另外亦有著包含任意小角度的旋轉或任意小距離的平移之「連續」對稱群。一個球面O(3)的所有對稱所組成的群即是一種連續對稱群，而通常如此類的連續對稱的群是在李群中所研究的對象。 對歐幾里得群子群的分類會對應到對稱群的分類。 兩個幾何形狀被認為是有著相同的對稱型，若其對稱群為歐幾里得群E(n)（Rn的等距同構群）的共軛群...

旋轉任何一個於x內的向量及偽向量，及反轉任一向量(但無偽向量)，詳述請見物理中的對稱。x的對稱群包含有所有可使所有V內的v，x(v)=h(g,x(g(v)))的g。在此一例子中，一常數函數的對稱群可能會是G的純子群：一常數向量只對繞其方向之軸的旋轉有旋轉對稱，及只有當其為零時才有反轉對稱。...

對稱性是只有旋轉而已，還是亦包括鏡射。其循環群Cn（Zn抽象群類型）由360/n度和其整數倍的旋轉所構成。例如，卐有一對稱群C4，是由0度、90度、180度及270度等旋轉所構成的。正方形的對稱群屬於二面體群Dn（Dihn抽象群類型）的類型，包含和旋轉一樣多的鏡射。圓的無限旋轉對稱表示其鏡射對稱...

旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。 兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。更加地，旋轉群...

在數學裡，連續對稱是觀察如運動等之某些對稱性概念而自然產生出的觀念，和由一個狀態翻轉至另一狀態而不變的鏡射對稱相對。它大量地且成功地被公式化於數學的許多如拓撲群、李群及群作用等概念上。連續對稱在這些公式化的概念中，最實用的是在拓撲群之群作用中的被應用。 最簡單的運動可以視為如三維空間中的歐幾里德群等李群...

E(3)}的子群。 立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。 立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群SO(3){\displaystyle...

旋轉角度為360°的整數倍數，所以，圓球的最低能量態對於旋轉變換不具有不變性，即不具有旋轉對稱性。總結，這物理系統的拉格朗日量具有旋轉對稱性，但最低能量態不具有旋轉對稱性，因此出現自發對稱破缺現象。 大多數物質的相態可以通過自發對稱...

對稱性，對應於180°的旋轉反射）。 以2n = 2×3為例： 「正」直「對稱」的複三方偏三角面體具有3個類似的垂直對稱平面，彼此傾斜60°並相交於鉛直的3倍旋轉對稱軸、3個類似的水平2倍旋轉對稱軸，每個水平2倍旋轉對稱軸垂直於對稱面、点反演對稱中心和鉛直的6倍旋轉反射對稱軸。 偏四角面體...

对称性；如在空間對稱群的哪些變換下，面积或角度會保持不變，就是在研究立体几何的对称性。 抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦，擴展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱...

對稱在所有物理現象中都會守恆，但不久後就發現這個也是錯的。由於CPT守恆的關係，這意味着T對稱（時間反轉）也必須被破壞。CPT定理需要所有物理現象都保有CPT對稱。它假設量子定律和洛侖茲不變性都是正確的。具體地，CPT定理指定，任何有自伴哈密頓算符的洛侖茲不變局部量子場論，都必須要有CPT對稱。...

几何学中，多面体群指柏拉图立体的对称群。 多面体群共三个： 12阶四面体群，正四面体的旋转对称群。它与A4同构。 T的共轭类是： 恒等 4 × 旋转 120°，3阶，顺时针 4 × 旋转 120°，3阶，逆时针 3 × 旋转 180°，2阶 24阶八面体群，立方体和正八面体的旋转对称群。它与S4同构。...

旋转360°不变化的操作，存在于每個分子中。這個元素似乎不重要，但此條件對群論機制和分子分类却是必要的。 這5種對稱元素都有其對稱操作。對稱操作為了與對稱元素作區別，通常但不絕對的，會加上脫字符號。所以Ĉn是一個分子繞軸旋轉，而Ê為其恆等元素操作。一個對稱元素可以有一個以上與它相關的對稱操作。因為...

作為拓撲空間，這個群共有四個連通區：單位區、時間反轉區、空間顛倒區、以及同時出現時間反轉與空間顛倒的區。 龐加萊對稱是狹義相對論的完全對稱，當中包括： 在時間與空間中的平移（即位移），P。它們形成了描述時空中的平移的阿貝爾李群。 空間中的旋轉（它們形成了描述三維旋轉的非阿貝爾李群，其生成元為J）...

在晶体学中，晶体学点群是对称操作（例如旋转、反映）的集合。这些操作以固定的中心向其他方向移动能使晶体复原，因此称为对称操作。对于一种真正的晶体（不是准晶体），点群对应的操作必须能够保持晶体的三维平移对称性。经过它的点群中任何操作之后，晶体的宏观性质依然和操作前完全相同。在晶体的分类中，每一种点群也称为晶类。...

大部分的標準模型在宇稱底下，都呈現宇稱對稱，但弱交互作用卻會破壞這種對稱性。 在任何一維的三維座標系下，P的矩陣的行列式 = -1 ，因此它與一個自轉是不同的。相反地，在一個二維座標系下，兩個在 x , y軸同時進行的變換就不會是一個宇稱變換，而是一個 180° 的轉動。 在旋转...

阿貝爾群的基本定理说明每一個有限生成阿貝爾群都是有限多個循環群的直積。 在二維和三維空间裡， n {\displaystyle n} 折旋轉對稱的對稱群為 C n {\displaystyle C_{n}} ，屬 Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} 抽象群...

對稱群會被降低為其子群，對稱性破缺是以這方式造成了這現象。應用群論來表述，原本的對稱群被降低為其子群，因此，對稱性破缺可以視為原本對稱群與其子群之間的變換關係。從這角度來看，在研究對稱性破缺論題時，幾個研究重點是，會出現哪些子群、這些子群怎樣出現、這些子群出現的先決條件為何？ 1972年，諾貝爾物理學獎得主...

R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。 实正交群和特殊正交群有如下的解释： O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rn的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的對稱群。 SO(n,R)是E+(n)的子群，E+(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n...

prisms），是一種凹多面體，屬於星形多面體，結構是四個三角柱的複合體。這可以被看作是多面體和星形多面體的複合體。此均勻多面體複合體是四個三角柱的對稱排列的，對稱於八面體的三重旋轉對稱的對稱軸。 Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical...

斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。 任意矩陣 A {\displaystyle A} ， A T − A {\displaystyle A^{T}-A} 是斜對稱矩陣。 若 A {\displaystyle A} 是斜對稱矩陣， x {\displaystyle...

维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。 生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转...

群，也就是對稱群。在欧几里得几何中的等距同构中，也有使用「對稱群」一詞，更廣泛的用法是自同构群。 若某一種二元关系，使得每次只要若 a 關係到 b， b 也關係到 a，則此關係稱為對稱關係。例如等於和同餘就是一種對稱關係，以非數學的例子而言，「和……結婚」也是一種對稱關係。 這種對稱...

{\displaystyle n>1} ，群 A n {\displaystyle A_{n}} 是对称群 S n {\displaystyle S_{n}} 的交换子群，指数为 2，从而有 n ! 2 {\displaystyle {\frac {n!}{2}}} 个元素。它是符号群同态 sgn : S n →...

方偏方面體的16個頂點有2個是7個鳶形的公共頂點，另外14個是3個鳶形的公共頂點。 七方偏方面體的對稱性是28階的D7d二面體群。 其旋轉群為14階的D7群。 從D7d群（28階）到D7（14階）的對稱性有一個自由度能將全等的鳶形轉變為具有3種邊長的全等四邊形，稱為扭曲鳶形，其所形成的偏方面體稱為扭曲偏方面體。...

圓群因此會同構於特殊正交群SO(2)。此處有著一個單位複數之乘法的幾何解釋，即為複數平面上的旋轉，並且任何旋轉都可表達成這種形式。 任何大於0之維度的緊緻李群G都會有一個會同構於圓群的子群。這是指以對稱的觀點來思考，一「連續」作用的緊緻對稱群可以被表示成有一作用著的單參數圓子群...

在數學中，拓撲群是群 G 和與之一起的 G 上的拓撲，使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。 拓撲群 G 是拓撲空間和群使得群運算 G×G→G:(x,y)↦xy{\displaystyle G\times G\to G:(x,y)\mapsto...

j)} 元素即是 g i ⋅ g j {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}} 。群是阿貝爾群若且唯若這個表是關於主對角線是對稱的（或說這個矩陣是對稱矩陣）。這是因為對於阿貝爾群， g i ⋅ g j = g j ⋅ g i {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot...

旋转对称群必须是有限群。这个理论的重点在于，并不是所有的有限群都能兼容一个离散的晶格；在任何一个维度上，可兼容群的数量都是有限的。 二维（平面群（英语：wallpaper group））和三维（空间群）的特殊情况在实际应用中最为常用，在这里我们把他们放在一起分析。 2维或3维中的旋转的对称...

在數學中，二面體群 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 是正 n {\displaystyle n} 邊形的對稱群，具有 2 n {\displaystyle 2n} 個元素。某些書上則記為 D n {\displaystyle D_{n}} 。除了 n = 2 {\displaystyle...

数学中，欧几里得群 E(n)，或ISO(n)是n维欧氏空间的对称群。它的元素与基于欧氏距离的等距同构相关，并被称为欧式等距同构，欧式变换或刚体变换。 E(n)的自由度是n(n + 1)/2，因此n = 2维情况下自由度是3，而n = 3维情况下自由度是6。其中，平移对称性贡献了其中n个自由度，而旋转对称性贡献了剩下的n(n...

對稱性在軌形符號（英语：Orbifold notation）被稱為*222222。在考克斯特表示法可表示為[6*,4]，從三個的鏡射線當中移除兩條穿過六邊形中心的鏡射線。在原本六邊形基礎中對所有的兩個頂點加入中垂線則可以限定出一個偏方面體*3322對稱群 ；加入對角線則可以限定出一個*443對稱群...