数学書『原論』（げんろん、古希: Στοιχεῖα, ストイケイア、英: Elements）は、紀元前3世紀ごろに古代エジプトのアレクサンドリアの数学者エウクレイデス（その英語読みがユークリッド）によって編纂されたと言われる数学書。『幾何学原論』、ユークリッド『原論』、ユークリッド...

ユークリッド幾何学（ユークリッドきかがく、英: Euclidean geometry）は、幾何学体系の一つであり、古代エジプトのギリシア系・哲学者であるエウクレイデス（ユークリッド）の著書『原論』に由来する。 古代エジプトや古代ギリシャなどでは盛んに幾何学が研究されていた。...

パピルスに記録されたユークリッド原論の断片。 原論の著者とされるユークリッド。 とくにピタゴラスは後のギリシャ数学者達に影響を与え、ユークリッドもその一人であった。自明な少数の原理(公理など)から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、ユークリッドの手により『原論...

エウクレイデス ユークリッド アレクサンドリアのエウクレイデス（古代ギリシャ語: Εὐκλείδης, Eukleídēs、ラテン語: Euclīdēs、英語: Euclid（ユークリッド(欧骨栗姪)）、紀元前3世紀?）は、古代エジプトのギリシャ系数学者、天文学者とされる。数学史上の重要な著作の1つ『原論...

ユークリッドの幾何学は、至る所曲率0の世界の幾何であることから、双曲・楕円に対して放物幾何学と呼ぶことがある。平易な言葉で表現するならば、「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。 ユークリッドの著した『原論』(Elements)...

の辺が他方の角 θ2 の内部にあれば、θ1 < θ2 であると定義する。すなわち、角の大小関係として劣角の角度の大小関係を採用したことになる。 ユークリッドの著作『原論』では第1巻の定義8において、「互いに交わる2つの線 (line) の傾き (inclination)」（引用文献のままの表現ではない）と定義されている。"傾き"...

\epsilon _{2},\epsilon _{3}\phi )} のxyz座標を偶置換した 12個 正十二面体を内接立方体から構成する方法がユークリッドの『原論』第13巻に記されている。一松信はこれを「立方体に屋根をかける」方法と呼んでいる。 これとは逆に、正十二面体を外接立方体から立方体の12の稜...

ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準として区別していた。 以下にいくつかの公理の例を示す。 命題 P が成立するなら、命題「PまたはQ」も成立する。 2つの点が与えられたとき、その2点を通るような直線を引くことができる（ユークリッド幾何学）。...

ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線公準）に対して、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線...

0 になった時の除数が a と b との最大公約数となる。 明示的に記述された最古のアルゴリズムとしても知られ、紀元前300年頃に記されたユークリッドの『原論』第 7 巻、命題 1 から 3 がそれである。 (問題) 1071 と 1029 の最大公約数を求める。 1071 を 1029 で割った余りは...

59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,… 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のエウクレイデス（以下ユークリッド）の著書『原論』で既に証明されていた。そこでの証明は、背理法により次のようになる： 『素数全体は有限個と仮定して、全ての素数の総乗に1を足した数をNと...

い（交わらない二直線は、それらが同一平面上にないならばねじれの位置にあるという）。 平行線はユークリッド原論における平行線公準の主対象である。 平行性は第一義にはアフィン幾何学の性質の一つであり、ユークリッド幾何学はその種の幾何学の特別な実例である。その他の幾何学においては、例えば双曲幾何学などでは...

と経験論の総合が行われたという見方がなされている。 大陸合理主義のルーツは、スコラ学、ひいてはアリストテレス（の『オルガノン』（論理学））や『ユークリッド原論』（数学・幾何学）にある。アリストテレスは、「蓋然的」な要素を排除した、「真にして第一の前提」（第一原理）から演繹的に構築される、厳密に形式化...

記号の初出は1659年のヨハン・ラーン（英語版）「代数」で∵も∴も「ゆえに」の意味で用いた。18世紀には「なぜなら」の意味では使わなかったが、1827年ケンブリッジ大学編集「ユークリッド原論」で「なぜなら」に使い分けるようになったと言われる。 証明などで使用される。 平面上の2本の直線がOで交わるとき、Oに重ならない2本の...

三角形に対するピタゴラスの定理」といえる。 ユークリッド原論の第2巻命題12では、△ABC を γ が鈍角の鈍角三角形としたとき c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ が成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用...

 59. ^ 國方 2014, p. 227. ^ 山口 2007, p. 367. ^ 廣川 1980, p. 266f. ^ 斎藤憲『ユークリッド『原論』とは何か 二千年読みつがれた数学の古典』岩波書店〈岩波科学ライブラリー148〉、2008年。ISBN 978-4-00-007488-9。8;30;69頁。...

しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる（参照：星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形）。 ユークリッド『原論』第13巻で、球に内接する5つの正多面体の構成が論じられ、最後に、「いま述べた五つの図形以外に，等辺等角で互いに等しい図形にかこまれる他の図...

が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。 完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀ごろのユークリッドである。彼は『原論』（第9巻、命題36）で、「2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1) は完全数である」ということを証明した。2n − 1...

空間 空間の研究は幾何学と共に始まる。初めは、それは身近な三次元におけるユークリッド幾何学や三角法であるが、後にはやはり、一般相対性理論で中心的な役割を演ずる非ユークリッド幾何学に一般化される。長い間未解決だった定規とコンパスによる作図の問題は、最終的にガロア理論によって...

う語が意味するものは、日時計において影を作るための直立の棒であり、垂直を暗示するため、L字形の部品に対して用いられることとなった。 エウクレイデス『原論』の第2巻では、正方形のみならず平行四辺形に対して、大きな平行四辺形の頂点から相似の平行四辺形を切り取ってできる平行六辺形を表す言葉に拡張してグノー...

平行線公準（へいこうせんこうじゅん）とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれている。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。...

などの公理（原論では公準）を満たす。 もちろん他の無定義述語や定義された述語に関する公理も含めてユークリッド幾何学が形成されるのである。 ユークリッド幾何学についての詳細はユークリッド原論などを参照されたい。 文書などに点を記載する場合は、面積を持った塗りつぶされた円やXといった記号が使われ...

ユークリッドの原論に見られる。ユークリッド幾何学においては、図形は定木とコンパスによって作図され、点、直線と円、また平面や球、あるいはそれらの部分から構成される。 1872年、クラインによって提出されたエルランゲン目録は、それまでの古典的なユークリッド幾何学、非ユークリッド...

3、丸善出版 ISBN 978-4-62106-336-1 難波誠訳、幾何学Ⅰ現代数学から見たユークリッド原論、丸善出版 ISBN 978-4-62106-236-4 難波誠訳、幾何学Ⅱ現代数学から見たユークリッド原論、丸善出版 ISBN 978-4-62106-565-5 ^ 那須 弘和, Robin Hartshorne:...

彼は紀元前4世紀ごろに天動説を唱えた。円錐の体積は、同じ半径、同じ高さの円柱の体積の3分の1になることを証明した。これらの成果は、ユークリッドの著書ユークリッド原論に記載された。 天文学者としては、地球球体説を採用し、また地球を中心に他の天体がその周りを回る天動説の立場に立った。彼によると、他の...

ウマル・ハイヤームは12世紀の詩人、数学者で、『ユークリッドにおける困難に関する議論』でユークリッド原論の不備、特に平行線公理について述べ、その結果、解析幾何学および非ユークリッド幾何学の基礎を築いた。また、三次関数の一般的な幾何学的な解法を考案した。彼はまた、暦...

は a または b の少なくとも 1 つを割り切る。 この性質は整数論の基本定理を証明する鍵となる 。 ユークリッドの補題の名は、古代ギリシアの数学者アレクサンドリアのエウクレイデスの著作『原論』第7巻の命題30で示されたことによる。 たとえば、p = 19、a = 133、b = 143 の場合、ab...

中村幸四郎訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2005年12月、ISBN 4-480-08953-5、233-242頁） 中村幸四郎「『原論』の解説」（『ユークリッド原論——縮刷版——』中村幸四郎、寺阪英孝、伊東俊太郎、池田美恵訳、共立出版、1996年6月、ISBN 4-320-01513-4、489頁）...

のいくつかの性質（整除性）、アルゴリズム（ユークリッドの互除法など）、数論におけるアイデアにおいて鍵となる。 自分自身と 1 以外の約数を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を素数という。素数が無限に存在することの証明はエウクレイデスの『原論』に載っている。小さい方から列挙すると次の通りである。...

ユークリッド 1971, pp. 225–226, 第9巻、命題36. ^ 和田 1981, p. 192. ^ a b 和田 1981, p. 193 ^ Theorem 1, Erdős & Shoray 1976 ^ 『原論』 第9巻, 命題36. (pp. 225–226, ユークリッド 1971)...

）のエジプトやギリシアや中国では、そのような問題は幾何学的に解かれていた。例えば、「リンド数学パピルス」、エウクレイデスの『ユークリッド原論』、『九章算術』などである。『原論』に代表される古代ギリシアにおける幾何学では、個別の問題を解くだけでなくより一般化した解法の枠組みを提供していたが、それが代...