欧几里得空间是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理在幾何原本中都有所體現。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 ...

空间，而且还研究了除欧几里得距离以外的其他距离。在统计学和优化的某些应用中，有时会使用欧几里得距离的平方而不是距离本身。 使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。 在欧几里得空间中，点x =(x1,...,xn)和...

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。 欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。 数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。...

歐幾里得太空望遠鏡（英語：Euclid）是一個运行中的太空望遠鏡，屬於歐洲太空總署的宇宙願景2015-2025中的中型計畫，並且將與美国国家航空航天局合作進行。該計畫的目標是測繪宇宙中暗物质的大尺度分布結構，並確認暗能量的性質。該衛星的名稱來自古希臘數學家，「幾何之父」欧几里得 。...

非欧几里得几何，简称非欧几何，是多个几何形式系统的统称，与欧几里得几何的差别在于第五公设。 古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设： 从一點向另一點可以引一条直线。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都相等。...

向量空间（或稱線性空間） 赋范向量空间（或稱線性賦范空間） 拓扑向量空间 内积空间 度量空间 测度空间 完備度量空间 欧几里得空间 希尔伯特空间 射影空间 函数空间 樣本空间 概率空间 代数空间 贝尔空间 伯格曼空间 伯克维奇空间 贝索夫空间 卡拉比–丘空间 康托尔空间 柯西空间 丘空间 闭包空间 共形空间 艾伦伯格–麦克莱恩空间...

在数学中，如果欧几里得空间 Rn 的子集是閉集合且是有界的，那么称它是紧致的。例如，在R中，单位区间[0, 1]是紧致的，但整数集合Z不是（它不是有界的），半开区间[0, 1)也不是（它不是闭合的）。 另一個定義方式是如果對於一个度量空間的所有开覆盖，都可以找到有限的子覆盖，則稱此度量空間...

在数学中，赋范向量空间（英語：Normed vector space）是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是： 零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。 一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v...

W 的元素。 一般的说，欧几里得空间 Rn 的定义自齐次线性方程的任何子集都生成子空间。在几何上说，这些子空间是穿过点0的一些点、直线、平面。 给定向量空间V的子空间 U 和 W，则它们的交集 U ∩ W := {v∈V: v ∈ U 且 v ∈ W} 也是 V 的子空间。 证明: 设 v 和 w...

三维空间（也称为三度空間、三次元、3D），日常生活中可指由長、宽、高三个维度所構成的空間，而且常常是指三维的欧几里得空间。在历史上很长的一段时期中，三维空间被认为是我们生存的空间的数学模型。当时的物理学家认为空间是平坦的。20世纪以来，非欧几何的发现使得实际空间...

欧几里得空间，流形上的光滑函數就是欧几里得空间中的光滑函數。欧几里得空间的優勢在于可以進行微分，透過微分流形（differential manifold）的代數關係，可以將欧几里得空间中的微積分搬上光滑流形。切空间也可以理解为在该点和流形相切的欧几里得空间的仿射子空间（affine space）。...

在数学裡，希尔伯特空间（英語：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间...

{A} \cdot \mathbf {A} }},} 這也是向量欧几里得距离的公式。 拓扑学的平面定義為是唯一可收縮（英语：contractible）的曲面。 若從平面中移除任何一個點，剩下的空間仍然是連通空間，但已不是單連通空間。 在圖論中，平面圖是指可以嵌入在平面中的图，也就是圖可以畫在平面...

经典力学中，位形空间（或译组态空间）是一个物理系统可能处于的所有可能状态的空间，可以有外部约束。一个典型系统的位形空间具有流形的结构；因此，它也称为位形流形。 例如，运动在普通欧几里得空间中的单个粒子的位形空间就是R3。对于N个粒子的系统，组态空间就是R3N，或者说它的没有两个位置重叠的子空间...

calcul fonctionnel》首次使用。 賦距空間中最符合人们对于现实直观理解的為三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接這兩點的直线段之长度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離...

数学中，欧几里得群 E(n)，或ISO(n)是n维欧氏空间的对称群。它的元素与基于欧氏距离的等距同构相关，并被称为欧式等距同构，欧式变换或刚体变换。 E(n)的自由度是n(n + 1)/2，因此n = 2维情况下自由度是3，而n = 3维情况下自由度是6。其中，平移对称性贡献了其中n个自由度，而旋转对称性贡献了剩下的n(n...

为同胚，则称X为弧连通空间。 道路连通空间必定是连通空间，反之不一定。 道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。 拓扑空间X称为局部连通的，当且仅当以下叙述之一成立： 空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。 拓扑学家的正弦曲线：在平面欧几里得空间 R 2 {\displaystyle...

欧几里得体系的，所以也就与此探討没有关系。 ——H. S. M. 考克斯特，Regular Polytopes 一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间。 从数学方面讲，普通三维空间...

六維空間 是指任何擁有六個維度的空間，六自由度，並且需要六個數據或坐標來指定該空間中的位置。這些座標可以有無限多種 但最有趣的是更簡單的模型的一些方面的環境。 其中最有趣的是六維歐幾里得空間， 在其之中可構造出六維多胞形以及五維球面。 六維有限空間 以及 雙曲空間同時也被研究，具有恆定的正和負曲率。...

空间的维数要小1。这些观察允许我们形式化反射的定义：反射是欧几里得空间的对合等距同构，它的不动点集合是余维数为1的仿射子空间。 在经历特定反射后不改变的图形被称为有反射对称性。 密切关联于反射的是斜反射和圆反演。这些变换仍对合于有余维数1的不动点的集合，但它们不再是等距的。 给定在欧几里得空间...

会相交的多条直线，或者多个平面彼此互相平行。在欧几里得几何中，由平行公设，一个平面上的直线外指定一个点，就能指定出一条与它平行的直线。在非欧几何中，根据空间曲率的不同，在一条直线外指定一个点可以作多条或零条与它平行的直线。 在三维空间或一般的欧几里得空间中，直线或平面的平行关系视乎其方向向量或法向量...

)，而 x ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}} 表示其共轭转置。 以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式： ‖ x ‖ := x ⋅ x . {\displaystyle \|{\boldsymbol...

在欧几里得几何中，点X关于一个点P的反演是点X*使得P是以X和X*为端点的线段的中点。换句话说，从X到P的向量同于从P到X*的向量。 给P的反演的公式是 x*=2P−x 这里的a，x和x*分别是P，X和X*的位置向量。 这个映射是等距对合仿射变换，它有唯一的一个不动点，就是P。 在奇数维的欧几里得空间中，它不保持方向。它是间接等距同构。...

欧几里得空间化”的一个拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近“局部类似于欧氏空间”。更精确地说，n维流形（n-manifold），简称n流形，是一个拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域，该邻域同胚于n维欧氏空间的一个开集。 流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间...

在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的线段點都落在該點集合中。 區間是實數的凸集。 依據定義，中空的圓形稱為圆（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圆盘（disk），它是凸集。 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。...

plane）是R3中所有过原点直线组成的空间，通常记作RP2{\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}，无歧义时也记为P2{\displaystyle P^{2}}。这是一个不可定向、紧致、无边界二维流形（即一个曲面），它在几何中有基本的应用，但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1，故欧拉示性数也为1。...

特别的，在欧几里得空间（或度量空间）中，考虑集合S及其中的一个点x，如果存在一个包含x的开球，其中不包含S中的其他点，那么x是S的孤点。等价的说，集合S中的一个点x是孤点，当且仅当x不是S的会聚点。 只由孤点构成的集合称为离散集合。欧几里得空间...

奇异矩阵。这不同于下面将介绍的辛矩阵，辛矩阵表示空间的一个辛变换。 如果 V 是有限维的那么维数必须为偶数，因为每个奇数阶斜对称矩阵的行列式为 0。 非退化斜对称双线性形式和非退化“对称”双线性形式，比如欧几里得向量空间的内积，的表现非常不同。欧几里得内积 g，对任何非零向量 v，均有 g(v,v)...

坐标邻域（Coordinate Neighborhood）是拓扑空间中的开集与其在欧几里得空间上的映射的有序对。 当从拓扑空间X{\displaystyle X}的开集U{\displaystyle U}，到m{\displaystyle m}维欧几里得空间Rm{\displaystyle \mathbb {R}...

的情况下甚至不能被定义。） 作为向量空间，实数线是实数域 R（即其自身）上的 1 维向量空间 它具有标准内积，使它成为欧几里得空间。 （这个内积就是普通的实数的乘法。） 作为向量空间，它并不引起注意。实际上是 2 维欧几里得空间首先被作为向量空间进行研究的。 然而，仍然可以说，由于向量空间首先是在 R 上进行研究的，它启示了线性代数。...

{\displaystyle Cl_{X}(S)} 的子集。 在任意空间，空集的闭包是空集。 对任意空间 X，cl(X) = X。 若 X 为实数的欧几里得空间 R，则 cl((0, 1)) = [0, 1]。 若 X 为实数的欧几里得空间 R，则有理数集合 Q 的闭包是全空间 R。也就是，Q 在 R 中是稠密的。 若 X...