解析学におけるハール測度（ハールそくど、英: Haar measure）は、局所コンパクト位相群上で定義される正則不変測度である。ハンガリーの数学者アルフレッド・ハールにその名を因む。 G を局所コンパクト群、B を G のコンパクト集合全体から生成される完全加法族とする。零でない非負値完全加法的集合関数...

0となるような測度。 以下に重要な測度をいくつか掲げる。 数え上げ測度：μ(S ) = S の元の個数。 ルベーグ測度：R 上の区間を全て含む完全加法族の上で定義され、μ([0, 1]) = 1 を満たす、唯一の完備かつ平行移動不変な測度。 ハール測度：局所コンパクト位相群へのルベーグ測度の一般化で、同様の性質を持つ。...

ル測度は平行移動不変だが、完備ではない。 局所コンパクト群で定義されるハール測度はルベーグ測度の一般化である。 ハウスドルフ測度(参考:ハウスドルフ次元)は、Rn 上のn次元以下の集合の測度を決めるのに役立つルベーグ測度の一般化である。 ルベーグ可測でない集合の...

analysis)において、確率測度は配列の中にアミノ酸がある可能性によって定義されることもある。 ボレル測度 ファジー測度（英語版）(Fuzzy measure) ハール測度 リスク中立測度 ^ a b A course in mathematics for students of physics...

の位相に関する閉包がコンパクトであるようなものが存在することを意味する。局所コンパクト群に関して最も特筆すべき事実のひとつは、それが（右不変）ハール測度と呼ばれる自然な測度を本質的にただひとつ持ち、それにより G の十分素性の良い部分集合の「大きさ」を測ることができるということにある。ここでいう「十分素性...

の像である。したがって、加法についてのハール測度の定義により、これらの測度は全て等しい。この図では、n+pZp に対応する四角形を全て同じ面積で描くことにより、このことを表現している。 Zp 上のハール測度 μ で μ(Zp) = 1 となるものをとる。以下、ハール測度と言ったらこれのこととする。μ(n+pZp)...

で定義することができる。しかし一般には可換性が成り立たないことに注意すべきである。 典型的な場合として、 G が局所コンパクトハウスドルフ位相群で λ が左ハール測度（左不変測度）の場合である。右不変測度 ρ に対しても同様の積分 ∫ f ( x y − 1 ) g ( y ) d ρ ( y ) {\displaystyle \int...

コンパクト群はすべてハール測度を持ち、それは左右両方の移動によって不変である（モジュラス関数は正の実数 (R+, ×) への連続準同型でなければならないので 1 である）。言い換えると、これらの群はユニモジュラーである。ハール測度は、円周上の dθ'/2π と同様、容易に確率測度に正規化される。 そのようなハール測度...

測度の標準例となる。あるいはまた、このハール測度がカントール集合を適当な仕方で普遍確率空間とする任意の確率測度の像となることも示せる。 ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える。 カントール集合に属する数をカントール数と呼ぶことにすれば [0,...

に等しい。 ^ 実数体や複素数体は加法群や乗法群に対して局所コンパクトであるので、ハール測度自体を考えることは可能で、得られたハール測度はルベーグ測度の定数倍であるので、単位区間または単位正方形で正規化したハール測度といってもよい。 ノイキルヒ, J. 著、足立恒雄(監修)・梅垣敦紀...

上の標準ノルムは絶対値に他ならない。 実数直線にはルベーグ測度という標準的な測度を入れることができる。ルベーグ測度は R 上のボレル測度（区間の測度は区間の長さであるものとして定められる測度）の完備化として定義することができる。 実数直線上のルベーグ測度は局所コンパクト群上のハール測度のもっとも簡単な例のひとつである。 直線...

数学（特に測度論）におけるラドン測度（ラドンそくど、英: Radon measure）は、ヨハン・ラドンに因んで名づけられた、ハウスドルフ空間 X 上のボレル集合の成す完全加法族上の測度で局所有限かつ内部正則であるものをいう。 位相空間の上に測度が定められるとき、その測度...

の自由アーベル群である。 より一般に、リー群 G の格子 Γ は、商 G/Γ が測度有限となるような離散的部分群である。ただし、測度は G 上のハール測度から内在的に定まる測度とする（この格子の定義は、左不変でも右不変でも、ハール測度の選び方によらない）。G/Γ がコンパクトなときは明らかにこの要件が満た...

X がコンパクト可分空間であるとき、有限符号付ベール測度の空間は、X 上のすべての連続実数値関数の空間の双対であることが、リースの表現定理によって示される。 複素測度 スペクトル測度（英語版） ベクトル測度 リースの表現定理 全変動（英語版） ^...

とは、位相空間として局所コンパクトかつハウスドルフな位相群 G である。数学で現れる群の多くの例は局所コンパクトでありそのような群はハール測度と呼ばれる自然な測度を持っているから局所コンパクト群は重要である。これによって G 上のボレル可測関数の積分を定義することができフーリエ変換や L p {\displaystyle...

実行列に対して不変である。そのような行列は、特殊線型群 SL(2,R)（英語版） として知られている。 すべての局所コンパクト群は、群作用の下で不変なハール測度を持つ。ルベーグ測度はハール測度の例になっている。 準不変測度（英語版） Invariant measures, John Von Neumann, AMS Bookstore...

関数環だと見なせるが、一方でL∞ 関数環からは（零測度集合を無視するかぎり）元の空間の可測集合が「復元」できる。さらにσ-弱連続な線型形式たちはL1関数（あるいはもとの測度に対して絶対連続な複素測度）を表していると考えられる。したがって一般のフォン・ノイマン環は測度空間のある種の変形を表していると考えること...

ネーター環 ネヴァンリンナ理論 フォン・ノイマン＝カルタンの定理 ノイマン境界条件 ピエール・ド・フェルマーに由来するものはピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられたものの一覧参照 パーシヴァルの等式 ハール測度 バーンサイドの定理 ハイゼンベルク代数 ハイネ・ボレルの被覆定理 ハウスドルフ空間 パウリ行列...

数論や表現論の周辺分野でよく用いられる、局所コンパクト群上で定義される不変測度（ハール測度）に関するルベーグ式の積分。ルベーグ積分は、実数全体が加法に関して成す局所コンパクトアーベル群 R 上の不変測度としてルベーグ測度をとった不変積分である（この場合の不変は平行移動不変性を指して言う）。 有界閉区間...

の点での評価（evaluation）であるような一様環。 C*-環：ヒルベルト空間上の有界作用素環の閉 ∗-部分環。 測度環（英語版）：局所コンパクト群上のラドン測度全体の成すバナッハ環で、二つの測度の積は測度の畳み込みで与えられる。 冪級数を介して定義されるいくつかの初等関数は、任意の単位的バナッハ環において定...

lattices) の研究が始められ、今もなお活発に研究されている。 G が局所コンパクト位相群で μ をそのハール測度とするとき、その離散部分群 Γ が G における格子であるとは、商空間 G/Γ が有限な不変測度を持つときにいう。これは G が単模群で商空間の体積 μ(G/Γ)...

局所コンパクト性の概念は、主に任意のハウスドルフな局所コンパクト群 G がハール測度と呼ばれる自然な測度を持ち G 上の可測函数の積分が定義できるという理由によって、位相群の研究において重要である。実数直線 R 上のルベーグ測度はこれの特別の場合である。 位相アーベル群 A のポントリャーギン双対が局所コンパクトとなる必要十分条件は、A...

クトなハウスドルフ空間であって、なおかつその位相に関して群演算が連続となるものである。G が局所コンパクトアーベル群ならば、G はハール測度と呼ばれる平行移動不変な測度 μ を持つ。また、局所コンパクトアーベル群 G に対して、その位相を指標全体の成す集合 ˆG へ移行することができて、ˆG...

G に対するものへ敷衍することは意味がある。G が局所コンパクトハウスドルフ位相群である場合には、G はハール測度と呼ばれる本質的に一意な左不変可算加法的ボレル測度 μ を持ち、ハール測度を用いて G 上のコンパクト台つき複素数値連続函数全体の成す空間 Cc(G) の上に畳み込み演算を定義することができる。さらに...

{M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)} と表される。 メリン変換は、積分核 xs を用いた、乗法的ハール測度 dxx{\displaystyle {\frac {dx}{x}}} についての積分と考えることが出来る。ここで dxx{\displaystyle...

PSL(2, C), 3次元双曲空間の上半空間モデルの向きを保つ等長変換の群，の離散部分群である． リー群の格子は商空間のハール測度が有限な離散部分群である． 結晶点群 合同部分群（英語版） 算術群（英語版） 幾何学的群論 計算群論（英語版） 自由不連続（英語版） 自由正則集合（英語版）...

を整数全体からなる離散部分群 Z で割った剰余群 R / Z と同型である。 フーリエ級数の理論は、コンパクト群としての 1-トーラス T1 上で定義される、ハール測度に関して自乗可積分な関数の、T1 の指標（1 次元表現）による展開であると解釈することができる。 T1 = S1 は2次元の特殊直交群 S O (...

意味する。プランシュレルの定理の類似は、ユニタリ双対群上の測度であるプランシュレル測度をそれによる直積分をとることと同一視することによって抽象的に与えられる（ポントリャーギン双対性の場合、プランシュレル測度は G の双対群上のあるハール測度に一致するので、従ってその正規化だけが問題である）。一般の...

| x | p f {\displaystyle |x|_{q}:=q^{-v_{p}(x)}=|x|_{p}^{f}} である。これを適当なハール測度による立方体の体積と理解することもある。 ^ オックスフォード英語辞典第2版の最も古い引用は1907年から。もちろん relative value（相対値）と対照を成す語としても...

h\vert ^{r})^{1/r}} とも書ける）。 事実として、ℝd は局所コンパクトアーベル群（英語版）、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。 p, q > 1 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 cp,q < 1...

Lg は左変換である。この系として、すべてのリー群は向き付け可能であることが分かる。リー群の体積形式はスカラー倍を除き一意的であり、対応する測度はハール測度として知られている。 すべてのシンプレクティック多様体（あるいは、実際すべての概シンプレクティック多様体（英語版）(almost symplectic...