone在1972年提供了一个非标准小数展开式的发展，其中每一个位於（0, 1）之内的扩展的实数，都有一个唯一的扩展的小数展开式：数列0...

望值。方差在统计中有非常核心的地位，其应用领域包括描述统计学、推論統計學、假說檢定、度量拟合优度，以及蒙特卡洛采样。由于科学分析经常涉及统计，方差也是重要的科研工具。方差是標準差的平方、分布的二阶矩，以及随机变量与其自身的协方差，其常用的符号表示有 σ 2 {\displaystyle \sigma...

更一般地说，向量分析可定义在任意3维有向黎曼流形，或更一般的伪黎曼流形上。这种结构就是每点的切空间都有内积与方向，更一般地说是有对称非退化度量张量与方向。向量分析根据每点的切向量定义，所以有效。 大多数分析结果都可以通过微分几何机制轻松理解，向量分析...

的角色主唱系列中 CV-03 巡音流歌的人物形象即包含无穷大的符号以象征“循环、巡回”之意。 0.999… 非標准分析 連續統假設 無限猴子定理 無窮公理 銜尾蛇 艾禮富數 无限集合 超現實數 無窮遠焦點 Scott, Joseph Frederick, The mathematical work...

Sontag的工作证明了，一个具有有理数权重值的特定递归结构（与全精度实数权重值相对应）由有限个神经元和标准的线性关系构成的神经网络相当于一个通用图灵机。他们进一步表明，使用无理数权重值会产生一个超图灵机。 人工神经网络模型有一个属性，称为“容量”，这大致相当于他们记住（而非正确分类）输入数据的能力。它与网络的参数、和结...

更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此，它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn的标准基。 设V是由函数et和e2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。 设R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x2, .....

函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： Γ (...

布林代数 卡诺图 圖像式思考輔助工具 米尼佛夫人問題 与文氏图类似的欧拉图 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书 数学1 必修. 北京: 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 9787107177057.  Venn diagram - 范恩圖...

Cantor，1845年3月3日—1918年1月6日），出生于俄国的德国数学家。他创立了现代集合论，是實數系以至整个微积分理论体系的基础，還提出了势和良序概念的定義；康托爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關係的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明了實數比自然數更多。康托爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了“無限的無窮”...

標準」的一門學科。作為一個形式科學，邏輯透過對推論的形式系統與自然語言中的論證等來研究並分類命題與論證的結構。 逻辑的范围是非常广阔的，從對謬論與悖論的研究之類的核心議題，到利用機率來推論及包含因果論的論證等專業的推理分析。邏輯在今日亦常被使用在論辯理論之中（参见：非形式逻辑）。...