理想（Ideal）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或...

理想可以指： 漢語中，理想指嚮往和追求的目標，或對特定人事物之主觀想像。為日語借詞。 理想 (序理论)，序理论的概念。 理想 (环论)，抽象代數的概念。 理想气体，热力学的概念。 理想汽车，总部设于北京市的汽车公司。...

抽象代数中，环论（英語：Ring Theory）是針對一種稱為环的代数结构之研究，环類似可交換群，有定義運算「+」，此外又定義另一種運算「·」（此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質）。环论研究環的結構、環的代數表現方式（英语：representation...

{\displaystyle R} 为除环。 除环不一定是交换环。反例：四元数环。 交换的除环是體。 主理想环 每个理想都是主理想的整环称为主理想环。 单环 若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。 商环 質环 集环：非空集的集合 R {\displaystyle R} 构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

在数学分支序理论中，理想是偏序集合的一個特殊子集。尽管这个术语最初演化自抽象代数中环理想概念，它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于序理论和格理论中的很多构造是非常重要的。 序理论中理想的最一般的定义如下： 偏序集合(P,≤)的非空子集I称为一个理想，若I满足： I是下闭的。即，∀x ∈ I, y...

在數學中，主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。 如果一個主理想環同時也是整環，則稱之主理想整環（常簡寫為 PID）。 整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是主理想域，更一般地說，歐幾里德環恆為主理想環。 域上的（单变元）多項式環是主理想環。 高斯整數環 Z [...

在抽象代数中，主理想整环（英語：principal ideal domain，简称PID）是其中所有理想都是主理想（由一个元素生成的理想）的整环。一个更广泛的概念是主理想环，它指的是其中所有理想都是主理想的非零交换环，但一些作者（如布尔巴基）把主理想整环称为主理想环。主理想整环和主理想环的区别在于主理想环可以有零因子，而主理想整环不可以。...

0}，是R内的一个理想。每一个交换环R内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。 环同态f是单射，当且仅当ker(f) = {0}。 f的像，im(f)，是S的一个子环。 如果f是双射，那么它的逆映射f−1也是环同态。在这种情况下，f称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。...

在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。 根据主理想化定理，一个代数数域中的整环中的所有非主理想的理想...

在数学中，特别是交换代数中，分式理想的概念是在对整环的研究中所引入的，并且在戴德金整环的研究中得到丰富。类似于通过给整数引入分母而产生了分数，在整环中，分式理想可认为是为理想引入了在某种意义上[來源請求]的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通理想常被强调为整理想。 设 R {\displaystyle R} 是一个整环，...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

數學上，布尔素理想定理（英語：Boolean prime ideal theorem）声称每個布尔代数中的任何理想，都可以扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做超滤子引理。不同数学结构上，理想的定義有所不同，例如環有（环论）素理想，分配格有（序理论）极大理想。對於有定義「理想」的數學結構，有時有類似的素理想定理（prime...

在交換代數中，一個環 R {\displaystyle R} 的理想 I {\displaystyle I} 的高度是包含於 I {\displaystyle I} 的素理想鏈長度之上確界。 素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 R {\displaystyle R} 中有 n + 1 {\displaystyle...

环中，不可約元必為素元。 任意有限個元素有最大公因數與最小公倍數，它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。 一個諾特整環是唯一分解整环若且唯若每個高度為一的素理想都是主理想（即：由單個元素生成）。 一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立，而且任兩個元素有最小公倍數。 一個整環是唯一分解整环若且唯若其類群為平凡群。...

在数学中，类域论(代数数论的一个分支)的主理想定理指出，理想的扩張给出了從代数数域的类群到其希尔伯特类域的类群的映射，从而將所有理想类送到主理想類。这种现象也被称为主理想化。 对于任何代数数域K和K的整数环中的任何理想I ，如果L是K的希尔伯特类域，则 IOL {\displaystyle IO_{L}\...

在环论中，若某非无零因子环除了零理想（英语：Zero ideal）及其本身兩個理想外沒有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。 单环的中心必是一個域，所以单环是该域上的一个結合代數。因此，单代数和单环是相同的概念。 此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bo...

諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。 一個環 A {\displaystyle A} 稱作諾特環，若且唯若對每個由 A {\displaystyle A} 的理想構成的升鏈 a...

質環同時推廣了整環與域上的矩陣環。 整環。 單環。 整域上的矩陣環。 含單位元的交換環是質環的充要條件是它是整環。 一個環是質環若且唯若 (0) 是素理想。 一個非零環是質環若且唯若其雙邊理想在乘法下構成的么半群無零因子。 佈於質環上的矩陣環仍是質環。 I.N. Herstein, Noncommutative rings...

整环也可以定义为理想 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 是素理想的交换环，或交换的无零因子环。 设 ( R , + , × ) {\displaystyle \left({\mathcal {R}},+,\times \right)} 是一个交换环，存在 e ∈ R...

在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle v:D\setminus...

在环论中，一个零环是一环（无乘单位元），其中任意两个元素的乘运算是0（即加运算单位元），也可以被称作带有零乘法的环。. （注：有些学者 定义一个零环是一个单一的元素的环，即平凡环，这些学者要求有单位元，因此所有这种零环是无研究价值的，大陆教材都是这种定义）零环的另一个名字是空环，不要求有，零环理想...

任何域都是賦值环。 Z(p)是賦值环, ，整数环在素理想局部化，其中分子，分母是不能被p整除的任何整数组成，。分式域为有理数域Q 复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数（泰勒级数展开为零）环是一个賦值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。 任何一个给定的素数p p进整数环Zp...

在數學中的環論領域，一個理想的根是一個較大的理想，它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。 理想的根又可分為雅各布森根與冪零根，前者較後者為大。 設 R{\displaystyle R} 為交換環，I⊂R{\displaystyle I\subset R} 為其理想。該理想的冪零根...

0的性质证实了布尔环是在带有两个元素的域F2上的结合代数，但只在这个方向上。特别是，任何有限布尔环都有二的幂的势。不是所有的在F2上的单作结合代数都是布尔环：比如多项式环F2[X]。 任何布尔环R模以任何环理想I的商环R/I也是布尔环。类似的，布尔环的任何子环是布尔环。 在布尔环R中所有素环理想P是极大环理想：...

得出这种简单的结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当代数数域K是有理数Q的阿贝尔扩张时（即有交换伽罗瓦群的扩张）类域论实现了这一目标。 （根据类域论，因K为有理域Q时OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理数域不同，实域R和实数域不同） 在OK素理想的概念的一个重要的推广是理想论，也叫赋值论，这两种方法之间的关系如下：...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

在抽象代数里，环 R {\displaystyle R} 的理想 I {\displaystyle I} 称为主理想（principal ideal），若 ∃ a ∈ R : I = R a R = { ∑ i = 1 n r i a s i : n ∈ N , r i , s i ∈ R ∀ i...

環己烷等，超過20顆碳的一般被稱為「環石蠟」（cycloparaffins）。 按環的大小，環烷烴可被分為小、中、大三類。環丙烷、環丁烷視作小的。常見的環戊烷、環己烷、環庚烷以及環辛烷至環十三烷是中等大小的，更大的則被視為大的環烷烴。 首先確定其為環烷烴，並觀察其有幾個碳原子，則命名為環幾烴。此後再加上鹵素、甲基等取代基的命名。...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。 局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。 設 R {\displaystyle R} 為交換含幺環。若 R {\displaystyle R} 僅有一個極大理想 m...