微积分中，函數 f {\displaystyle f} 的二階導數（英語：second derivative或second order derivative）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法（英语：Leibniz...

0。這兩個過程未必交換（參見極限運算的交換）：看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的，這類例子屬于實分析中的精細理論，逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候，二阶导数值可以在任意点集中的改变，只要Lebesgue测度为 0 {\displaystyle...

它的導數 f ′ {\displaystyle f'} 在某區間是單調遞減的， f {\displaystyle f} 就是凹的：一個凹函數的斜率單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零斜率的存在。） 如果一個二次可微的函數 f {\displaystyle f} ，它的二階導數...

) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} 定義為導數原始極限表達式的簡記，而非另一種自動合法的導數定義。但如果存在 r > 0 {\displaystyle r>0} ，使 f {\displaystyle f} 在 ( a...

當處於穩定平衡的物體發生運動時，會使其質心抬高，相反地，當物體運動造成質心抬高就會形成穩定平衡。 處於稳定平衡的物體，其勢能的一階導數為零，且二階導數為正，勢能處於極小值。 即與穩定平衡相反的狀態，指一個平衡處於相對不穩定的狀態。不穩平衡表示一個物體從平衡的位置運動短距離，接著無法回到原來...

導數 ∂ f ∂ x {\displaystyle \partial f \over \partial x} 和 ∂ f ∂ y {\displaystyle \partial f \over \partial y} 會為零，且二階導數的海森矩阵會有正值及負值的特徵值。...

Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7.  相对于全导数，在其中所有变量都允许变化 达朗贝尔算子 复合函数求导法则 旋度 方向導數 散度 外导数 梯度 雅可比矩阵 拉普拉斯算子 二階導數的對稱性 三乘积法则，又称为循环链式法则。...

方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。 f : U ↦ R {\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} } ，...

function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數 f {\displaystyle f} 為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數 f ″ {\displaystyle f''} 在整個定義域上非負。直觀理解，凸函數的圖像形如開口向上的杯...

若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。 拐点的必要条件：设 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内二阶可导， x 0 ∈ (...

依照此模型，輸入 u {\displaystyle {\textbf {u}}} 是輸出 y {\displaystyle {\textbf {y}}} 的二階導數，因此名為雙重積分器。 將上述狀態空間的輸入輸出方程式作拉氏變換，可以得到其傳遞函數為 Y ( s ) U ( s ) = 1 s 2 . {\displaystyle...

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数，求极值的一种方法是求驻点（亦称为静止点，停留点，英語：stationary point），也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正，那么这个点就是局部最小值；如果二阶导数为负，则是局部最大值；如果为零，则还需要进一步的研究。 一般地，如果在驻点处的一阶、二阶...

检测，它们的绝大部分可以划分为两类：基于查找一类和基于零穿越的一类。基于查找的方法通过寻找图像一阶导数中的最大和最小值来检测边界，通常是将边界定位在梯度最大的方向。基于零穿越的方法通过寻找图像二阶导数零穿越来寻找边界，通常是Laplacian过零点或者非线性差分表示的过零点。...

以下的列表列出了许多函数的导数。f 和g是可微函数，而别的皆为常数。用这些公式，可以求出任何初等函数的导数。 線性法则 d ( M f ) d x = M d f d x ; [ M f ( x ) ] ′ = M f ′ ( x ) {\displaystyle {{\mbox{d}}(Mf) \over...

二階偏導數組成的方陣，由德國數學家奧托·黑塞引入並以其命名。 假設有一實值函數 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,} ，如果 f {\displaystyle f\,} 的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續，那麼函數...

其他點的極值，更正式地，在幾何學中會將曲線中曲率的一階導數為零的點稱為曲線上的頂點，而這個點通常會是曲線中的區域極值，如局部最大值或局部最小值，部分的文獻會將曲線的頂點更具體地定義為曲線的局部曲率極點。然而也有可能存在一些特殊情況，例如二階導數為零或者曲率為常數等狀況。 除了圓形，其他的圓錐曲線皆可以定義出頂點。...

物理学上，位置的高階導數，是位移对时间的四階以上對時間的导数；一阶、二阶、三阶、四阶导数分别称为速度、加速度、加加速度、加加加速度……。在英語中，位移对时间的四阶，五阶，六阶导数有时候有点滑稽地被稱为 "Snap," "Crackle" and "Pop"（英语：Snap, Crackle, and...

calculus）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。 微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的導數可以說明函數在此輸入值附近的變化率。尋找導數...

定宽曲线是凸集。 在度量幾何中，琴生不等式（Jensen's inequality）為凸集給出一個最健全的解釋，而不必牽涉到二階導數： 假設S{\displaystyle S}為在實或複向量空間的集。若對於所有x,y∈S{\displaystyle x,y\in S}和所有t∈[0...

28。移動的方式可以進行一輪牛頓法，來取新的測試點位置，由於知道P(x)−f(x)的一階及二階導數，因此可以大略計算測試點要移到哪裡才能使誤差函數的微分為零。計算多項式P(x)的一階及二階導數並不困難，但雷米兹演算法需要可以計算f(x)的一階及二階導數，而且需要很高的精度，其精度需求要比雷米兹演算法輸出期望的精度要高。...

零開始的編號不會造成混淆；例如函數的第零階導數是進行零次微分獲得的，亦即函數本身。對應於不屬於該序列，但以這樣子命名法在其之前面的元素，或不妥當：所謂「第零階」的導數實際並非導數。然而，正如一階導數在二階導數之前，因此第零階導數（或原始函數本身）也在一階導數之前。...

邊緣」，而且在彎曲的邊緣，定位誤差可能很嚴重。現今有更好的邊緣檢測方法，例如基於搜索梯度大小的局部方向性最大值的坎尼算子，或基於搜索與梯度方向上的二階導數相對應的微分表達式的零交越的微分方法（這兩種操作之前都有一個高斯平滑步驟）。 Marr, D.; Hildreth, E. Theory of Edge...

\cdots ,{\frac {dy}{dx}},y\right)=0} 常微分方程常依其階數分類，階數是指自變數導數的最高階數，最常見的二種為一階微分方程及二階微分方程。例如以下的贝塞尔方程： x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y =...

麦克斯韦关系式是热力学中的一套方程，可以从热力学势的定义推出。麦克斯韦关系式是热力学势的二阶导数之间的等式的陈述。它们可以直接从二元解析函数的高阶导数与求导次序无关的事实推出。如果Φ是一个热力学势， x i {\displaystyle x_{i}} 和 x j {\displaystyle x_{j}}...

L}{\partial u'}}\right)=0} 此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程，而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。 例如最速降線問題，求最小化以下積分之曲線： ∫ 0 1 1 + y ′ 2 y d x {\displaystyle \int...

當通脹預期越高，投資人對未來加息的期望越高，長年期的收益率便會上揚以補償利率風險。此時收益率曲線的斜率增加，甚至出現向上翹（即二階導數為正）的情況。相反，當通脹預期下降，收益率曲線的斜率便會跟隨下降，甚至向下翹（即二階導數為負）。向下翹的收益率曲線也暗示著通脹將在一段日子後趨緩。通常來說，經濟復甦初期的收益率曲線會比較陡峭...

}}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}} 此函數在(0, 0)並不可微，但其所有偏導數及方向導數在該點皆存在。以下是一個連續的例子： f ( x , y ) = { y 3 / ( x 2 + y 2 ) if  ( x , y ) ≠ (...

热力学上的“材料性质”一词指某种给定材料的内禀性质，它们多与热力学势的二阶偏导数有着直接联系。对于一个简单的单组分系统，常见的材料性质有： 压缩率（或其倒数体积弹性模量） 等温压缩率 β T = − 1 V ( ∂ V ∂ P ) T = − 1 V ∂ 2 G ∂ P 2 {\displaystyle...

通过更仔细地定义函数空间，泛函导数的定义可以更准确、正式。例如，当函数空间是一个巴拿赫空间时, 泛函导数就是著名的Fréchet导数, 而这在更一般的局部凸空间上使用加托導數。注意，著名的希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例。更正式的处理允许将普通微积分和数学分析的定理推广为泛函分析中对应的定理，以及大量的新定理。 與函數的導數類似，泛函導數滿足下列的性質：（其中...

尖點即為函數f及g之導數為零之點，同時方向導數在切線方向會變號（切線方向之斜率為 lim ( g ′ ( t ) / f ′ ( t ) ) {\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))} ）。尖點是局部的奇點，只牽涉到參數t的一個值，不像自交點牽涉到t的許多值。在某些時候，方向導數...

数学中，弗雷歇导数是在赋范向量空间上定义的导数。这个名称得自法国数学家莫里斯·弗雷歇，通常用于将单个实变量的实值函数的导数推广到多个实变量的向量值函数的情况，并且用于定义变分法中广泛应用的泛函导数。 一般来说，它将导数的概念从实值函数的一维情况推广到赋范空间上的函数。弗雷歇导数应与加托导数相对比，后者是经典方向导数的推广。...