截半再更深入的均勻截角形式為過截角。過截角的效果為移除多面體面的所有邊，但有保留部分多面體原有面的內部之局部。截角八面體則為立方體套用過截角變換後的像。 過截角同樣也存在完全截角的形式，即完全過截角，又稱為過截半或雙截半。其效果為截角截到原有面消失的深度。大部分的三維圖形經過過截...

1)。另外，由於截角八面體也是一種排列多面體（英语：permutohedron），因此可以獨立填滿整個三維空間，而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌。 截角八面體的對偶多面體為四角化六面體。若截角八面體的邊長為單位長，則其對偶多面體四角化六面體的邊長會變成 9 8 2 {\displaystyle...

過截角，顧名思義，就是指將一個多面體的頂點切到使該頂點的切面大於原本的多面體的面，是一個比截半切得還要深的截角，該動作會使得原多面體的邊完全消失，而使得原多面體的面縮小。 對於多面體，過截角就是該多面體的對偶的截角。例如:過截角正方體等同於截角八面體 對於一個四維多胞體，該多胞體的過截角等同於該多胞體的對偶過截角。...

在幾何學中，截角二十面體是一種由12個正五邊形和20個正六邊形所組成的凸半正多面體，同時具有每個三面角等角和每條邊等長的性質，因此屬於阿基米德立體，但由於其並非所有面全等因此不能算是正多面體。由於其包含了正五邊形和六邊形面，因此也是一種戈德堡多面体，其對偶多面體為五角...

詹森多面體 （Johnson solid） 例如種子“P5”是指五角柱、“P10”是指十角柱、“Y6”是指六角錐、“J86”是指球狀屋頂、“A86”是指86角反稜柱。 任何凸多面體皆可以當作種子，前提是它可以執行操作或運算。 何頓·康威提出這個想法, 就像克卜勒的截角定義,建立相關的多面體相同的對稱性。...

角二十四面體的具像化。 過截角是指截角截得比截半更深的截角變換，其可以視為對於對偶多面體進行均勻截角。過截角小星形十二面體的結果為截角大十二面體，頂點、邊和面數皆與截角小星形十二面體相同，皆為24個面、90條邊和60個頂點組成，但組成面不同。過截角...

環帶多面體 （全對稱多面體）是一種每個面都相對稱、相等或與正對的（即將兩個面的中心連起可過內接球或外接球球心）面互相對稱的立體。 截角八面體有6個正方形面和8個六邊形面。 大斜方截半立方體有12個正方形面、8個六面形面和6個八邊形面。 大斜方截半二十面體有30個正方形面、20個六邊形面和12個十邊形面。...

在幾何學中，倒角是一種將稜替換為維面的操作，也可以視為切稜（又稱裁邊或截邊）操作的一種。 對多面體進行倒角操作之後會使多面體中原有的稜轉變成六邊形面。在康威多面體表示法中，倒角用c表示，並且會使原有有e條稜的多面體產生2e個新頂點、3e條新稜和e個新的六邊形面。 倒角多面體又稱切稜多面體，是指多面體套用倒角...

在幾何學中，過截角超無限邊形鑲嵌是一種雙曲面鑲嵌，由正方形和超無限邊形構成，是歐氏鑲嵌：截角無限階二邊形鑲嵌在羅氏幾何中的一個類比。 該幾何圖形也可以視為是一種「發散」的柱體，由於其可以類比自無限角柱，是指底面是無限邊形的柱體，即角柱系列（t{2, p}）的算術極限（p → ∞），則利用t{2,...

在幾何學中，截半（英語：Rectification）是一種將多邊形、多面體、密鋪、鑲嵌或更高維的多胞體從每個邊的中點開始切去頂點的一種多面體變換，換句話說，就是截角變換的一種特例，即截角截至中點。所得到的多面體將以截面與多面體原本的面為界。考克斯特符號與施萊夫利符號將截半變換記為r，例如r{4...

prisms）。 這個多面體是大十二面體經過截角變換後的結果，大十二面體在不同的截角深度也得到有不同的結果，例如節到中點後得到截半大十二面體，過截角後得到的立體則與對偶多面體的截角等價，為截角小星形十二面體。這種多面體外觀與正二十面體幾乎一樣，但其有24個面，12個面是來自截角後的頂點以及12個截角的五角星與之重合。...

在幾何學中，截角大星形十二面體又稱小複雜截半二十面體（small complex icosidodecahedron）是一種退化的星形均勻多面體，由於其可以視為截角的大星形十二面體或過截角的大二十面體，其截角產生的稜兩兩互相重合，外觀與正二十面體無異，但其有12個五邊形面隱沒在立體內部，通常需要藉由...

在幾何學中，無限角柱是一種廣義的多面體（退化），是柱體的一種，是指底面是無限邊形的柱體，也是有無限多成員的正多邊形柱體集合的算術極限。 無限角柱可以被視為一種包含無限邊形的平面鑲嵌，可以稱為截角無限階二邊形鑲嵌、過截角二階無限邊形鑲嵌、小斜方二階無限邊形鑲嵌或大斜方二階無限邊形鑲嵌。 托羅爾德戈塞特（英语：Thorold...

截半立方體十分相近的不同立體，稱為異相雙四角台塔柱或偽小斜方截半立方體，其也是詹森多面體的一種。若將中間的正八角柱拿掉的話，小斜方截半立方體會變成同相雙四角台塔，而偽小斜方截半立方體會變成異相雙四角台塔，這兩個多面體也是詹森多面體。而這些屬於「異相」的多面體都是四角反棱柱的對稱性。...

三角化截角四面體是一種凸十六面體，由12個等腰三角形和4個六邊形所組成，其可以透過將截角四面體套用三角化變換來構造，也就是在截角四面體的每個三角形面上疊上三角錐來構成。 三角化截角四面體可以獨立填滿三維空間，因此是一種空間填充多面體，由三角化截角四面體重複排列堆砌填滿三維空間構成的幾何結構稱為三角化截角四面體堆砌。...

均勻多面體對偶或稱均勻對偶、對偶均勻多面體（Dual uniform polyhedron）是均勻多面體的對偶多面體。 均勻多面體是一種點可遞的立體，由於對偶的特性，因此均勻多面體對偶皆為面可遞的立體。均勻多面體對偶可以利用多曼·盧克構造從均勻多面體構造。 均勻多面體對偶是均勻多面體的對偶多面體...

詹森多面體是指的所有面都是正多邊形但頂點並非均勻的嚴格凸多面體。 即不是柏拉图立体、不是阿基米德立體、不是半正多面體、不是棱柱也不是反棱柱的嚴格凸正多邊形多面體。 1966年，諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）發表了一份包含92種有以上性質的多面體...

在幾何學，對偶多面體指的是兩種多面體間的一種關聯。若一個多面體的頂點能對應到另一個多面體的面，且每個與兩頂點相連的邊能對應到與兩面相鄰的邊，則這兩個多面體互為對偶多面體。任何多面體都可以定義其對偶多面體，其基本屬性也都能被明確定義，例如一個多面體的有多少面，對偶多面體就會有多少頂點，但一個具體存在的多面體...

多面體為截角八面體。在四角化立方體的14個頂點中，有6個頂點是4個等腰三角形的公共頂點，對應的頂角是四面角；另外8個頂點是6個等腰三角形的公共頂點，對應的頂角是六面角。 此外四角化立方體可以視為在正方體的每個面上加入適當錐高的正四角錐的結果，其加入的正四角錐錐高不能高過...

Garner發現，可看作是由截半五階十二面體堆砌（Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb）移除所有正五邊形面來構造。 四角六片五角孔扭歪無限面體的對偶多面體為六角四片五角孔扭歪無限面體，與其相同頂點布局的堆砌體為過截角五階十二面體堆砌（Bitruncated...

角形的公共頂點。例如截角三角形二面體，其由2個六邊形和3個二角形組成，這3個二角形交錯地出現在六邊形周圍。 二面體 根據核殼層結構論文，其指出零面體這種結構有2個頂點、1條邊和0個面，依照對偶多面體的定義，面和頂點將交換，零面體的對偶多面體...

大二重斜方截半二十面體又稱為米勒的怪物（Miller's Monster）是一種非凸均勻多面體，由124個面、240條邊和60個頂點組成。這個立體中存在半球面，也就是通過幾何中心的面，因此其對偶多面體是一種無窮星形多面體。 大二重斜方截半二十面體是唯一一種頂角超過六個面構成的非退化均勻多面體，其每個頂角...

截角立方體是立方體進行截角變換後的結果，而立方體就是截角立方體關於截角變換的原像。在多面體操作中，相較於鏡像，原像是一個相反的概念，若一多面體無手性鏡像，則其鏡像將與原像完全相同。在施萊夫利符號中，原像以t0表示，有時則會省略不寫。 在多面體變換中，原像若一個多面體...

多面體不同，三維的扭稜多面體是交替的全截（omnitruncation，即先截半再截角）的形式，而扭稜二十四胞體並非是正二十四胞體交替的全截的形式。事實上，扭稜二十四胞體是交替截角的正二十四胞體。 考克斯特扭稜的定義略有不同，其將扭稜定義為截角後交錯，在這個定義下，扭稜立方體被視為扭稜後的截...

honeycomb）的正四面體胞以其幾何中心分割成四個小三角錐並分別與鄰近的截角四面體組合成三角化截角四面體來構成三角化截角四面體堆砌。 三角化截角四面體堆砌的對偶堆砌體為雙四面體堆砌（Bitetrahedral honeycomb），其頂點圖為三角化截角四面體的對偶多面體——截三階角三角化四面體。其可以從四面體-八面體堆砌（英...

多面體的對偶多面體為自己本身，即六角六片三角孔扭歪無限面體。在結構上，六角六片三角孔扭歪無限面體可以看做是由正四面體與截角四面體的空间填充的形状——過截角交錯立方體堆砌（英语：Quarter cubic honeycomb）中移除所有正三角形面、只保留正六邊形面的後所形成的扭歪無限面體。 六角...

抽象半變換（英語：hemi）是另一種半變換，也是去除該多面體一半的頂點，但是不是交錯，也不建立新的頂點、邊和面，而是將舊的頂點直接互相共用。此種變換會產生抽象多面體。此種變換會造成面數、頂點數與邊數都變成原來的一半。 四分之一變換是進行兩次半變換。 扭稜是交錯進行截邊的一種變換。 交錯截角是交錯進行截角的一種變換。 Coxeter...

symmetry）的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性（英语：Octahedral Symmetry）的卡塔兰多面体菱形十二面体，它（加上所有其它的五角十二面体）都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面體还是截顶五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體。...

在這個定義下的三維情形是簡單多面體，這種簡單多面體是指每個頂點指與三個面相鄰或每個頂點只與三條稜相接的多面體。這種簡單多面體的對偶多面體為「單純多面體」（即三角面多面體），其所有面都是三角形。 三維空間的簡單多胞形可稱為簡單多面體，其包括了稜柱（包括立方體）、正四面體和正十二面體，也有包括部分的阿基米德立體：截角四面體、截角...

子群体现了正八面体更低的对称性：Td（群阶24），截半正四面体的对称群；D3d（群阶12），三角反棱柱的对称群；D4h（群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对偶）的对称群；D2h（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。 正八面體的對偶多面體是立方體。 當正八面體在立方體之內： 正 八 面 體...

在幾何學中，扭歪多面體（英語：Skew polyhedron）是指頂點、邊或面並非全部位於同一個三維空間中的多面體，即扭歪多邊形的高一維類比，因此其無法找到一個唯一的內部區域以及其體積。 正扭歪多面體代表每個面全等、每條邊等長、每個角都相等的扭歪多面體，是一系列可能具有非平面的面或頂點圖。考克斯特的...