冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是種以类為直觀動機的一阶公理化集合论，它是配上选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of...

ˈlɒjoʃ]），出生於匈牙利的美國籍猶太人数学家，理论计算机科学与博弈论的奠基者，在泛函分析、遍历理论、几何学、拓扑学和数值分析等众多数学领域及電腦科學、量子力學和经济学中都有重大貢獻。 冯诺伊曼从小就以过人的智力与记忆力而闻名。冯诺伊曼一生中发表了大约150篇论文，其中有60篇纯数学论文，20篇物理学...

由集合和真類構成：這類系統包括馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論，是設計生成同 ZFC同樣結果的集合論公理系統，但只有有限數目的公理而不使用公理模式。單論只涉及集合的內容，此理論的強度和ZFC相當。另外比ZFC強的Morse-Kelley集合論（英语：Morse-Kelley...

在集合論及其數學應用中，類是一組集合（或其他數學物件）所構成的整體。有些類是集合（例如由所有偶數構成的類），但有些則不是（如所有集合所構成的類），不是集合的類被稱之為真類（英語：Proper Class）。有些公理化集合论是以類為出發點來定義集合的，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论。...

set theory topics 模型論 Morse-Kelley set theory 樸素集合論 新基礎集合論 Simple theorems in the algebra of sets 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論 Zermelo-Fraenkel 集合論 佐恩引理 公理化數學 ZFC系統無法確定的命題列表...

策梅洛-弗兰克尔集合论是现代数学集合论事实上的标准公理。 他们可以很容易的应用于类似的理论，如分体论 (逻辑学)。 不含选择公理时简写为ZF。 外延公理 空集公理 配对公理 并集公理 无穷公理 替代公理 幂集公理 正则性公理 分类公理 参见 策梅洛集合论。 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论...

“弱”形式：每個由非空集合組成的类都有一个选择函数。 V \ { ∅ }有一个选择函数(这里的 V 是冯·诺伊曼全集(由所有集合組成的类))。 存在一個 V 的良序排序。 V 和由所有序數組成的類之間存在一個對射。 选择公理 大小限制公理 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论 Morse-Kelley 集合论...

F)\Rightarrow x=y])].} 这个公理由冯·诺伊曼提出。它蕴涵了分类公理模式、替代公理模式和全局选择公理。大小限制公理蕴涵全局选择公理是因为序数的类不是集合，因此有从全集到序数们的单射。所以集合的全集是良序的。 全局选择公理 大小限制 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论 Morse-Kelley 集合论...

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 哥德尔...

论。它不同于康托尔最初的定义。 集合不能用任何任意的逻辑上可定义的概念来独立的定义。它们必须被“分离”为已经“给出”的集合的子集。他说这消除了矛盾性的想法如“所有集合的集合”或“所有序数的集合”。 策梅洛的论文因第一次提及康托尔定理而著名。它严格的凭借了集合论的概念，因此不完全同于最初的康托尔对角论证法。...

集合，尽管可以证明其存在，但可能无法详细、描述性地构造出。因此，当一个结论依赖于选择公理时，有时会被明确地指出。 ZFC一般由一阶逻辑写出，实际上包含了无穷多个公理，因为替代公理实际上是公理模式。理查德·蒙塔古证明了ZFC和ZF集合论二者都不能用有限个公理来公理化。在另一方面，冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（Von...

在集合論中，一個真類稱為半集合，當且僅當其包含在一個集合中。 半集合的理論最早由捷克數學家彼得·沃彭卡（英语：Petr Vopěnka）和彼得·哈耶克（英语：Petr Hájek）於1972年提出的，在馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論（NBG）的基礎上作出了變化；但在標準NBG中，分離公理是不允許半...

EMU （页面存档备份，存于互联网档案馆）有很多人仍然在为选择公理和它的推论而乐此不疲地工作。如果你有兴趣了解更多内容，请参考这个网站。 数学主题 集合论 佐恩引理 良序定理 吉洪诺夫定理 策梅洛-弗兰克尔集合论 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论 全局选择公理 可数选择公理 连续统假设 排中律 直觉类型论...

在纯数学中，朴素集合论是探討数学基础時，用到的幾個集合論中的一個，朴素集合论主要是將用一般語言的形式處理集合問題，依赖於把集合作为叫做这个集合的“元素”或 “成员”的搜集（collection），未有形式化的理解。和用公理定義而產生的公理化集合论不同。 而公理化集合论...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，替代公理模式（英語：axiom schema of replacement）是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的一个公理模式，它本质上断言一个集合在一个映射（泛函谓词）下的像也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。 假定 P 是一个雙变量谓词，对于任何集合...

cardinal）的存在性，但假設兩者皆存在，則首個巨大基數小於首個超緊基數。 大基數可放在冯·诺伊曼全集 V {\displaystyle V} 理解。冯·诺伊曼全集是將冪集運算（將某集合的所有子集組成集合）超限疊代而得。無大基數的模型經常可視為有大基數的模型的子模型。例如，若有不可達基數，則在首個不可達基數...

{\displaystyle A} 的公理的公理系統中證明的。 馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論的類存在性定理（class existence theorem）說對於任意量詞僅及於集合的公式，總存在一個包含集合的類滿足這公式。 皮亞諾公理之類的系統的一致性證明。 元數學 使用-提及區別 Geoffrey...

这个悖论以德國數學家格奥尔格·康托尔命名，他在1899年（或在1895年到1897年之间）首先提出了它。像多数数学悖论一样，它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在朴素集合论中的确是悖论，從而证实了这个理论对数学發展的需要是不充足的。在其後的各個公理化集合論中，這個悖論已經被解決。...

尔集合论中有着等价的可证明性。 对定理的最初证明的解释请参见哥德尔完备性定理的最初证明。 在现代逻辑课本中，哥德尔完备性定理通常使用Leon Henkin的证明而不是哥德尔最初的证明。 紧致性定理 可靠性定理 哥德尔定理 哥德尔不完备性定理 模型论 Kurt Gödel, "Über...

數學集合论中，序數（ordinal number，ordinal）是自然數的一種擴展，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序结构的無窮集進行分類。 自然数可以用来做两件事：描述一个集合...

集合论有瑕疵以至于并不实用。希尔伯特的学生赫尔曼·外尔站在对手布劳威尔一边，认为对无穷概念的过多研究意义不大，甚至是作茧自缚。希尔伯特认为外尔等人对发展集合论的保守观念会削弱数学。 阿尔伯特·爱因斯坦将这场争论称为“蛙鼠之争”。 1943年，心情忧郁的希尔伯特在哥廷根去世。他死前感叹哥廷根大学的衰落：“数学？什么都没有了！”。...

_{k=0}^{\infty }V_{k}=V_{\omega }} 。 继承有限集合是冯·诺伊曼全集的子类。它是把集合论公理中的无穷公理替代为它的否定公理得到公理体系的模型，因此证明了无穷公理不是其他集合论公理的推论。 注意有可数多个继承有限集合，因为 V n {\displaystyle V_{n}} 对于任何有限的...

在数理逻辑中，新基础集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因构想出來作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年於《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此条目大多是在談论NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要变体。 改进版本的类型论...

证明论和数学构成主义 递归论 有时候计算复杂性理论也会被认为是数理逻辑的一部分。 每个分支都有着重研究的方向,但是很多结论是共享的,分支和分支之间的界限不是非常严格。 比如哥德尔不完备定理不仅仅是证明论和递归论的重大成果,它还直接影响了模型论中的勒布定理(Löb's theorem). 因为都基于公理化集合论...

一般來講，可替代的集合论（an alternative set theory）是指建立集合概念的其它数学方法。它的正是作為標準集合論的替代而出現的。 一些可替代的集合论： 半集合理论 粗集合理论 模糊集理论 新基础集合论 (NF) 正集合论 狹義地，可替代集合論（the Alternative Set...

势，也称浓度（英語：Cardinality）在數學裡是指如果存在着从集合A到集合B的双射，那么集合A与集合B等势，记为A~B。一個有限集的元素個數是一個自然數，势標誌着该集合的大小。对于有限集，势为其元素的数量。比較無窮集裡元素的多寡之方法，可在集合論裡用集合的等勢和某集合的勢比另一個集合大這兩個概念來達到目的。 設 A {\displaystyle...

集合论之典範）被假設為相容的前提下，以下的數學命題被證明了與ZFC系統彼此獨立。與ZFC獨立（有時稱為在ZFC中不能確定）乃指該命題不能從ZFC的公理出發而被證明或證否。 1931年，库尔特·哥德尔證明了第一個ZFC獨立結果，其為「ZFC本身之相容性，乃獨立於ZFC」（哥德尔不完备定理）。...

論和同倫論。「抽象代數」也發展出群論、環、體和伽羅瓦理論。 此列表可以擴展至包含大多數的數學領域，如公理化集合論、測度論、遍歷理論、機率論、表示理論和微分幾何等。 皮亞諾公理是一階算術最廣被使用的「公理化」。這套公理的強度足以證明許多數論中重要事實，以及允許哥德爾建立他著名的哥德爾不完備定理。...

在数学学科集合论中，力迫是保罗·寇恩（Paul J. Cohen）发明的一种技术，用来证明与策梅洛-弗兰克尔公理有关的一致性和独立性结果。它在1962年首次被用来证明连续统假设和选择公理对策梅洛-弗兰克尔集合论的独立性。实际上在寇恩正式引入力迫法前，它已经被广泛地应用于递归论中。寇恩的力迫法最初是建立在分歧分层（ramified...

\right)=0} 集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。 考慮空集為实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为凡有限集合都是紧致的。...

在數學上，蘇斯林問題是由米哈伊爾·雅科夫列維奇·蘇斯林（英语：Mikhail Yakovlevich Suslin）提出關於全序集合的問題，在1920年提出，這問題在他死後出版。目前已知這問題獨立於標準的集合論公理系統，也就是帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論。梭羅維和滕博姆（Tennenbaum...