正十二面体的，这两种复合多面体中的正四面体实际上是正十二面体内接的正四面体。事实上，正十二面体的对偶——正二十面体可以被看作是半正的扭棱正四面体，拥有正四面体部分对称性。 正四面体是不能独立密铺三维欧氏空间的，尽管它看上去可能以至于亚里士多德声称它的确是可能的。但是，我们可以将一个正四面体...

对称性。正八面体的对称群是Oh（正八面体群），是三维的超正八面体群（英语：Hyperoctahedral group）。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：Td（群阶24），截半正四面体的对称...

正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體，它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号{5,3}所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性（英语：Octahedral...

正十二面體為十複合正四面體的凸包。 十複合正四面體可以視為是五複合正四面體和其手性鏡像的組合。另一方面，十複合正四面體的10個正四面體，亦可以兩兩分成一組，每組為二複合四面體。換句話說這個立體也可以視為是5個二複合四面體的複合體。由於十複合正四面體具備此特性，因此十複合正四面體...

四面體稱為正四面體。四面体也可以依角的類型分為銳角四面體、鈍角四面體、和直角四面體。 四面体是欧几里德单纯形在三维空间中的特例。 四面体是目前已知兩種每個面都與其他所有面相鄰的多面體之一，另外一種是希洛西七面體。 四面体也是锥体的一种。锥体...

symmetry）。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体是五角十二面体的对偶。 正二十面体是正二十面体家族的一员： 作为扭棱正四面体和交错截顶正八面体，正二十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员： 正二十面体在拓扑上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联： 正二十面体...

正方体是一种最特殊的四边形正六面体： 立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体...

4}，考斯特-迪肯符号。同时，它也可被看作是正五胞体反棱柱（即上下两正五胞体呈对偶式排列，再由正五胞体链接1个正五胞体的顶点和另一正五胞体的正四面体胞形成的棱柱），具有更低的对称性D5，对应施莱夫利符号[32,1,1] 。如果我们把其对偶五维超立方体看做低对称性的五维超长方体的话，其亦可被看作是五维的长菱体（英语：rhombic...

diagram）來表示，其對稱性為[3,3,10,1+]，也寫作[3,((3,5,3))]。 七階四面體堆砌是一種由正四面體組成的堆砌，其他胞也由正四面體組成多胞體與堆砌或蜂巢體包含： 無限階三角形鑲嵌 正圖形列表 與多面體的頂點之概念作類比 指與上色之後對稱性較上色之前差 Chapter 10:...

 z}。 正图形最基础的分类是按其维度。 它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。 3种特殊类型的正图形存在于所有维度： 单纯形（正单形） 超方形（正测形） 正轴形（交叉形）...

正十六胞体相交，因此，正十六胞体堆砌的顶点图是正十二胞体。 正十六胞体到三维的正对胞的平行投影有着立方体形的凸包，最近的和最远的（从四维视角来看）正四面体胞被投影成了立方体的内接四面体，正好对应于将正四面体内接于立方体的两种不同方式。在每个这样的内接正四面体周围是4个（非正的）四面体...

正十二面體是對稱性最高的十二面體，由12個正五邊形組成。它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号{5,3}所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性（英语：Octahedral...

體，其具備五角十二面體（黃鐵礦晶型）對稱性。部分文獻將這種立體稱為扭棱八面體（snub octahedron）、扭棱截半四面體（或扭棱四-四面體，snub tetratetrahedron）。部分礦石的晶體結構會結晶成這種形狀。 這個立體是五角十二面體的對偶多面體。 扭棱四面體是一種二十面體...

在化学上，变形四面体构型是一种分子构型，其中有四个键连接到具有具有C2v分子对称性的中心原子上。 当中心原子与四个其他原子和一对孤对电子键合时（价层电子对互斥理论中的AX4E1）。与其他 5 个原子键合的原子（并且没有孤对原子）形成具有两个轴向和三个赤道位置的三角双锥体，但在变形四面体构型中，一个原子被孤对电子取代。...

46°。正如其它维的正单纯形一样，正六超胞体可以被看作是正五胞体的棱锥，即正五胞体棱锥，它由一个正五胞体底面一个与正五胞体5个顶点距离都相等且等于正五胞体棱长的顶点相连而成，正五胞体的正四面体胞与顶点相连成为5个正四面体棱锥（即正五胞体）侧面。 正六超胞体的顶点处有5条棱相交，应此它的顶点图是正五胞体...

对称群，它包含了两个D4对称群，大小是后者的√2倍。正二十四胞体的全部对称性构成了外尔群F4，由与F4的根正交的超平面反射构成，它是一个群阶为1152的旋转反射群。正二十四胞体的纯旋转群群阶为576。如果把正二十四胞体...

對稱性較高的是三角化八面體和鳶形二十四面體等卡塔蘭立體、對稱性較低的是部分詹森多面體的對偶多面體，例如雙四角帳塔反角柱（英语：Gyroelongated square bicupola）的對偶和異相雙四角帳塔柱的對偶。此外要構成二十四面體至少要有14個頂點。 常見的二十四面體中有一些柱體與錐體以及部份的詹森多面體和卡塔蘭立體。...

在幾何學中，五複合正四面體是一種由五個正四面體組合成的幾何圖形，屬於星形二十面體，也是唯一五種正複合體之一，其索引編號為UC5。溫尼爾在他的書中列出了許多星形多面體模型，其中也收錄了五複合正四面體，並將之給予編號W24。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體...

雙三角錐的對偶多面體是三角柱，但詹森多面體中所描述的雙三角錐其對偶多面體不是一個正三角柱，是一種五面體由三個矩形和二個三角形組成。 雙三角錐可以由三角形二面體透過三角化變換構造而來，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體： 詹森多面體 正多面體（柏拉圖立體） 正四面體...

在幾何學中，截角四面體是一種半正八面體，13種阿基米德立體之一，共有8個面、18個邊和12個頂點，是三角化四面體的對偶多面體，可由四面體經過適當的截角，截去四面體的四個頂點所產生的多面體。 若進行更深的截角，甚至截到了中點，則稱為截半四面體，然而此種多面體與正八面體是等價的。 由於截角四面體...

63b^{3}} 五角二十四面體有三種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以度為三的頂點為中心、以度為四的頂點為中心以及以與側邊中點為中心的正交投影。前兩者對稱性對分別應於A2和B2的考克斯特平面。 五角二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性，且具有3種不同的邊長。這種變體...

四面體群對稱性的鏡射線。這6個圓可以分成3組每兩兩一對的正交圓，這三組正交圓，每組在球面上皆可以視為1個正四面形。 四角化立方體有三種高對稱性的正交投影，分別為兩種在頂點上的正交投影以及一種在稜上中點的正交投影。 後兩者的對偶圖其對稱性對應於B2和A2的考克斯特平面（英语：Coxeter...

在幾何學中，十四面體是指由十四個面組成的多面體，而每個面都是正多邊形的十四面體有時稱為半正十四面體。 半正十四面體並不唯一，不像半正五面體、半正七面體只有一個，半正十四面體有四個，分別是截半立方體、截角立方體、截角八面體和正十二角柱。除了半正十四面體之外，十四面體可以是十三角錐、雙七角錐、七方偏方面體、正...

正五胞体，在它的棱处有4个立方体维脊相交，应此它的棱图是正四面体。它有施莱夫利符号{4,3,3,3}，考斯特-迪肯符号，它的对偶多超胞体是正三十二超胞体（Triacontaditeron），也叫五维正轴体（Pentacross，5-orthoplex）。 作为五维的立方形，一个五维凸正多超胞体...

{\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\right)} 鳶形二十四面體有三種從頂點投影的高對稱性正交投影。後兩者的對偶圖其對稱性對應於B2和A2的考克斯特平面（英语：Coxeter plane）。 在文化中，鳶形二十四面體出現在部分藝術創作中，例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作《星星》以及...

內。正多面體的作法收錄《几何原本》的第13卷。在命題13描述正四面體的作法；命題14為正八面體作法；命題15為立方體作法；命題16則是正二十面體作法；命題17則是正十二面體作法。 正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體 判断正多面体的依据有三条 正多面体的面由正多边形构成 正多面体的各个顶角相等 正多面体的各条棱边都相等...

r)]+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性。 1967年時，C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式，發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體。 扭歪多面體 扭歪無限面體 無限面體 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される...

的多面體，有12個頂點和18條棱，可以想象為將正四面體的頂點切去，稱為截角四面體。 三角化四面體可以看做是四半面體對稱性退化的極限： 三角化四面體為正四面體每個面都加上適當高度的角錐所形成的幾何形狀。 而若加入的角錐為正三角錐（正四面體）則會產生正五胞体的展開圖：...

在雙曲幾何學中，截半六階四面體堆砌是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，是三維雙曲空間半正堆砌的一種，由正八面體和正三角形鑲嵌堆砌而成。 截半六階四面體堆砌由正八面體和正三角形鑲嵌堆砌而成，其中正三角形鑲嵌在此處以無限面體的形式存在，其頂點皆位於極限球（英语：Horosphere）（雙曲三維極限圓...

正五胞体是一种四维凸正多胞体，其展开为五个正四面体。正五胞体的投影的形状可以想象成一个双三角锥的两顶点再加一条连线，或者是一个正四面体的四顶点连线至中心，在这里，正五胞体作为正的正四面体面锥出现的。正五胞体有四个交面（等边三角形），十条棱和五个顶点。正五胞体是最简单的四维正多胞体（如同三角形是最简单的多边形）。...

體堆砌（英语：tetrahedral-octahedral honeycomb）衍生而來：可以透過在四面體-八面體堆砌的八面體胞中放置四面體使其對稱性加倍，而八面體的完全對稱性將被破壞——八面體變成了同心、半對稱排列之相同邊長的四面體，而先前的第二個四面體則被其中心所取代，並成為新四面體...