Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876[1][2] eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in der klassischen Mechanik. Er lässt sich auch im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik formulieren.
Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems über die Lagrangefunktion
(mit
der kinetischen Energie und
der potentiellen Energie), wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten
(und
für die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit) aufgefasst wird (wobei der Index
die Komponenten bezeichnet). Dann kann man geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte über eine nicht-konservative generalisierte Kraft
auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berücksichtigen (siehe auch den Artikel Lagrange-Formalismus):
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ed702d6ea8918449d5711205727a7c44ec9930)
Rayleigh machte nun für die Reibungskraft
in euklidischen Koordinaten
(mit zugehöriger euklidischer Geschwindigkeit
) folgenden Ansatz:
![{\displaystyle F_{i}=-\sum _{j}\,K_{ij}\,v_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2cbfc1b7ee55a555801c7c496dbf6ecc6588cf)
mit der Dissipationsmatrix
. Die zugehörige Dissipationsfunktion
![{\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j}\,K_{ij}\,v_{i}\,v_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b09e0018502c4b7802ee3d3d7d235be2c40364)
ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrix[3]
![{\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i}\,k_{i}\,v_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044f9b30288913139fd4e9cc562ec0b4e85effdc)
Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach:
![{\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e06af54bdd0e275893132e789e18eae45a408b)
Beim Übergang zu generalisierten Koordinaten
ergibt sich
![{\displaystyle Q_{i}^{*}=\sum _{j}\,F_{j}\,{\frac {\partial r_{j}}{\partial q_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a29e155366cdfcbd1149eb7f06cbdeef716ef02)
Wegen
gilt:
![{\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{k}}}}}={\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bdbe47ba2703587282c9cc76cdc2d72535c8cf8)
und damit
![{\displaystyle Q_{i}^{*}=-\sum _{j}\,{\frac {\partial K}{\partial v_{j}}}\,{\frac {\partial v_{j}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba617b08f910ab1e303ac09ccf285886140d414c)
Daneben kann es auch andere, nicht durch einen Rayleigh-Ansatz beschreibbare nicht-konservative generalisierte Kräfte zur Beschreibung von Reibung geben.
- E. Minguzzi, Rayleigh's dissipation function at work, Eur. J. Phys., Band 36, 2015, S. 035014, arxiv
- ↑ Rayleigh, Some general theorems related to vibration, Proc. London Math. Soc. s1-4, 1877, S. 357–368
- ↑ Lord Rayleigh, The theory of Sound, Macmillan 1877, Band 1, Kapitel 4, Paragraph 81
- ↑ So in Goldstein, Klassische Mechanik, 8. Auflage, Aula-Verlag 1985, S. 24