数学上，黎曼球面是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义 1 / 0 = ∞ . {\displaystyle 1/0=\infty .} 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为 複射影直线，记为 C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP}...

所以h的雅可比阵有正的行列式值。所以，複图集是可定向图集。 黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。 代数几何 共形几何 黎曼曲率張量 黎曼球面 凯勒流形 泰希米勒空间 兒童畫（Dessin d'enfant） 和黎曼曲面有关的定理 黎曼-罗赫定理 黎曼-赫尔维茨公式 黎曼映射定理 单值化定理 赫尔维茨自同构定理...

球面的半径和中心。两端都在球面上的最长线段通过球心，其长度是其半径的两倍；它是球面和球体的直径 。 尽管在数学之外，术语“球面”和“球”有时可互换使用，但在数学中是明确区分的：球面是一种嵌在三维欧几里得空间内的二维封闭曲面，而球是一种三维图形，其包括球面和球面...

我们可知维数的序列前几项为 1, 2, 3, ...: 这可由部分分式理论得出。反之，如果此序列开始为 1, 2, ... 则 g 必然是零（所谓黎曼球面）。 由椭圆函数理论知，g=1 时此序列是 1, 1, 2, 3, 4, 5 ... 且这也刻画了 g=1 情形。当 g > 2...

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼...

数学上，曲面的单值化定理是说任何曲面上都有一个常高斯曲率的度量。事实上，在每一个给定的共形类中我们都可以找到一个常高斯曲率的度量。等价的說，用复分析的语言，任何单连通的黎曼曲面都共形等价於复平面、单位圆盘和黎曼球面三者之一。...

{\displaystyle \mathbb {C} ^{1}} 上，于是把它变成一个闭曲面，称为黎曼球面 C P 1 {\displaystyle \mathbb {C} P^{1}} 。（把球面穿一个孔，并把所得到的边拉开来，便得到一个平面；相反的过程便把复平面变为 C P 1 {\displaystyle...

{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}} 。 这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面，即複平面加上无穷远点。 一般来说，交比可以定义在射影直线（黎曼球面就是複射影直線）。在任何仿射坐标卡中，交比由上式给出。交比是射影几何的不变量，就是说射影变换保持交比不变。...

共形場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自朱利斯·外斯、布鲁诺·朱米诺、謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫與爱德华·威滕。 設G為緊緻單連通李羣，設g為其李代數。設γ為黎曼球面S2{\displaystyle S^{2}}（複平面之一點緊緻化）上一G-值場 Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma...

在几何学里, 莫比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为： f ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}} 其中 z, a, b, c, d 为满足 ad − bc ≠ 0的（扩展）复数。...

{\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.} 整函数在无穷远处可能具有奇点，甚至是本性奇点，这时该函数便称为超越整函数。根据刘维尔定理，在整个黎曼球面（复平面和无穷远处的点）上的整函数是常数。 刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质：任何一个有界的整函数都是常数。这个性质可以用来证明代数基本定理...

在数学中，复维特代数（英語：Witt algebra）是黎曼球面上某些亚纯向量场組成的李代数，其滿足：存在某兩個固定點，使各個向量場在該兩點以外皆處處全纯。它也是圆上多项式向量场的李代数和环C [ z, z − 1 ] 的導子李代数的复化。維特代數得名於Ernst Witt（英语：Ernst Witt）。...

知名的希爾伯特數學問題。斯梅爾的問題有一部分也來自希爾伯特數學問題。問題包括還未解決的雅可比猜想和黎曼猜想。 斯梅爾另一有名的定理，是證明出球面能夠外翻的斯梅爾悖論。這悖論是說如果容許球面穿過自己，球面內壁能夠翻到外面而不摺皺。 斯梅爾於1957年在密歇根大學獲得博士學位，曾執教於哥倫比亞大學和加州...

黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。该猜想由威廉·瑟斯顿提出。 标准球面S，具有常曲率+l 欧氏空间R，具有常曲率0 双曲空间H，具有常曲率-1 S×S H×S 特殊线性群(2，R)上左不变黎曼度量 幂零几何 可解几何 如果是带边流形还要加上平环...

一一对应，给出了另一个“复平面”。 向量空间 C×C，复数与自身的笛卡儿积，是一个其坐标为复数的二维向量空间，在这种意义下也是一个“复平面”。 星座图 拉普拉斯变换 黎曼球面 黎曼曲面 S平面 Z-变换 尽管这是术语“复平面”最通常的数学意义，但不是惟一意义。其它包括分裂复平面（英语：split-complex number）与二元数，以商环引入。...

邁爾斯定理，或稱博內-邁爾斯定理，是黎曼幾何的經典結果。這定理說如完備黎曼流形 M {\displaystyle M} 的里奇曲率有下界 ( n − 1 ) k > 0 {\displaystyle (n-1)k>0} ，那麼其直徑不超過 π k {\displaystyle {\frac {\pi...

gP（g-叠射影平面）：亏格为g的不可定向曲面。 曲面的概念和代数曲面不同。一个非奇异复射影代数曲线是一个光滑曲面。複數域上的代数曲面作为流形考虑时维度是4。 极小曲面 黎曼曲面 代数曲面 克莱因瓶 环面 球面 圆柱 射影平面 数学曲面画廊，60 ~ 曲面和提供实时转动观看功能的Java Applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）...

空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理学上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。...

球面幾何學（英語：Spherical geometry），简称球面几何，是在二維的球面表面上的幾何學，也是非欧几何的一個例子。 在平面几何 中，基本的觀念是點和線。在球面上，點的觀念和定義依舊不變，但線不再是“直線”，而是兩點之間最短的距離，稱為測地線。在球面...

）的行列式。这个定义只要用基本的微积分知识就可以理解杯底或者帽顶“对应”鞍点的区别。 曲面上某个区域的高斯曲率的曲面积分称为总曲率。测地三角形（即黎曼球面几何中的三角形）的总曲率等于它的内角和与 π {\displaystyle \pi } 的差。正曲率曲面上的三角形的内角和大于 π {\displaystyle...

连通，可定向曲面的亏格是一个整数，代表沿闭简单曲线切开但不切断曲面的最大曲线条数。这和柄的个数是相同的。 例如： 球面，圆盘和环亏格都为0。 环面亏格1，和带一个柄的咖啡杯的表面是一样的。 可定向曲面的亏格 亏格0 亏格1 亏格2 亏格3...

有常曲率的标准曲面是有正曲率的椭圆几何（或者球面几何），有0曲率的欧氏几何，和有负曲率的双曲几何（伪球面几何）。因为黎曼曲面可以变为常曲率，因此对于负曲率存在大量其他的例子。 对于高维流形，常曲率通常意味着常截面曲率。和曲面情形相同，存在三类几何（椭圆，平直，或者双曲），其曲率分别为正，0，或者负。 参看： 黎曼流形曲率...

双精度版本 cimagf 单精度版本 cimagl 长双精度版本 复共轭 cong 双精度版本 congf 单精度版本 congl 长双精度版本 黎曼球面投影 cproj 双精度版本 cprojf 单精度版本 cprojl 长双精度版本 实部 creal 双精度版本 crealf 单精度版本 creall...

点。从单位圆盘到上半平面的一个共形双射也可构造为两个球极平面投影的复合：首先去单位球面的南极点作为投影中心，单位圆盘向上球极投影到单位上半球面；然后这个半球面投影到与该球面相切的一个竖直半平面，取投影中心为切点在球面上的对径点。 单位圆盘与上半平面作为哈代空间不是可互换的区域。这个差别是因为单位圆...

可寫成單連通開子集之并，則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間（例如流形）通常不在此類。 在複分析中，当且仅当复数域 C 中的开集X 和它的补集在黎曼球面上连通时，X 才是单连通的。 虚部严格大于 0 小于 1 的复数集合，提供了一个有趣的例子：一个无界的、连通的、补集不连通平面的开子集。然而这个集合是单连通的。...

differential geometry） 度量张量 黎曼流形 伪黎曼流形 列维-奇维塔联络 非欧几里得几何 橢圓幾何（英语：Elliptic geometry） 球面幾何學 Sphere-world（英语：Sphere-world） 球面三角學 双曲几何 雙曲空間 双曲面模型 庞加莱圆盘模型 庞加莱半平面模型...

_{S^{n-1}}f.} 更一般地，利用法丛可进行类似的技巧，定义任何黎曼流形作为等距嵌入欧几里得空间中的超平面上的拉普拉斯–贝尔特拉米算子。 我们也可以给出球面上拉普拉斯–贝尔特拉米算子在法坐标系中一个内蕴描述。设 (t,ξ) 是球面上关于球面上特定点 p （北极）的球坐标，这就是关于 p 的测地极坐标。这里...

theorem）是有關代數曲線的定理，指出任何用代數數係數定義的非奇異（英语：non-singular）代數曲線C，都代表這樣的一個緊黎曼曲面（英语：Compact Riemann surface），這黎曼曲面能作為黎曼球面的分歧覆蓋（英语：ramified covering），且只有三個分歧點。 這定理是根納季·別雷（英语：G...

Beltrami）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型（属于黎曼）证明了双曲几何与欧几里得几何的相容性等价（equiconsistent）。圆盘模型与半平面模型在共形映射下是等价的。 射影线性群 PGL(2,C) 由莫比乌斯变换作用在黎曼球面上。保持上半平面不动的子群是 PGL(2...

2 ( M ) {\displaystyle H^{2}(M)} 非平凡，举例来说这意味着唯一允许辛形式的N维球面是2维球面。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。黎曼几何中的测地线与辛几何中的伪全纯曲线也很相似：测地线是（局部）最短的曲线，而伪全纯曲线是面积最小的曲面。它们在各自学科中都起着基础性作用。...

d s 3 2 {\displaystyle ds_{3}^{2}\,} 必须是下面三种形式之一： 平直空间（曲率处处为零） 具有常数正曲率的三维球面 具有常数负曲率的三维双曲面 在下面的讨论中，这三种情形各自对应着一个参数k的值，分别为0，1，-1。而 a ( t ) {\displaystyle...