非交换代数几何是非交换几何的一个方向，研究非交换代数对象（如环）的形式对偶的几何性质，以及由它们导出的几何对象（如由沿局部胶合或取非交换叠商）的几何性质。 例如，非交换代数几何通过适当地粘合非交换环的谱，来推广概形，已经取得了部分成功。非交换环推广了交换概形上的交换正规函数环。在传统（交换）代数...

代数很像合适的希尔伯特空间上连续线性算子代数的某个封闭子代数。相似的结果也适于冯诺依曼代数。 交换自伴算子代数可视为局部紧空间上的复值连续函数代数，或标准可测空间上的可测函数代数。于是，可以把一般算子代数看做它们的非交换推广，或定义了函数的基空间的结构。这种观点被阐述为非交换几何，试图用非交换...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数...

代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環（英语：PI ring）。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环理論的發展，這部份後來稱為交換代數，是現代數學中的主要領域之一。代数几何、代數數論及交換...

数学中，几何代数（也称作实克利福德代数）是初等代数的推广，用于处理向量等几何对象。几何代数由加法与几何积两种基本运算组成，向量的乘积是更高维对象，称作多重向量。与其他处理几何对象的形式相比，几何代数在支持不同维度的对象的向量除法与加法方面具有优势。 几何积最早由赫尔曼·格拉斯曼简单提及，他的兴趣主...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E...

代数拓扑的基本方法是通过函子，把空间映射到相应的代数范畴上。例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。 实现这个目标的主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。...

数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究像李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。 李代數是一个在域 F 上的向量空間 g {\displaystyle {\mathfrak...

非交換幾何（英語：Noncommutative geometry，简称NCG）為數學的分支領域，內容為非交換代數（英语：noncommutative algebra）的幾何方法，以及由函数的非交换代数局部呈现的空间的构造。非交換代數是一種結合代數，而乘積不是交換性的，亦即 x y {\displaystyle...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R...

代数运算。 在欧几里得几何里，两條笛卡尔坐标向量的点积常称为内积（德語：inneres Produkt；英語：inner product）。點积是内积的一种特殊形式：内积是点积的抽象，內积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（内积空间）的度量。 从代数...

ex=x=xe} ，则称代数是含幺的或酉的。例如，八元数是含幺的，而李代数绝不含幺。 A的非结合代数结构可与A的K-自同态的全代数的子代数（是结合代数）相关联，作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数与（结合）包络代数，后者有“包含A的最小结合代数”的意味。 更一般地，有人提出交换环R上非结合代数...

代数几何与微分几何中，卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜...

符号代数的发展历程漫长而曲折，大致可分为四个阶段。最初的文辞代数，兴起于巴比伦时期，并一直延续到16世纪。它完全依靠文字来表述和解决代数问题。随后，几何建构代数逐渐兴起，在吠陀时期和古希腊数学家那里得到重视，他们利用几何图形来解决代数问题。第三个阶段是简字代数...

代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。 模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。...

抽象代数中，*-代数（或对合代数）是由两个对合环R、A组成的数学结构，其中R是交换的，A具有R上结合代数的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念，如复数和共轭复数、复数上的矩阵和共轭转置、希尔伯特空间上的线性算子与埃尔米特伴随。 不过，代数也可能不允许任何对合。 数学中，*-环是具有映射 ∗ :  ...

代數幾何義大利學派，以及菲利克斯·克萊因那導致古典群誕生的愛爾蘭根綱領）都建立在投影幾何之上。此一學科亦吸引了許多學者，在綜合幾何（synthetic geometry）的旗幟之下。另一個從投影幾何之公理化研究誕生的領域為有限幾何。 投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域，其中的兩個例子為投影代數...

}(X)} ；反之，对σ-有限度量空间，*-代数 L ∞ ( X ) {\displaystyle L^{\infty }(X)} 都是冯·诺伊曼代数。 于是，冯·诺伊曼代数理论也称作非交换测度论，C*-代数理论也称作非交换拓扑(Connes 1994)。 冯·诺伊曼代数中，满足 E = E E = E ∗...

更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。 交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 C R i n g {\displaystyle \mathbf {CRing}...

在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。 定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。 更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范...

数学中，非交换拓扑是用于拓扑学与C*-代数概念之间关系的术语。非交换拓扑起源于盖尔范德–奈马克定理，指出局部紧豪斯多夫空间的范畴同交换C*-代数范畴之间的对偶性。非交换拓扑与解析非交换几何有关。 非交换拓扑背后是前提是，非交换C*-代数可以像非交换空间上的复值连续函数代数一样处理，而非交换...

数学和理论物理中，'超代数指的是Z2-分次代数。也就是说，它是交换环或域上的代数，可以分解为“奇偶”两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。 “超”来自理论物理中的超对称。超代数及其表示（超模）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用，它们进入了分次流形、超流形和超概形。...

几何群论是数学中的一个领域，是群论的一个分支。几何群论通过探索几何群的代数性质，还有这些群的群作用的空间中拓扑和几何性质之间的联系来研究有限生成群（这里的几何群指可以用几何上的对称性或某些空间的连续变换来生成的群）。 几何群论中的另一个重要思想是将有限生成群本身视为几何...

非阿贝尔代数拓扑是代数拓扑的一个分支，主要研究不可交换的高维代数。 许多高维代数结构都不可交换，因此对它们的研究是非阿贝尔范畴论与非阿贝尔代数拓扑（NAAT）的重要组成部分，它们将来自基本群的概念推广到高维。这种多维代数结构发展了基本群的非阿贝尔性质，在更精确的意义上，它们“比群更不阿贝尔”。这些不...

( Y ) {\displaystyle C_{0}(Y)} ，则X、Y同胚。这一特征是非交换拓扑与非交换几何纲领的动机之一。 给定巴拿赫*-代数A，具有近似单位，则有（在C*-同构意义上）唯一的C*-代数 E ( A ) {\displaystyle \mathbb {E} (A)} 与万有的*-态射...

05: 组合学 06: 序理论/格论/序代数结构 08: 一般代数系统 11: 数论 12: 域论与多项式 13: 交换代数 14: 代数几何 15: 线性代数与多线性代数/矩阵论 16: 结合环与结合代数 17: 非结合环与非结合代数 18: 范畴论/同调代数 19: K-理论 20: 群论及其推广...

几何朗兰兹纲领(geometric Langlands program)是由数论中的朗兰兹纲领陈述在代数曲线的函数域上而得到的一系列猜想与结论。它联系了代数几何、表示论与量子场论，并对这些学科都产生了深远的影响。在定义于有限域的代数曲线上证明朗兰兹纲领的想法出自于德林費爾德对 G L 2 {\displaystyle...

几何方法。在代数几何，可通过对极大理想的点集局部化的变量研究入手。而全局信息，可通过局部化综合在一起得出。在代数数论，局部研究问题是主要方法之一，通过在数域代数中对整数环的素元入手，再对分式域研究得出全局信息。 理想类群阶的有限性问题。代数数论一个经典结论是：代数数域的理想类群阶有限。...

在数学中，格（英語：Lattice）是其非空有限子集都有一个上确界（称为并）和一个下确界（称为交）的偏序集合（poset）。格也可以特征化为满足特定公理恒等式的代数结构。因为两个定义是等价的，格理论从序理论和泛代数二者提取内容。半格包括了格，依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。...

theory）是數學中抽象代數的一支。旨在抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設...

线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论。 线性代数的方法还用在解析几何...