在數學中， Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)...

双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。 ψ ( x ) = d d x ln ⁡ Γ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) . {\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma...

m{\displaystyle {\boldsymbol {m}}}阶多伽玛函数是伽玛函数的第(m+1){\displaystyle ({\boldsymbol {m+1}})}个对数导数。 ψ(m)(ζ)=(ddζ)mψ(ζ)=(ddζ)m+1ln⁡Γ(ζ){\displaystyle \psi ^{(m)}(\zeta...

在数学中，上不完全Γ函数和下不完全Γ函数是 Γ {\displaystyle \Gamma } 函数的推广。它们的定义分别如下： Γ ( s , x ) = ∫ x ∞ t s − 1 e − t d t . γ ( s , x ) = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t . ℜ ( s...

三角积分函数 正弦积分函数 余弦积分函数 双曲正弦积分函数 双曲余弦积分函数 误差函数 菲涅耳积分 道森积分 Γ函数 双Γ函数，多Γ函数 不完全Γ函数 巴尼斯G函数 Β函数 不完全Β函数 K函数 多变量Γ函数 学生t-分布 椭圆积分 勒让德形式 Carlson形式 椭圆函数 雅可比椭圆函数 魏尔斯特拉斯椭圆函数...

qΓ函数（q-Gamma function）是Γ函数的q模拟 Γq(z)={\displaystyle \Gamma _{q}(z)=}(q;q)∞∗(1−q)1−z(qz;q)∞{\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }*(1-q)^{1-z}}{(q^{z};q)_{\infty...

巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。 巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为： G(z+1)=(2π)z/2e−[z(z...

E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}} 。E2(x) 即为误差函数 erf(x)。 x > 0时，广义误差函数可以用Γ函数和 不完全Γ函数表示， E n ( x ) = Γ ( n ) ( Γ ( 1 n ) − Γ ( 1 n , x n ) ) π , x > 0.   {\displaystyle...

}} 上式中 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按 1 / x {\displaystyle 1/{\sqrt {x}}} 速率衰减的正弦或余弦函数...

因此，有： B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.} 贝塔函数的导数是： ∂ ∂ x B ( x...

K函数是hyper阶乘函数在复数上的扩展，如同Γ函数是阶乘函数在复数上的扩展。 K函数的定义为： K ( z ) = ( 2 π ) ( − z − 1 ) / 2 exp ⁡ [ ( z 2 ) + ∫ 0 z − 1 ln ⁡ ( t ! ) d t ] . {\displaystyle K(z)=(2\pi...

杨氏函数（Young's function）是一个以Γ函数定义的特殊函数 C v ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z v + 2 n Γ ( v + 2 n + 1 ) {\displaystyle C_{v}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac...

Meijer G-函数是荷兰数学家梅耶尔引入的一种特殊函数。它是广义超几何函数的推广，绝大多数的特殊函数都可以用 Meijer G-函数表示出来。 广义超几何函数有下列一般的积分表达式（参见相关小节）： ( ∏ k = 1 p Γ ( a k ) / ∏ k = 1 q Γ ( b k ) ) p F...

(1-x)}}={\frac {1}{x!(-x)!}}} 其中 Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} 是 Γ函数。 尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。 归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系 lim a...

一般Γ函數與阿达马Γ函數 在數學中，阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數（Hadamard's gamma function）是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式，以雅克·阿达马命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為：...

\mathrm {d} z} ，其中围道γ逆时针环绕负实轴 黎曼-西格尔公式：给出计算ξ函数的数值的方法 零点的计算：计算了虚部介于0与100的所有零点的数值 素数的分布公式：引入黎曼素数计数函数，给出了它与ζ函数的关系 1896年，雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了 ζ (...

qBeta函数是B函数的q模拟 B q ( a , b ) = Γ q ( a ) ⋅ Γ q ( b ) Γ q ( a + b ) {\displaystyle B_{q}(a,b)={\frac {\Gamma _{q}(a)\cdot \Gamma _{q}(b)}{\Gamma _{q}(a+b)}}}...

在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤点集合之外的区域全纯的函数，且这些孤立点都是该函数的极点。 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。 直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。...

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合： U ( a , b , z ) = Γ ( 1 − b ) Γ ( a − b + 1 ) M ( a , b , z ) + Γ ( b − 1 ) Γ ( a ) z 1 − b M ( a − b...

{\displaystyle \theta } 、形状参数为 k 1 + k 2 {\displaystyle k_{1}+k_{2}} 的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论： X + Y ∼ Γ ( k 1 + k 2 , θ ) {\displaystyle X+Y\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta...

對數凸函數或超凸函數為一種定義在實數向量空间中凸集內，且其值為正數的函数f，若 log∘f{\displaystyle {\log }\circ f}（函數f取對數後的數值）仍為凸函數，原函數即為對數凸函數。對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。...

Gamma（大寫Γ，小寫γ，中文音译：伽马、伽瑪、伽傌），是第三個希臘字母。 西里爾字母的Г、Ґ和拉丁字母的C、G都是從Gamma變來。 大寫的Γ用於： 數學的Γ函數，和階乘有關 概率和統計學的Γ分布 電機工程學和物理學的反射系數 小寫的γ用於： 數學的歐拉常數 金融數學的一個風險管理指數 物理學的基本粒子之一：光子...

Γ函數的倒數 在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數： f ( z ) = 1 Γ ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}} 其中，Γ(z)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數...

continuation）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。 若f為一解析函數，定義於複平面C中之一開子集 U，而V是C中一更大且包含U之開子集。F為定義於V之解析函數，並使 F ( z ) =...

/2+3/2)}}} 已知超几何函数時，巴恩斯积分如下而得 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( b ) 1 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( − s ) Γ ( c + s ) ( − z...

}}{\Bigg )}} , 其中d为两点间距离， Γ {\displaystyle \Gamma } 为Γ函数， K ν {\displaystyle K_{\nu }} 为第二类贝塞尔函数，ρ与ν则为协方差的非负参数。 带马特恩协方差函数的高斯过程的样本轨道是 ⌊ ν − 1 ⌋ {\displaystyle...

玻尔-莫勒鲁普定理（英語：Bohr–Mollerup theorem）是基础数学分析中刻划Γ函数性质的一个定理，由丹麦数学家哈拉尔德·玻尔和约翰尼斯·莫勒鲁普（Johannes Mollerup）证明。该定理指出在x > 0的区间上，Γ函数 Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t {\displaystyle...

在这里， Γ {\displaystyle {\Gamma }} 表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是 1 π {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}} 。 当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x)也是正的凸函数...

反伽瑪函數 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} （反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。 換句話說，如果反Γ函數以 Γ − 1 ( x ) = y {\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

Heun函数指HeunB、HeunC、HeunD、HeunG、HeunT等五个函数 HeunG函数是下列GeneralHeun方程的解 d 2 w d z 2 + [ γ z + δ z − 1 + ϵ z − a ] d w d z + α β z − q z ( z − 1 ) ( z − a...