在數學裡，投影幾何（英語：projective geometry）研究在投影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同，投影幾何有不同的設定、射影空间及一套基本幾何概念。直覺上，在一特定維度上，投影空間比歐氏空間擁有「更多」的點，且允許透過幾何變換將這些額外的點（稱之為無窮遠點）轉換成傳統的點，反之亦然。 投影幾何...

對偶。而取對偶時也可以使用任意球體，由此產生的對偶多面體形式將取決於球體的大小和位置，隨著球體的變化，對偶多面體形式也會隨之變化。 這個對偶的概念和射影幾何中的對偶相關。 這些規則能一般化到 n {\displaystyle n} 維空間，以定義出對偶多胞形。多胞形的頂點能對應到對偶者的 n...

在數學中，有限幾何是滿足某些幾何學公理，但僅含有限個點的幾何系統。歐氏幾何並非有限，因為它必包含一條歐氏直線，其上的點一一對應於實數。 有限幾何系統可以依維度分類，為簡單起見，以下僅介紹低維度的情形。 有限平面幾何可以分為仿射與射影兩類。在仿射空間中可以探討線的平行性，射影空間則否。 定義. 仿射平面是一個非空集...

对偶性（英語：duality）在几何中是对射影平面中的点和线在定义和定理中对称性这一概念的形式化。 对于对偶性主题有两种方法，一种是通过语言，另一种是通过特殊映射的更实用的方法。这些是完全等价的，并且任何一种处理都以所考虑的几何形状的公理化版本为起点。语言描述对偶为： 投影平面 C 可以根据点集 P、线集...

幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其又可以歸類為半多面體，也因此這個多面體的對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點。特別地，這個多面體的五複合體的對偶多面體是一種星形二十面體，但由於其頂點落在無窮实射影平面而並未收錄於《五十九種二十面體》中，因此被描述為「遺失的星形二十面體」。...

非交換幾何（英語：Noncommutative geometry，简称NCG）為數學的分支領域，內容為非交換代數（英语：noncommutative algebra）的幾何方法，以及由函数的非交换代数局部呈现的空间的构造。非交換代數是一種結合代數，而乘積不是交換性的，亦即xy{\displaystyle...

四面半無窮星形六面體是四面半六面體的對偶多面體。由於四面半六面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點。 在這樣的結構下，四面半無窮星形六面體中心處有4個頂點，位於立方體內嵌正四面體的4個頂點，並由這4個頂店連接3個位於無窮实射影平面上的無窮遠點。...

無窮星形多面體是指部分頂點落在無窮實射影平面上的星形多面體。通常若一個多面體有部分的面通過整體幾何中心，則其對偶多面體將會變為無窮星形多面體。所有半多面體的對偶多面體都是無窮星形多面體。無窮星形多面體的概念由溫尼爾在其著作《對偶模型》中提出，並提出了一種使用無限高、雙向延伸的柱體組合來具象化這類立體。...

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有： 立方體半形與皮特里四面體拓樸同構，其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有： The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]...

射影平面上生成的曲面與羅馬曲面（英语：Roman surface）類似。 四面半六面體的對偶多面體稱為四面半無窮星形六面體，有時稱為三維瑞士十字（3D Swiss cross）。由於四面半六面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影...

幾何維度為2時，總是必須提及其例外。 區組設計 組合設計 重合結構 投影幾何 实射影平面 非笛沙格平面 切触结构 在更形式的定義中，會指出「點、線及重合關係」為基礎概念（未定義名詞）。此一形式的觀點在瞭解投影平面內對偶性這個概念時是很必要的。 Baez (2002)...

根據核殼層結構論文，其指出這種結構有2個頂點、1條邊和0個面，依照對偶多面體的定義，面和頂點將交換，其對偶多面體將會存在0個頂點、1條邊和2個面，這種結構可以視作是一種多邊形二面體的球面鑲嵌，由一條邊將球面分割成2個面，但不存在頂點，因此其面可以視為是一種0個頂點和1條邊組成的零角形。 此幾何結構在施萊夫利符號中表示為空白，即空字串。...

幾何中心，因此其對偶多面體是一個位於实無窮射影平面的幾何結構。 五個半刻面立方體依照五複合立方體的組成方式形成的複合多面體稱為五複合半刻面立方體，或五複合立方半菱形十二面體，其對偶多面體為五複合立方半無窮星形菱形十二面體，為一種位於实無窮射影平面的星形二十面體。 八面半八面體...

在数学领域中，对偶一般来说是以一对一的方式，常常（但并不总是）通过某个对合算子，把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构：如果A的对偶是B，那么B的对偶是A。由于对合有时候会存在不动点，因此A的对偶有时候会是A自身。比如射影几何中的笛沙格定理，即是在这一意义下的自对偶。 对偶...

八面體半形是一個不可定向的幾何結構，由四個面、六條邊和三個頂點組成，其中4個面都是三角形，每個頂點都是4個三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用{3,4}3表示。八面體半形的皮特里多邊形同樣為三角形，因此八面體半形的皮特里對偶同樣為八面體半形，是一個自身皮特里對偶的多面體。 八面體半形的對偶...

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何...

K_{6}} 完全圖，即有著六個頂點的完全圖，因此從圖論的角度來看，二十面體半形可以視為是嵌入於實射影平面的 K 6 {\displaystyle K_{6}} 完全圖。其對應的對偶圖皮特森圖也對應到了二十面體半形的對偶多面體十二面體半形。 正二十面體可以經過一系列的多面體變換轉變為半正多面體，部分半正多面...

在幾何學中，一面體是多面體的一種，是指僅由一個面構成的幾何結構。一面體在三維普通空間中是不存在的，但能存在於超球或射影平面等其他結構的空間中。 最簡單的一面體是存於球面上的幾何結構，等同於一個沒有二角形分劃的球體，更複雜地，一面體也可以是環面上的正則地區圖。在抽象幾何學中，二面體半形也是一種一面體。...

笛沙格定理（英語：Desargues's theorem）說明：在射影空間中，有六點A、B、C、a、b、c。Aa、Bb、Cc共點若且唯若AB∩ab、BC∩bc、CA∩ca共线。 在射影幾何的對偶性來看，笛沙格定理是自對偶的。 笛沙格定理可以表述如下： 如果A.a，B.b，C.c共点，则 (A.B)∩(a...

数学中，实射影空间（real projective space），记作 RPn，是 Rn+1 中的直线组成的射影空间。它是一个 n 维紧光滑流形，也是格拉斯曼流形的一个特例。 与所有射影空间一样，RPn 是通过取 Rn+1 − {0} 在等价关系 x ∼ λx 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有...

有一个“几何”还是很多个？自欧几里得以来，几何意味着二维（平面几何）或者三维（立体几何）欧几里得空间的几何。在19世纪上半叶，有了一些发展使得这个景象变得复杂了。数学应用要求有四维或者更高维的几何；对传统欧几里得几何的基础的审视已经揭示出平行公理和其他公理的独立性，而且非欧几里得几何已经诞生；而在射影几何中，新的“点”（无穷远点，有复数坐标的点）已经被引入。...

非交换代数几何是非交换几何的一个方向，研究非交换代数对象（如环）的形式对偶的几何性质，以及由它们导出的几何对象（如由沿局部胶合或取非交换叠商）的几何性质。 例如，非交换代数几何通过适当地粘合非交换环的谱，来推广概形，已经取得了部分成功。非交换环推广了交换概形上的交换正规函数环。在传统（交换）代数几何...

交点计数与上同调的联系源于庞加莱对偶性 曲线、映射等几何对象的模空间的研究，有时通过量子上同调进行。量子上同调、格罗莫夫-威滕不变量和镜像对称的研究在克莱门斯猜想中取得了重大进展。 枚举几何与相交理论关系密切。 19世纪末，枚举几何在赫尔曼·舒伯特手中得到了惊人的发展，他为此引入了舒伯特积分，其在更广泛的领域具有基本的几何...

代數幾何中，代數簇的周環（得名於周煒良）是簇作為拓撲空間的上同調環的替代品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下...

3}代表正常的正十二面體，因此用{5,3}5符號來表示十二面體半形。十二面體半形的皮特里多邊形為五邊形，且皮特里對偶仍為十二面體半形，是一種自身皮特里對偶的多面體。 要構造十二面體半形可透過將正十二面體沿最接近赤道的邊（或沿皮特里多邊形）將其分割成兩半，取其中一個半球，並讓其保持原...

切赫在1912年進布拉格查理大學學習數學。因為第一次世界大戰，1915年他被徵召參戰而中斷了學業。1918年回校完成學位，並任教中學。1920年取得博士。 切赫的興趣在射影微分幾何，在1921年至1922年他往意大利向傅比尼學習，還合著一部這方面的著作。他回國後完成任職論文，在布拉格查理大學任私人講師。1923年他被馬薩里...

克萊茵幾何（英语：Klein geometry），爱尔兰根纲领 對稱空間（英语：symmetric space） 空間形式（英语：space form） 马尤厄－嘉当形式 實例 雙曲空間 双曲几何 格拉斯曼流形 複投影空間（英语：Complex projective space） 实射影空间 欧几里得空间...

多面體半形，為一類型的射影多面體，同時也是抽象多面體。其可透過將點對稱的球面多面體（英语：Spherical polyhedron）進行對映映射後得到。多面體半形的面數只有原多面體的一半，而且投影平面上位於邊緣的對角頂點、對角邊、對角面皆視為相同幾何元素。存在半形體的多面體的必要條件為其原像須具備點...

切触几何的根源出现于克里斯蒂安·惠更斯、Barrow和牛顿的著作中。切触变换的理论（也即保持一个切触结构的变换）是索甫斯·李发展的，其目的是双重的，包括研究微分方程（例如勒让德变换）和表述射影对偶性中常见的'空间元素的变换'。 切触几何入门： Etnyre, J. Introductory...

数学上，射影特殊线性群 PSL (2,7)（同构于 GL(3,2)）是一个有限单群，在代数、几何和数论中有重要应用。 它是Klein四次曲线（英语：Klein quartic）的自同构群，也是Fano平面（英语：Fano plane）的对称群。 具有168个元素的 PSL (2,7) 是继交错群...

的面理應具有12個面，每個面由4個邊組成。然而八面半八面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點。一般來說，這樣的立體無法被具象化。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體，在這樣的視覺化方式...