قائمة المتسلسلات الرياضياتية - ويكيبيديا

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (ديسمبر 2018)

هذه قائمة بالمتسلسلات الرياضياتية والتي تحتوي على صيغ بالتجميعات المنتهية واللامنتهية. ويمكن استخدامها مع غيرها من الأدوات التي تقوم بتقدير التجميعات evaluating sums.

تجميعات القوى[عدل]

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!}$ حيث أن ${\displaystyle B_{k}}$ هو عدد بيرنولي ذو العدد k.
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!}$ حيث أن ${\displaystyle \zeta (s)}$ هو دالة زيتا.

متسلسلات القوى[عدل]

تجميع اللانهائيات (عندما يكون ${\displaystyle |x|<1}$)	تجميع النهائيات
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}\,\!}$	${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{\frac {1}{r}}(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}),\mathrm {where} \ r>0\ \mathrm {and} \ x={\frac {1}{1+r}}.\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }x^{2i}={\frac {1}{1-x^{2}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}ix^{i}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}\,\!}$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{3}x^{i}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{4}x^{i}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{k}x^{i}=\operatorname {Li} _{-k}(x),\,\!}$ حيث أن Lis(x) هو لوغاريتم متعدد للمتغير x.

قواسم بسيطة[عدل]

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i}}=-\ln \left({1-x}\right)\quad {\mbox{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =1\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan(x)\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{2i+1}}=\mathrm {arctanh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!}$

قواسم عاملية[عدل]

هي متسلسلة متعددة القوى نشأت من مبرهنة تايلور ويكون لديها معامل عاملي.

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i{\frac {x^{i}}{i!}}=xe^{x}}$ (شاهد توزيع بواسون)
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i^{2}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+x^{2})e^{x}}$ (شاهد العزم الثاني لتوزيع بواسون)
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i^{3}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i^{4}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{(2i+1)!}}=\sinh x}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i}}{(2i)!}}=\cosh x}$

القواسم العاملية-المعدلة[عدل]

المعادلة
${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}(2i)!}{4^{i}(i!)^{2}(2i+1)}}x^{2i+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$

متسلسلة ثنائية الحد[عدل]

متسلسلة ثنائية الحد (و من ضمنها متسلسلة الجذر التربيعي عندما يكون ${\displaystyle \alpha =1/2}$ والمتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما يكون ${\displaystyle \alpha =-1}$):

الجذر التربيعي:

• ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$

المتسلسلة الهندسية:

• ${\displaystyle (1+x)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}$

الصيغة العامة:

• ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1{\mbox{ and all complex }}\alpha \!}$

مع العوامل الثنائية الحد المعممة

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!}$

• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}}$
• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i+1}}{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{2x}}({\sqrt {1-4x}})}$
• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}$
• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{2i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}}$

عوامل ثنائية الحد[عدل]

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose i}=0}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{k+i \choose i}={k+n+1 \choose n}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{r}{r \choose i}{s \choose n-i}={r+s \choose n}}$

دوال مثلثية[عدل]

إن تجميعات الجيوب والجيوب التمام مأخوذة من متسلسلة فوييه.

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sin \left({\frac {i\pi }{n}}\right)=0}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {i\pi }{n}}\right)=0}$

غير مصنفة[عدل]

المعادلة
${\displaystyle \sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b}{n^{2}-b^{2}}}=\sum _{n=1}^{2b}{\frac {1}{2n}}}$

انظر أيضاً[عدل]

• متسلسلة (رياضيات)
• قائمة التكاملات
• تجميع
• متسلسلة تايلور

ملاحظات[عدل]

المراجع[عدل]

• من نفس الكتب التي أُخذت منها قائمة التكاملات.

• بوابة تحليل رياضي